【数学】2019届一轮复习北师大版直线和圆的方程学案

【数学】2019届一轮复习北师大版直线和圆的方程学案

第九章 直线和圆 两条直线的位置关系 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．两直线平行与垂直 ‎（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有，特别地，当直线的斜率都不存在时，与的关系为平行．‎ ‎（2）两条直线垂直 ‎①如果两条直线的斜率存在，设为，则．‎ ‎②如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，与的关系为垂直．‎ ‎2．两直线的交点 直线和的公共点的坐标与方程组的解一一对应．学！科网 相交方程组有一个解，交点坐标就是方程组的解；‎ 平行方程组无解；‎ 重合方程组有无数解．‎ ‎3．距离公式 ‎（1）两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为．‎ 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．‎ ‎（2）点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线（A，B不同时为0）的距离为 ‎．‎ ‎（3）两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线，（其中A，B不同时为0，且）间的距离．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ 1. 必备技能：‎ ‎1．解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．‎ ‎2．可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）．‎ ‎3．求两条平行线间的距离有两种思路：‎ ‎（1）利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．‎ ‎（2）直接应用两平行直线之间的距离公式．‎ ‎4．涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征．‎ 例1．【2018甘肃兰州高三一诊】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线与直线平行，∴直线化为：．∴它们的距离为．故选A．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题．‎ 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心．‎ 例2．【2018浙江省嘉兴一中高三模拟】已知直线与相交于点，若，则__________，此时点的坐标为__________．‎ ‎【答案】 1 ‎ ‎【解析】∵直线与相交于点，且，∴a×1+1×（a﹣2）=0，即a=1，联立方程，易得x=3，y=3，∴P（3，3）．故答案为：1，（3，3）．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018山东省济南市历城第二中学高三模拟】已知直线与平行，则的值是__________．‎ ‎【答案】3或5‎ ‎2．【2018江西九江一中高三上学期期末考试】已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A．或 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得或 ‎ 直线的斜率，所以或，即或，选A．‎ 直线与圆的位置关系 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．直线与圆的位置关系 位置关系有三种：相离、相切、相交．‎ 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：‎ ‎（1）代数法：‎ 判别式．‎ ‎（2）几何法：利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系：相交弦长=，相切，相离．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ 必备技能：‎ ‎1．如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式．‎ ‎2．弦长的计算：方法一、设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长．‎ 方法二、设直线的斜率为，直线与圆的交点坐标为，则弦长．‎ 例1．【2018陕西榆林二中高三模拟】点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：，，直线的方程为，直线与直线平行，，直线与直线之间的距离是，故选．‎ 点睛：本题主要考查的是圆的切线方程和直线与圆相交的性质以及直线与圆的位置关系的知识点．由切线与过切点的半径所在直线垂直求出切线的斜率，即可求出两直线方程，再用距离公式求解即可．‎ 例2．【2018广西壮族自治区玉林高中高三高考冲刺模拟（十）】已知椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 点睛：解决圆锥曲线中的范围问题时，可根据题意将所求范围的量表示为某一个变量的目标函数，然后再根据所得目标函数的特点选择相应的方法求得最值，其中运用基本不等式、利用二次函数求最值的方法在解题时经常用到．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018甘肃高三第一次诊断性考试】在平面直角坐标系中，圆被直线（）截得的弦长为，角的始边是轴的非负半轴，终边过点，则的最小值（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆被直线（）截得的弦长为，根据垂径定理得到故最小值为1．故选B．‎ ‎2．【2018四川绵阳市南山中学高三二诊热身考试】若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B （一） 选择题（12*5=60分）‎ ‎1．【2018河南省商丘市九校高三联考】已知直线与直线 平行，则 的值为( )‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得：，解得，故选．‎ ‎2．【2018山东省烟台高三模拟】若两平行线与之间的距离是，则（ ）‎ A．-2 B．-1 C．0 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，解得n=﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=﹣2，故选A．‎ ‎3．【2018河南省新乡高三模拟】已知点与关于对称，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，因为点与关于对称，则，解得，点的坐标为，故选D．‎ ‎4．【2018河南省商丘市九校联考】光线由点P（2，3）射到直线上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得，即对称点为，则反射光线所在直线方程，即：，故选．‎ ‎5．【2018河南省周口市高三模拟】设两条直线的方程分别为，，已知，是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】两条直线之间的距离为，选B．‎ ‎6．【2018广东惠州】圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ A．－ B．－ C． D．2 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－．选A ‎7．【2018全国名校大联考高三第四次联考】“”是“直线：与直线：垂直”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎8．【2018四川省绵阳南山中学高三二诊热身考试】已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】b＞0，两条直线的斜率存在，因为直线（b2+1）x+ay+2=0与直线x一b2y一1=0互相垂直，所以（b2+1）-ab2=0，ab=b+≥2，故选B．‎ ‎9．【2018广东六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下学期第三次联考】已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得圆的圆心到直线的距离为，‎ 故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以的元素个数为1．选B．‎ ‎10．【2018湖北浠水县实验高级中学高三模拟】若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】联立，解得把(1，2)代入可得∴．‎ ‎∴点到原点的距离，当时，取等号．∴点到原点的距离的最小值为．故选A．‎ ‎11．【2018湖北宜昌高三1月调研】设为坐标原点，是圆上的动点，且，点在直线上运动，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设的中点为，则由题意：，当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时，直线，．‎ 圆心到直线的距离为，，的最小值是，故选．‎ ‎12．【2018陕西榆林二中高三上学期第七次模拟】已知角始边与轴的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为，的面积为，函数的图象大致是（ ）‎ A．B．‎ C．D．‎ ‎【来源】【全国百强校】考试数学（文）试题 ‎【答案】B ‎【解析】如图A（2，0），在RT△BOC中，‎ ‎ |BC|=2|sinx|，|OC|=2|cosx|，∴△ABC的面积为S（x）= |BC||AC|≥0，所以排除C、D；选项A、B的区别是△ABC的面积为S（x）何时取到最大值？下面结合选项A、B中的图象利用特值验证：当x=时，△ABC的面积为S（x）=×2×2=2，当x=时，|BC|=2|sin|=，|OC|=2|cos|=则|AC|=2+，‎ ‎∴△ABC的面积为S（x）=×× =+1＞2，综上可知，答案B的图象正确，故选B．‎ ‎（二）选择题（4*5=20分）‎ ‎13．【2018江苏如皋高三第一学期教学质量调研（三）】“”是“两直线和平行”的_______条件．(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空)‎ ‎【答案】充要 ‎【解析】若，则或（此时两直线重合，舍去），所以必要性成立；若充分性成立，所以“”是“两直线和平行”的充要条件，故答案为充要．‎ ‎14．【2017南京市、盐城市高三二模】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点，‎ 直线的斜率为，且经过点，且直线 ‎ 所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以点到直线的最大距离为．‎ ‎15．【2018江西省抚州市高三八校联考】已知圆的方程为，过圆外一点作一条直线与圆交于，两点，那么__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】 因为圆的方程，所以圆心为，半径，所以圆与轴交于，‎ ‎ 过圆外一点作一条直线与圆交于两点，则与圆相切，且，由切割线定理得．‎ ‎ ‎ ‎16．【2018江苏南京师大附中、天一、海门、淮阴四校高三联考】已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，．当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为__________．学！科网 ‎【答案】‎