安徽省安庆市2020届高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题

安徽省安庆市2020届高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题

安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学（理科）试题 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设全集为，集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2.是虚数单位，复数，则 A． B．　 C． D．‎ ‎3.已知满足则 A. B. C. D. ‎ ‎4.二项式的展开式中的系数为 A. B. C. D.‎ ‎5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎6.某学校开展脱贫攻坚社会实践走访活动，学校安排了2名教师带队，4名学生参与，为了调查更具有广泛性，将参加人员分成2个小组，每个小组由1名教师和2名学生组成，到甲、乙两地进行调查，不同的安排方案共有 A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 ‎7.函数的图像大致是 A B C D ‎8.若满足则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎9.在△ABC中，是中点，是中点，的延长线交于点则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.已知数列的前项和为，且对于任意满足 则 A. B. C. D.‎ ‎11.已知圆锥顶点为，底面的中心为，过直线的平面截该圆锥所得的截面是 面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，给出下列四个命题：‎ ‎① 的最小正周期为 ②的图象关于直线对称 ‎③ 在区间上单调递增 ④ 的值域为 其中所有正确的编号是 A.②④ B．①③④ C．③④ D．②③‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分. ‎ 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ～第23题为选考题，考生根据要求作答. ‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效。‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎14.设△ABC的内角所对的边分别为,若,‎ 则__________．‎ ‎15.设为等比数列的前项和，已知，则公比为为________．‎ ‎16.已知函数，若实数满足，则_______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。答案写在试题卷上无效 ‎17.（本题满分12分）‎ 在△ABC中，角所对的边为，若，点在边上，且，.‎ ‎（Ⅰ）若的面积为，求的长；‎ ‎（Ⅱ）若,求的大小．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 在几何体中，，⊥平面，⊥平面，，.‎ ‎（Ⅰ）设平面与平面的交线为直线，求证：∥平面；‎ ‎（II）求二面角的正弦值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某学校开设了射击选修课，规定向、两个靶进行射击：先向靶射击一次，命中得分，没有命中得分，向靶连续射击两次，每命中一次得分，没命中得分；小明同学经训练可知：向靶射击，命中的概率为，向靶射击，命中的概率为，假设小明同学每次射击的结果相互独立．现对小明同学进行以上三次射击的考核．‎ ‎（Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；‎ ‎（Ⅱ）求小明同学获得总分的分布列及数学期望．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，设是椭圆的左焦点，直线：与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且，过点作斜率为直线与椭圆相交于不同的两点 ，‎ ‎（Ⅰ）当时，线段的中点为，过作交轴于点，求；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最大值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数，‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性；‎ ‎(Ⅱ)设，若的最小值为，证明：．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22. ‎（本题满分10分）选修4–4坐标系与参数方程 在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，‎ ‎（Ⅰ）求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求点到直线的距离的最小值．‎ ‎23.（本题满分10分）选修4–5不等式选讲 设均为正数，‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，证明．‎ 安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分。‎ ‎1.解析：，，‎ ‎，答案为B ‎2.