数学（理）卷·2018届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中考试（2017

数学（理）卷·2018届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中考试（2017

哈尔滨市第六中学校2017-2018学年度上学期期中考试 高三理科数学 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；‎ ‎（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；‎ ‎（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1.复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，集合，则为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公子仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）‎ A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里 ‎5．平面向量的夹角为，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设变量满足约束条件：，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.对于函数，下列说法正确的是（ ）‎ A．函数图像关于点对称 ‎ B．函数图像关于直线对称 ‎ C．将它的图像向左平移个单位，得到的图像 ‎ D．将它的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图像 ‎ 8. 设是定义在上的周期为3的函数，当时，‎ 则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎9．在中， ， 边上的高为， 为垂足，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.函数（为自然对数的底数）的图像可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知为等差数列，为其前n项和．若，，则必有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在直线 上，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．‎ ‎13．在中，角所对的边分别为，已知，‎ 则的面积为 _______‎ ‎14.若等比数列的各项均为正数，且，‎ 则等于_____________‎ ‎15．若，则的最小值为 ‎ ‎16．数列满足：， ， ，则__________‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，满足，‎ 且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值．‎ ‎18.（本小题满分12分）已知数列的前项和 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的通项，求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列的前四项和成等比.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，若恒成立，求实数的最大值.‎ ‎20．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是梯形，且, 平面， 是中点， ．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若， ，求直线与平面所成角的大小．‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的零点及单调区间；‎ ‎（2）求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线，，与有且只有一个公共点.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）为极点，为曲线上的两点，且，求的最大值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）设,试比较与的大小．‎ 选择题：‎ ACDCA DBBBA BA 一、 填空题：‎ ‎ ‎ 二、 简答题：‎ ‎17.解：（1）由 可得，‎ 即为，即有，‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，∴．①‎ ‎∵②．‎ ‎②代入①可得：，∴．‎ 当且仅当时取到等号，即取到最大值时，．‎ 18. 解：（1） 令 （2）因为， 19.（1）设公差为d,由已知得：，联立解得或（舍去）‎ ‎，故 ‎ （2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，， ‎ ‎，的最大值为16. ‎ ‎20.解：（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．‎ 因为，所以．‎ 因为平面， 平面，‎ 所以．又因为，‎ 所以平面．‎ 因为点是中点，所以，且．‎ 又因为，且，所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以，所以平面．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，‎ 因为平面， 平面，所以，所以．‎ 因为，由（Ⅰ）知， 又因为，‎ 所以，所以 所以为正三角形，所以，‎ 因为平面， 平面，‎ 所以．‎ 又因为，所以平面．‎ 故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．‎ ‎， ， ，‎ 所以， ， ，‎ 设平面的法向量，‎ 则所以取，则，‎ 设与平面所成的角为，则，‎ 因为，所以，所以与平面所成角的大小为．‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为．令，得，故的零点为． （）．令 ，解得 ． 所以 的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）令．则． 因为 ，，且由（1）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得． 当时，． 所以 曲线存在以 为切点，斜率为6的切线． 由得：． 所以 ． 因为 ，所以 ，． 所以 ．‎ ‎22.解：（1）的直角坐标方程为，的方程为：，‎ 由已知得.‎ ‎（2）因为为圆，由圆的对称性，设，‎ 则 ‎，‎ 所以当时，的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.解:‎ ‎ ‎ 当 所以． 5分 ‎（Ⅱ）由已知得．‎ 因为 ，所以，故． 10分