2018届二轮复习（理）专题六　解析几何第1讲　直线与圆课件（全国通用）

2018届二轮复习（理）专题六　解析几何第1讲　直线与圆课件（全国通用）

第 1 讲　直线与圆 专题六 　 解析几何 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　直线的方程及应用 1. 两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l 1 ， l 2 的斜率 k 1 ， k 2 存在，则 l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 ＝ k 2 ， l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 k 2 ＝－ 1. 若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在 . 2. 求直线方程 要注意几种直线方程的局限性 . 点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线 . 例 1 　 (1)(2017 届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考 ) “ a ＝ 2 ” 是 “ 直线 ax ＋ y － 2 ＝ 0 与直线 2 x ＋ ( a － 1) y ＋ 4 ＝ 0 平行 ” 的 A. 充要条件 B . 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 思维升华　 求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况 . √ 解析　 由 ax ＋ y － 2 ＝ 0 与直线 2 x ＋ ( a － 1) y ＋ 4 ＝ 0 平行，得 a ( a － 1) ＝ 2 ， ∴ a ＝－ 1 ， a ＝ 2. 经检验当 a ＝－ 1 时，两直线重合 ( 舍去 ). ∴“ a ＝ 2 ” 是 “ 直线 ax ＋ y － 2 ＝ 0 与直线 2 x ＋ ( a － 1) y ＋ 4 ＝ 0 平行 ” 的充要 条件 . 思维升华 (2)(2017 届南京、盐城模拟 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 ： kx － y ＋ 2 ＝ 0 与直线 l 2 ： x ＋ ky － 2 ＝ 0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x － y － 4 ＝ 0 的距离的最大值为 ________. 答案 解析 思维升华　 对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究 . 思维升华 解析　 由题意，得直线 l 1 ： kx － y ＋ 2 ＝ 0 的斜率为 k ， 且经过点 B (2 ， 0) ，且直线 l 1 ⊥ l 2 ， 跟踪演练 1 　 (1) 已知直线 l 1 ： ax ＋ ( a ＋ 2) y ＋ 1 ＝ 0 ， l 2 ： x ＋ ay ＋ 2 ＝ 0 ，其中 a ∈ R ，则 “ a ＝－ 3 ” 是 “ l 1 ⊥ l 2 ” 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 √ 解析　 直线 l 1 ⊥ l 2 的充要条件是 a ＋ ( a ＋ 2) a ＝ 0 ， ∴ a ( a ＋ 3) ＝ 0 ， ∴ a ＝ 0 或 a ＝－ 3. 故选 A. (2) 已知两点 A (3,2) 和 B ( － 1,4) 到直线 mx ＋ y ＋ 3 ＝ 0 的距离相等，则 m 的值为 答案 解析 所以 |3 m ＋ 5| ＝ | m － 7|. 所以 (3 m ＋ 5) 2 ＝ ( m － 7) 2 ，整理得 2 m 2 ＋ 11 m － 6 ＝ 0. √ 热点二　圆的方程及应用 1. 圆的标准方程 当圆心为 ( a ， b ) ，半径为 r 时，其标准方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，特别地，当圆心在原点时，方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 . 2. 圆的一般方程 例 2 　 (1)(2017· 海口调研 ) 已知圆 M 与直线 3 x － 4 y ＝ 0 及 3 x － 4 y ＋ 10 ＝ 0 都相切，圆心在直线 y ＝－ x － 4 上，则圆 M 的方程为 A.( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 B .( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 C.( x ＋ 3) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 D .( x － 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 答案 解析 √ 解析　 到两直线 3 x － 4 y ＝ 0 及 3 x － 4 y ＋ 10 ＝ 0 的距离都相等的直线方程为 3 x － 4 y ＋ 5 ＝ 0 ， 所以半径为 1 ，从而圆 M 的方程为 ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1. 故选 C. 答案 解析 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 9 或 ( x － 8) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 73 解析　 由题意可设圆心 C ( a ， 2) ， 即圆 C 的标准方程为 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 9 或 ( x － 8) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 73. 思维升华 思维升华　 解决与圆有关的问题一般有两种方法 (1) 几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程 . (2) 代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数 . 答案 解析 解析　 由题意可知，圆的半径为点到直线的距离， 跟踪演练 2 　 (1) 圆心为 (4 ， 0) 且与 直线 x － y ＝ 0 相切的圆的方程为 A.( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 1 B .( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 12 C.( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 6 D .( x ＋ 4) 2 ＋ y 2 ＝ 9 √ 结合圆心坐标可知，圆的方程为 ( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 12 . 答案 解析 (2)(2016· 浙江 ) 已知 a ∈ R ，方程 a 2 x 2 ＋ ( a ＋ 2) y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y ＋ 5 a ＝ 0 表示圆，则圆心坐标是 ____________ ，半径是 _____. ( － 2 ，－ 4) 5 解析　 由已知方程表示圆，则 a 2 ＝ a ＋ 2 ， 解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1. 