数学文卷·2017届北京市西城区高三4月统一测试（一模）（2017

数学文卷·2017届北京市西城区高三4月统一测试（一模）（2017

‎ 西城区高三统一测试 ‎ 数学（文科） 2017.4‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知全集，集合，，那么 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．在复平面内，复数的对应点位于 ‎（A）第一象限 ‎（B）第二象限 ‎（C）第三象限 ‎（D）第四象限 ‎3．双曲线的焦点坐标是 ‎（A），‎ ‎（B），‎ ‎（C），‎ ‎（D），‎ ‎4．函数的零点个数为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．函数定义在上．则“曲线过原点”是“为奇函数”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎6．在中，点满足，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎7．在正方形格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎8．函数的图象上任意一点的坐标满足条件，称函数具有性 质．下列函数中，具有性质的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．函数的定义域为____． ‎ ‎10．执行如图所示的程序框图. 当输入时，输出的值为____． ‎ ‎11．圆的圆心坐标是____；‎ ‎ 直线 与圆相交于两点，则____． ‎ ‎12．函数的最小正周期是____． ‎ ‎13．实数满足则的最大值是____；最小值是____． ‎ ‎14． 如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动．‎ 平面区域由所有满足的点组成，则的面积是____． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知是等比数列，，．数列满足，，且是等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 在△中，角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．‎ 现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考前预估难度 ‎0.9‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ 测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：‎ 学生编号 题号 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎4‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎5‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎6‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎7‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎8‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎9‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎10‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 实测难度 ‎（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；‎ ‎（Ⅲ）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，．过点的平面与棱分别交于点（三点均不在棱的端点处）． ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面，求的值；‎ ‎（Ⅲ）直线是否可能与平面平行？证明你的结论．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 如图，已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点．， ．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，为椭圆上一点，的中点为．直线与直线交于点，过作，交直线于点．求证：．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知函数．设为曲线在点处的切线，其中 ‎． ‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程（用表示）；‎ ‎（Ⅱ）求直线在轴上的截距的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设直线分别与曲线和射线交于两点，求 的最小值及此时的值．‎ ‎ 西城区高三统一测试 高三数学（文科）参考答案及评分标准 ‎ ‎ 2017.4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．A 2．D 3．C 4．B ‎ ‎5．B 6．C 7．B 8．C ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9．，且 10． 11．； ‎ ‎12． 13．； 14．‎ 注：第11，13题第一空2分，第二空3分. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由题意得 ‎， 解得 ． [ 2分]‎ 所以 ． [ 4分]‎ 设等差数列的公差为，由题意得 ‎． [ 6分]‎ 所以 ． [ 8分]‎ 从而 ． [ 9分]‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．‎ 数列的前项和为；数列的前项和为．[12分]‎ 所以，数列的前项和为 ． [13分]‎ ‎ ‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ） 由 ，‎ 得 ． [ 1分]‎ 由正弦定理得 ． [ 3分]‎ ‎ 所以 ． [ 4分]‎ 因为 ， [ 5分]‎ 所以 ． [ 6分]‎ ‎（Ⅱ） [ 7分]‎ ‎ [ 9分]‎ ‎． [11分]‎ 因为 ，所以 ， [12分]‎ 所以 当时，取得最大值． [13分]‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎2‎ 实测难度 ‎0.8‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.7‎ ‎0.2‎ ‎ [ 4分]‎ 所以，估计120人中有人答对第5题． [ 5分]‎ ‎（Ⅱ）记编号为的学生为，‎ 从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．‎ 其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，，，，‎ ‎，，共6种． [ 9分]‎ 所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题 的概率为． [10分]‎ ‎（Ⅲ）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度．‎ ‎ ． [12分]‎ 因为 ，‎ 所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）因为平面，‎ 所以． [ 1分]‎ 因为为正方形，‎ 所以， [ 2分]‎ 所以平面． [ 3分]‎ 所以平面平面． [ 4分]‎ ‎（Ⅱ）连接． [ 5分]‎ 因为 平面， ‎ 所以 ． [ 7分]‎ 又因为 ，‎ 所以 是的中点． [ 8分]‎ 所以 ． [ 9分]‎ ‎（Ⅲ）与平面不可能平行． [10分]‎ 证明如下：‎ 假设平面，‎ 因为 ，平面．‎ 所以 平面． [12分]‎ 而 平面，‎ 所以 平面平面，这显然矛盾！ [13分]‎ 所以假设不成立，‎ 即与平面不可能平行． [14分]‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．依题意，得 ‎，． [ 2分]‎ 解得 ，．‎ 所以 ，‎ 所以椭圆的方程是 ． [ 5分]‎ ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 ．设的中点， ．‎ 设直线的方程为：，将其代入椭圆方程，整理得 ‎， [ 7分]‎ 所以 ． [ 8分]‎ 所以 ，，‎ 即 ． [ 9分]‎ 所以直线的斜率是 ， [10分]‎ 所以直线的方程是 ．令，得． [11分]‎ 由，得直线的斜率是 ， [12分]‎ 因为，所以直线的斜率为， [13分]‎ 所以直线． [14分]‎ 解法二：由（Ⅰ）得 ．设，其中．‎ 因为的中点为，所以 ． [ 6分]‎ 所以直线的斜率是 ， [ 7分]‎ 所以直线的方程是 ．令，得． [ 8分]‎ 由，得直线的斜率是 ． [ 9分]‎ 因为直线的斜率是 ， [10分]‎ 所以 ， [12分]‎ 所以 ． [13分]‎ 因为 ，‎ 所以 ． ‎ ‎ [14分]‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ） 对求导数，得， [ 1分]‎ 所以切线的斜率为， [ 2分]‎ 由此得切线的方程为：， ‎ 即 . [ 3分]‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线在轴上的截距为． [ 4分]‎ 设 ，．‎ 所以 ，令，得．‎ ‎，的变化情况如下表：‎ ‎↘‎ ‎↘‎ 所以函数在上单调递减， [ 6分]‎ 所以，，‎ 所以直线在轴上的截距的取值范围是． [ 8分]‎ ‎（Ⅲ）过作轴的垂线，与射线交于点，‎ 所以△是等腰直角三角形． [ 9分]‎ 所以 ． [10分]‎ 设 ，，‎ 所以 ．‎ 令 ，则，‎ 所以 在上单调递增，‎ 所以 ，‎ 从而 在上单调递增， [12分]‎ 所以 ，此时，．‎ 所以 的最小值为，此时． [13分]‎