湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年度长郡高二期中联考 数学 一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.椭圆的一个焦点坐标为（ ）‎ A. (5,0) B. (0,5) C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给的椭圆的方程，可得的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点的坐标.‎ ‎【详解】因为，所以，故椭圆的上焦点的坐标是，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆的性质，属于简单题目.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 含一个量词的否定，全称改存在，再否定结论即可 ‎【详解】将全称量词改成存在量词，再否定结论，可得，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，基本方法为：先否定量词，再否定结论，属于基础题 ‎3.某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ）‎ A. 20 B. 25 C. 30 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算三个年级的人数比例，于是可得答案.‎ ‎【详解】抽取比例为，高一年级有人，所以高一年级应被抽取人数为.‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样的相关计算，难度很小.‎ ‎4.从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）‎ A. “恰有两个白球”与“恰有一个黑球”‎ B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”‎ C. “都是白球”与“至少有一个黑球”‎ D. “至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 需从互斥事件和对立事件的概念加以区分，结合具体选项对应的事件加以辨别 ‎【详解】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，‎ 但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，‎ ‎∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；‎ 对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，‎ 如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；‎ 对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；‎ 对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的区别与联系，事件互斥不一定对立，事件对立一定互斥，属于基础题 ‎5.过点，且与双曲线 有相同渐近线的双曲线的方程是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设与曲线 有相同渐近线的双曲线的方程为，又因为该双曲线过点，所以，即，即，即该双曲线的标准方程为.故选D.‎ 点睛：本题考查双曲线的几何性质；本题的技巧在于巧妙地设出双曲线方程，避免了讨论双曲线是哪一种标准方程，常见设法是：以为渐近线的双曲线可设为，与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为.‎ ‎6.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率。‎ ‎【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，‎ 所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为。‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，属于基础题。‎ ‎7.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 甲所得分数的极差为22‎ B. 乙所得分数的中位数为18‎ C. 两人所得分数的众数相等 D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.‎ ‎【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为 ‎ ‎，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.‎ ‎8.已知命题,命题,，则下列命题中为真命题的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题是假命题，命题是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.‎ ‎【详解】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.‎ ‎【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：‎ ‎（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；‎ ‎（3）：真假相反.‎ ‎9.已知样本，，，…，的平均数为，标准差为，那么样本，，，…，的平均数和标准差分别是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合平均数基本公式和方差公式求解即可 ‎【详解】根据题意，样本，，，…，的平均数为，标准差为，其方差为，‎ 那么样本，，，…，的平均数 ‎，‎ 则其方差，则样本，，，…，的标准差为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查样本数据中平均数与标准差的求解，属于基础题 ‎10.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据三角函数的图像和特殊角的三角函数值，得到 ，根据几何概型判断，概率为： ‎ 故答案选C。‎ ‎11.已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意，画出椭圆与直线的图形；‎ 设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（，），B（，），斜率为k；‎ 则①，②；‎ ‎∴①﹣②，得 ‎，‎ ‎∵由中点坐标公式：=4，=2，‎ ‎∴；‎ ‎∴k=．‎ 故选B．‎ ‎12. ，使 ，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，问题转化为的问题，设函数，利用该函数的单调性即可求出参数范围 ‎【详解】由题意可知：，使，则.‎ 由于函数是定义域内的单调递增函数，‎ 故当时，函数取得最小值，‎ 综上可得，实数的取值范围是.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数的取值范围；‎ ‎2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立；(2)恒成立.‎ ‎13.已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过向抛物线的准线作垂线，垂足为，根据和在坐标求出的值，进而可得出的值，再计算出即可．‎ ‎【详解】解：过向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，故．‎ 又在抛物线上，故，于是，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．‎ ‎14.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ B. “”是“”的充要条件 C. 直线：，：，“”是“”的充分不必要条件 D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A，命题的否定为双否，可判断错误；对B，的解有两个，显然充要条件不成立；对C，两直线垂直还包括的情况，充分不必要条件成立；对D，余弦函数为周期函数，显然一个函数值对应多个自变量，可判断错误 ‎【详解】命题“若，则”的否命题为：“若，则”，所以A不正确；‎ ‎“”是“”的充分不必要条件，所以B不正确；‎ 直线：，：，“或”是“”的充要条件，则“”是“”的充分不必要条件，所以C正确；‎ 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，显然不正确，是假命题；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，综合性强，对于细节性问题考查到位，在平常学习中要学会思辨，学会把握知识的连贯性和特殊性，属于中档题 ‎15.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，若，，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的性质可得：|AF|＝b，|OA|＝a，∴tan∠AOF＝，∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝‎ ‎，在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|，再根据等差中项列等式可得 a＝2b，可得离心率．