解析：，答案为D ‎3.解析：，故答案为B ‎4.解析：通项为 令，则，，‎ 答案为A 另：‎ ‎5.解析：设双曲线的方程为，其渐近线为，‎ 点在渐近线上，所以，由．答案为D ‎6.解析：采取分步计算 答案为A ‎7.解析：函数为偶函数，当，，答案为C ‎8.解析：画出可行域，可知经过点取得最大值，答案为D ‎9.解析：设，‎ 因为三点共线，则，‎ 所以 答案为A ‎10.解析：当时，‎ 所以数列的从第2项起为等差数列，又，所以 ，‎ 所以，，，，‎ 答案为B ‎11.解析：∵过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，设正三角形边长为，则，解得，所以圆锥的高为，底面圆的直径为，所以该圆锥的体积为．答案为B ‎12.解析：‎ 函数，，，故函数的最小正周期不是，故①错误．‎ 由于，，∴， 故的图象不关于直线 对称，故排除②．‎ 在区间上，，，单调递增，故③正确．‎ 当时，，‎ 故它的最大值为，最小值为；当时，‎ ‎，‎ 综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．答案为．‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分共20分。‎ ‎13.解析：由题意知，，所以曲线在点处的切线斜率，‎ 故所求切线方程为，答案为 ．‎ ‎14.解析：，由正弦定理得，，,，则答案为 ‎ ‎15.解析：，以上相减可得，所以数列的公比为，‎ 答案为3.‎ ‎16.解析：易知为奇函数且为增函数，故 ‎，，‎ 答案为 三、解答题：本大题共6小题，共70分。‎ ‎17.解析：（1）又由可得 由余弦定理可得，…………………………… 1分 所以， ………………………………………… 2分 因为的面积为，即，‎ 所以，………………………………………………3分 在中,由余弦定理，得,‎ 所以 ………………………………………………6分 （2） 由题意得设,‎ 在△ADC中，由正弦定理，得， ……………… ①‎ ‎…………………7分 在△BCD中，由正弦定理 即 ………………② …………………8分 由①②可得所以………………………………………………9分 即，………………………………………………10分 由，解得……………………………………………11分 由解得 故或.…………………………………………12分 ‎18.证明：(I) 因为⊥平面，⊥平面 所以， ………………1分 又因为平面，平面，‎ 所以平面………………3分 平面平面，则 又平面，平面 所以平面 ………………6分 ‎（II）建立如图所示的空间直角坐标系 ………………7分 因为，，.‎ 所以 则，,,,………………8分 设平面的法向量为 ‎,则即 令，则，所以………………………………9分 设平面的法向量为 ‎,则即 取，则所以………………………………10分 ‎…………………………11分 所以故二面角的正弦值………………………12分 ‎19.解析：（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件C，“小明射击靶命中”为事件, “该射手第一次射击靶命中”为事件，“该射手第二次射击靶命中”为事件，‎ 由题意可知，，…………………………………2分 由于…………………………………4分 ‎=；……………………………6分 ‎（Ⅱ）……………………………7分 ‎，，‎ ‎，，‎ ‎……………………………9分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎……………………………10分 ‎.………………12分 ‎20.解析：（Ⅰ）∵, ∴，又∵，‎ ‎∴∴, ‎ ‎∴椭圆的标准方程为，…………2分 点的坐标为，点的坐标为 直线的方程为 即……………………………3分 联立可得设，‎ 则，……………………………4分 所以，‎ 直线的斜率为，直线的方程为………………………5分 令，解得即 所以……………………………6分 ‎（Ⅱ）直线的方程为，当时，……………………………7分 当时，设，直线的方程为 ‎ 联立可得，设 ‎，解得或者 ‎，……………………………8分 方法一：……………………………9分 点到直线的距离……………………………10分 当且仅当，即时（此时适合于△＞0的条件）取等号,‎ 所以当时，直线为时，面积取得最大值为.‎ ‎……………………………12分 方法二：……………………9分 即，…………………11分 当且仅当，即时（此时适合于△＞0的条件）取到等号。‎ ‎∴所以当时，直线为时，面积取得最大值为.‎ ‎…………………12分 ‎21.解：(Ⅰ)‎ ‎， …………………1分 设 所以在上单调递减，在上单调递增…………………………3分 ‎，即…………………………………………5分 所以在上单调递增…………………………………………………6分 ‎(Ⅱ) ‎ ‎，……………………………………………………………7分 ‎ 设 ‎， 设 ‎，所以在上单调递增………………………………………8分 ‎，即，所以在上单调递增…………………9分 所以在上恰有一个零点且…………10分 在上单调递减，在上单调递增 ‎，…………………………11分 由(Ⅰ)知在上单调递增 所以 所以……………………………………………………………………12分 ‎22.解析：（Ⅰ）由可得，所以即 所以直线直角坐标方程为.…………………………2分 由可得，所以 所以曲线的直角坐标方程为…………………………5分 ‎（Ⅱ）设点，则，则 ‎…………………………9分 当时取等号，此时所以点到直线的距离的最小值为 ‎…………………………10分 ‎23.证明：（Ⅰ）因为均为正数，由重要不等式可得 ‎，，…………………………3分 以上三式相加可得 即得证.…………………………5分 ‎（Ⅱ）因为由（Ⅰ）可知…………………………6分 故 所以得证.…………………………10分