数学卷·2018届安徽省六安市第一中学高二上学期周末检测（五）文数试题（解析版）

数学卷·2018届安徽省六安市第一中学高二上学期周末检测（五）文数试题（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！安徽省六安市第一中学2016-2017学年高二上学期周末检测（五）‎ 数学（文）试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.数列的一个通项公式是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 考点：归纳推理．‎ ‎【易错点晴】归纳推理与类比推理之区别：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．‎ ‎2.数列的通项公式, 则该数列的前（ ）项之和等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，故，令，解得.‎ 考点：裂项求和法.‎ ‎3.在数列中，已知对任意，则 ‎（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由于，所以，两式相减得，所以是以为首项，公比为的等比数列，其前项和为.‎ 考点：等比数列.‎ ‎4.已知公差不为的等差数列满足成等比数列，为的前项和，则的 值为（ ）‎ A． B． C. D．不存在 ‎ ‎【答案】A 考点：等差数列.‎ ‎5.设等比数列的前 项和为，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，.‎ 考点：等比数列.‎ ‎6.已知差数列等的公差，若，则该数列的前项和的最大值 为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，又，，所以，所以，所以，故前或项的和最大，.‎ 考点：等差数列.‎ ‎7.数列满足，且对任意的都有，则 ‎ ‎（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A 考点：递推数列求通项.‎ ‎8.已知数列满足在直线上，如果函数 ‎，则函数的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：将的坐标代入直线方程，有，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故，，，所以单调递增，故最小值为.‎ 考点：数列与函数结合求最值.‎ ‎9.在数列中，若，且对所有 满足，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，；；；，所以.‎ 考点：递推数列求通项.‎ ‎10.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上 第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第天起，每天比前一天多织相同量的布，若第天织尺布，‎ 现在一月（按天计）共织尺布，则每天比前一天多织尺布.(不作近似计算）（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D 考点：等差数列，数学文化.‎ ‎11.定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列 的前项 的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，，这是等差数列的前项和.时，，时，，时上式也满足，故，，，所以.‎ 考点：新定义数列，裂项求和.‎ ‎【思路点晴】本题考查新定义数列的理解，考查裂项求和法，考查已知求.第一步是理解题目新定义的式子，只需要按定义将满足的式子表示出来.第二步就是由求的过程：通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示．‎ ‎12.已知数列的通项公式，其前项和为，将数列的前 项抽去其中一项后，‎ 剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前项，记前项和为，若存在，使对任意 ‎，总有恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D 考点：等差数列，等比数列综合.‎ ‎【思路点晴】本题考查数列的通项公式及前项和，形如的数列，是等差数列，求出首项和公差，可以求得其前项和的表达式，等差数列前项和是一个二次函数，所以在对称轴或者靠近对称轴的地方取得最值，是最大值还是最小值，要看和的符号.将前项写出来，就知道的前项，由此求得的通项公式和前项和公式.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，当时，，所以 ‎.‎ 考点：已知求.‎ ‎【思路点晴】已知求是一种非常常见的题型，这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示．‎ ‎14.数列 的通项公式，其前项和，则 __________.‎ ‎【答案】‎ 考点：裂项求和法.‎ ‎15.数列满足，若，则的值为_________.‎ ‎【答案】‎ 考点：递推数列求通项.‎ ‎【思路点晴】由已知条件利用递推公式求出数列的前项，得到是以为周期的周期数列，从而求得.本题考查数列递推数列求通项的方法，由于题目求第项的数值，所以想到可能有周期性，所以利用列举法，将数列的前几项列举出来，找到数列的内在规律和周期，由周期来求后面下标较大的项.‎ ‎16.已知数列满足下面说法正确的是 ‎① 当时，数列为递减数列;‎ ‎②当时，数列不一定有最大项;‎ ‎③当时， 数列为递减数列；‎ ‎④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.‎ 其中正确的是（把你认为正确的命题序号都填上）_________.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，不是递减数列；当时，，取，则第七项与第八项相等且为最大项.当时，，所以为递减数列. 当为正整数时，，当时，，当时，令，解得，则 ‎，数列必有两项相等的最大项.‎ 考点：数列的单调性与最值.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）设是数列的前项和，.‎ ‎（1） 求的通项; ‎ ‎（2） 设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）时，，展开化简整理得，数列是以为公差的等差数列，其首项为，.由已知条件，可得. ‎ ‎（2）由于, 数列的前项和 ‎.‎ 考点：数列、数列求和.‎ ‎18.（本小题满分12分）已知差数列等的前项和，且对于任意的正整数满足 ‎.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设, 求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）对于任意的正整数 ① 恒成立，当时，，即,当时，有 ② , 得，即,,‎ 数列是首项为公差为的等差数列..‎ ‎（2）.‎ 考点：递推数列求通项，裂项求和法.‎ ‎19.（本小题满分12分）已知数列的首项．‎ ‎（1）证明: 数列是等比数列；‎ ‎（2）数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1），又 ‎， 数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（2）由（1）知，，即，设， ① ‎ 则， ② 由①-②得 ，.又. 数列的前项和.‎ 考点：配凑法求通项，错位相减法.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知,对任意实数满 足:.‎ ‎（1）当时求的表达式；‎ ‎（2）若, 求；‎ ‎（3）记, 试证.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1） 令,得,故 ‎,当时，.‎ ‎（2）由得,故 ‎.‎ 考点：抽象函数，数列，裂项求和法，放缩法.‎ ‎【方法点晴】第一问结合了函数的观点来解数列问题，要求数列的通项公式，可以先证明数列是等差还是等比数列，即利用可知数列是一个等差数列，可求得其通项公式；第二问利用第一问的结论，首先化简题目所给等式，得到，利用累加法就可以求得的表达式；第三问证明不等式，用的是放缩法.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知数列中，, 且.‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）令, 数列的前项和为, 试比较与的大小；‎ ‎（3）令, 数列的前项和为, 求证: 对任意, 都有.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时,，当时,；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）令，求得，同理令，求得.对两边除以，得到，利用累加法求得，所以；（2）化简，则，.记函数 ‎，利用可得当时,；当时,；（3）化简，故，利用放缩法，利用裂项求和法证得.‎ ‎（2）时,,则.记函数，所以,‎ 则,所以.由于 ‎,此时，,此时,‎ ‎,此时,由于,故时，，此时.综上所述，当时,;当时,.‎ ‎（3）证明: 对于,有,当时,‎ ‎.所以当时,‎ ‎.且.故对得证.‎ 考点：递推数列求通项，错位相减法，放缩法.‎ ‎【方法点晴】首先求出，两边除以，利用累加法可以求出数列，累加法适用于形式的递推数列求通项，若则利用累乘法来求数列通项公式.写出的表达式后，利用差比较法求得何时大于零，何时小于零.第三问要证明不等式，考虑将已知进行放缩，利用放缩法化简已知，再用列项求和法来证明.‎ ‎ ‎