‎ ‎【详解】由双曲线的性质可得：|AF|＝b，|OA|＝a，tan∠AOF＝，‎ ‎∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝‎ 在Rt△OAB中，tan∠AOB＝‎ ‎∴|OB|＝，又|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴2|AB|＝|OA|+|OB|，‎ ‎∴，化简得：2a2﹣3ab﹣2b2＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，‎ ‎∴a﹣2b＝0，即a＝2b，∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），5a2＝4c2，∴e2＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查等差数列的性质，此题得出b和a的数量关系是关键,属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）‎ ‎16.椭圆短轴的长为，则实数_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据椭圆的短轴定义，注意分析焦点在轴上情况。‎ ‎【详解】由题得，因为椭圆短轴的长为，所以焦点不会在轴上，故椭圆，，，故填16.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的基本量，注意题目没给焦点坐标要有意识地去讨论。‎ ‎17.某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是__________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出组距，然后根据已知第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.‎ ‎【详解】从名学生中抽取名，组距为，由于抽取到第二个编号为号，故第三个样本的编号为号.‎ ‎【点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.‎ ‎18.设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过双曲线的定义可先求出的长度，从而利用余弦定理求得，于是可利用面积公式求得答案.‎ ‎【详解】由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.‎ ‎19.在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合线性约束条件画出可行域，满足的概率大于可转化为：符合条件的目标区域面积大于总区域面积的，结合三角形面积公式求解参数，再根据目标函数的移动特点进一步分析即可 ‎【详解】作出不等式组对应的平面区域如图，‎ 则矩形的面积，‎ 当满足的概率大于，‎ 则满足对应的区域为，则，，‎ 则的面积，‎ 即，即，‎ 解得，‎ 若满足的概率大于，则对应区域的面积，‎ 此时直线在直线的上方，‎ 即，故的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由目标函数对应面积的占比求参数问题，属于基础题 ‎20.已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点作两直线分别交抛物线于点，，若，则的值为______.‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先设，，由斜率的定义表示出，，，结合抛物线方程进行坐标代换，全部代换成关于纵坐标的表达式，通过即可求解 ‎【详解】设，，‎ 则.‎ ‎，同理.‎ ‎∵，∴，得.‎ ‎∴.‎ 又，∴.‎ 故答案为：－2‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，设而不求方法的具体应用，运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎21.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.‎ ‎（1）当时，若为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，由为真可判断真且真，分别求解出命题对应的实数的取值范围，再求交集即可；‎ ‎（2）先将是的必要不充分条件转化为是的必要不充分条件，再结合端点值建立不等关系求解即可 ‎【详解】（1）当时，真，则，解得；‎ 真，则解得.‎ ‎∵为真，则真且真，‎ 故的取值范围为.‎ ‎（2）是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，‎ ‎∵真，有，‎ ‎∴故.‎ ‎【点睛】本题考查由命题的真假进一步确定取值范围问题，根据包含关系求解参数取值范围，属于基础题 ‎22.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.‎ ‎（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；‎ ‎（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.‎ ‎【答案】(1) ；中位数为82.5. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为，结合频率计算公式求解即可；‎ ‎（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可 ‎【详解】（1）由频率和为1，得，；‎ 设综合评分的中位数为，则，解得，‎ 所以综合评分的中位数为82.5.‎ ‎（2）由频率分布直方图知，一等品频率为，即概率为0.6；‎ 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；‎ 所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、、，非一等品2个，记为、；‎ 从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：、、、、、、、、、共10种；‎ 抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：、、、、、共6种，‎ 所以所求的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题 ‎23.已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若，是曲线上的两个点且直线过的外心，其中 为坐标原点，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，设点，由半径相等建立关系式，化简即可求得解析式；‎ ‎（2）可判断直线斜率一定存在，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程求得关于的韦达定理，再由直线过的外心，可得，即，结合前式的韦达定理表示的关系式解方程可求参数，即可求定点 ‎【详解】（1）设点，则，‎ 平方整理得：，‎ ‎∴曲线的方程为.‎ ‎（2）证明：由题意可知直线的斜率一定存在，否则不与曲线有两个交点.‎ 设的方程为，设点，，联立方程 得，‎ 则得，，‎ 由得：，.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎∵直线过的外心，其中为坐标原点，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 解得，当时，满足.‎ ‎∴直线过定点.‎ ‎【点睛】本题考查曲线轨迹方程的求法，由具体条件求证直线过定点问题，运算推理能力，属于中档题 ‎24.2019年的流感来得要比往年更猛烈一些据四川电视台“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：‎ 日期 ‎1月20日 ‎2月20日 ‎3月20日 ‎4月20日 ‎5月20日 ‎6月20日 昼夜温差 ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数人 ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．‎ 若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？‎ 参考公式：，‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数据求出，以及，的值，即可求出y关于x的线性回归方程；‎ 分别计算出1月份和6月份对应的预测值，和22作差，进行比较即可得到结论．‎ ‎【详解】由表中2月至5月份的数据，‎ 得，，‎ 故有，‎ ‎，‎ 由参考公式得，由得，‎ ‎∴y关于x的线性回归方程．‎ 由1月份数据得当时，．‎ ‎，‎ 由6月份数据得当时，．‎ ‎，‎ 则该小组所得线性回归方程是理想的．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程求解，根据条件求出，以及，的值是解决本题的关键考查学生的运算能力．‎ ‎25.已知椭圆()的左右焦点分别为，为椭圆上位于轴同侧的两点，的周长为，的最大值为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆方程；‎ ‎(Ⅱ)若，求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意得2a+2c＝6，即a+c＝3，再由当A为椭圆C的上下顶点时，∠F1AF2的最大值为，此时△AF1F2为等边三角形，得a＝2c，结合隐含条件联立解得a，b的值，则可求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由，得，延长交椭圆C于点，由（Ⅰ）知，，设，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求得四边形的面积S，再由换元法及函数的单调性求解．‎ ‎【详解】(Ⅰ)的周长为，，即.①‎ 当为椭圆的上下顶点时，最大为，此时为等边三角形，.②‎ 由①②及，解得，，，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎(Ⅱ)， ，延长交椭圆于点，‎ 由(Ⅰ)知，，设，，直线的方程为，‎ 联立方程，消去并整理得，‎ ‎，，设与的距离为，‎ 则四边形面积，‎ ‎，‎ 令，则，，函数在上单调递减，‎ ‎，故四边形面积的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