当 a ＝ 2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去 . 当 a ＝－ 1 时，原方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＋ 8 y － 5 ＝ 0 ， 化为标准方程为 ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 25 ， 表示以 ( － 2 ，－ 4) 为圆心， 5 为半径的圆 . 热点三　直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法 . (1) 点线距离法：设圆心到直线的距离为 d ，圆的半径为 r ，则 d < r ⇔ 直线与圆相交， d ＝ r ⇔ 直线与圆相切， d > r ⇔ 直线与圆相离 . 2. 圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离 . (1) d > r 1 ＋ r 2 ⇔ 两圆外离 . (2) d ＝ r 1 ＋ r 2 ⇔ 两圆外切 . (3)| r 1 － r 2 |< d < r 1 ＋ r 2 ⇔ 两圆相交 . (4) d ＝ | r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) ⇔ 两圆内切 . (5)0 ≤ d <| r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) ⇔ 两圆内含 . 答案 解析 √ 解析　 圆 x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ 1 的圆心坐标为 (0 ， a ) ，半径为 1 ， 因为直线 x ＋ y ＝ 0 与圆 x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ 1 相切 ， 思维升华 思维升华　 讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量 . 答案 解析 (2)(2017· 银川模拟 ) 已知圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 ＝ 4 ，圆 C 2 ： x 2 ＋ y 2 ＋ 6 x － 8 y ＋ 16 ＝ 0 ，则圆 C 1 和圆 C 2 的位置关系是 A. 相离 B . 外切 C . 相交 D . 内切 √ 解析　 化圆 C 2 的方程为 ( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 9 ， 所以圆 C 1 和圆 C 2 外切，故选 B. 思维升华 思维升华　 圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题 . 答案 解析 √ 解析　 由 l ： kx ＋ y ＋ 4 ＝ 0( k ∈ R ) 是圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 的一条对称轴知，直线 l 必过圆心 ( － 2 ， 2) ， 因此 k ＝ 3. 则过点 A (0 ， k ) ，斜率为 1 的直线 m 的方程为 y ＝ x ＋ 3 ， 答案 解析 (2)(2017· 西宁复习检测 ) 如果圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ 8 上总存在到原点的距离 为 的 点，则实数 a 的取值范围是 A.( － 3 ，－ 1) ∪ (1 ， 3) B .( － 3 ， 3) C .[ － 1 ， 1] D .[ － 3 ，－ 1] ∪ [1 ， 3 ] √ 解得 1 ≤ a ≤ 3 或－ 3 ≤ a ≤ － 1 ， 所以实数 a 的取值范围是 [ － 3 ，－ 1] ∪ [1 ， 3] ，故选 D . Ⅱ 真题押题精练 真题体验 答案 解析 1 2 3 1.(2016· 山东改编 ) 已知圆 M ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay ＝ 0( a ＞ 0) 截直线 x ＋ y ＝ 0 所得线段的长度 是 则 圆 M 与圆 N ： ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 的位置关系是 ______. 相交 解析　 ∵ 圆 M ： x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a 2 ， ∴ 圆心坐标为 M (0 ， a ) ，半径 r 1 为 a ， ∴ M (0,2) ， r 1 ＝ 2. 又圆 N 的圆心坐标为 N (1,1) ，半径 r 2 ＝ 1 ， 1 2 3 又 r 1 ＋ r 2 ＝ 3 ， r 1 － r 2 ＝ 1 ， ∴ r 1 － r 2 ＜ | MN | ＜ r 1 ＋ r 2 ， ∴ 两圆相交 . 1 2 3 2.(2016· 上海 ) 已知平行直线 l 1 ： 2 x ＋ y － 1 ＝ 0 ， l 2 ： 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，则 l 1 ， l 2 的距离是 ________. 1 2 3 答案 答案 解析 1 2 3 3.(2016· 全国 Ⅰ ) 设直线 y ＝ x ＋ 2 a 与圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay － 2 ＝ 0 相交于 A ， B 两点，若 | AB | ＝ 2 ， 则圆 C 的面积为 ____. 解析　 圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay － 2 ＝ 0 ， 即 C ： x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 ，圆心为 C (0 ， a ) ， 所以圆的面积为 π( a 2 ＋ 2) ＝ 4π. 4π 押题预测 答案 解析 押题依据　 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用 . 1 2 3 1. 已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 (1,0) 且被 x 轴分成的两段弧长比为 1 ∶ 2 ，则圆 C 的方程为 √ 押题依据 1 2 3 设圆心坐标为 (0 ， a ) ，半径为 r ， 押题依据　 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大 . √ 答案 解析 1 2 3 押题依据 解析　 由直线 ( m ＋ 1) x ＋ ( n ＋ 1) y － 4 ＝ 0 与圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 相切， 1 2 3 答案 解析 押题依据　 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路 . 1 2 3 3. 若圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 与圆 x 2 ＋ y 2 ＋ ax ＋ 2 ay － 9 ＝ 0( a >0) 相交，公共弦的长为 2 ， 则 a ＝ ______. 押题依据 1 2 3 可得公共弦所在直线方程为 ax ＋ 2 ay － 5 ＝ 0 ，