2018届二轮复习（文科数学）考前冲刺跳出10个解题陷阱学案（全国通用）
跳出10个解题陷阱
数学中的陷阱题,往往针对考生学习某些概念、定理、运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生习惯思维、思维的弱点 设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷去构造问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,以假乱真,可以有效地检测并暴露出考生的认知缺陷.下面结合一些典型例题教你如何走出陷阱.
陷阱一 混淆概念致误——使用概念要明辨
例1 若z=sin θ-+i是纯虚数,则tan的值为( )
A.-7 B.- C.7 D.-7或-
易错分析 解决本题易忽视虚部不为零的限制条件.
答案 A
正确解析 由纯虚数的概念,可知
由①,得sin θ=,故cos θ=±=±=±,而由②,可得cos θ≠,故cos θ=-,所以tan θ==-.
所以tan===-7.故选A.
▲跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析试题待求的问题,在准确用好概念的前提下对试题进行解答,这样才能避免概念性错误.
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1.已知R是实数集,集合P={x|y=log2(-x2+2x+3)},Q={y|y=log2(-x2+2x+3)},则P∩Q=( )
A.(-1,3) B.(0,3)
C.(-1,2] D.[-1,2]
陷阱二 错用结论失分——公式定理要记准
例2 函数y=sin的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原 的.所得函数解析式为( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
易错分析 解决该题易出现以下两个方面的问题:一是不能准确确定函数解析式的变换与图象左右平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的变化规律与函数解析式的变换之间的关系.
答案 D
正确解析 将原函数图象向右平移个单位长度,所得函数解析式为y=sin=sin,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原 的得y=sin.故选D.
▲跳出陷阱 三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;若向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上点的横坐标变为原 的ω倍,则得到函数y=f的图象.
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2.函数f(x)的图象由函数g(x)=4sin xcos x的图象向左平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原 的2倍(纵坐标不变)而得到,则f=( )
A. B.
C. D.
陷阱三 忽视特殊情况——特别情况要谨记
例3 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+1(n∈N ),且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
易错分析 解决本题易出现以下两个方面的问题:一是利用an=Sn-Sn-1建立an与an-1之间的关系时忽视n≥2的限制条件,而忽略对n=1时的讨论;二是求数列{nan}的前n项和Tn时,忽视该数列通项公式中n=1时的情况,直接求和不验证而导致失分.
正确解析 (1)当n=1时,由已知可得a1=2a2,即a2=a1=.
当n≥2时,由已知Sn=2an+1(n∈N ),可得Sn-1=2an(n≥2,n∈N ),
两式相减得an=2an+1-2an⇒2an+1=3an,即=,
所以数列{an}从第二项 成一个首项为a2=,公比为的等比数列,故当n≥2,n∈N 时有an=·.
所以an=
(2)记bn=nan=
故当n=1时,T1=b1=1;
当n≥2时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=1+×+×+…+×+×, ①
Tn=+×+×+…+×+×, ②
①-②得,-Tn=-+1+×+×+…+×-×
=+-×
=+×-×
=--×
=-+-×
=-1-×,
所以Tn=2+(n-2)×.
当n=1时,T1=2+(1-2)×=1,显然上式也成立.
综上,Tn=2+(n-2)×,n∈N .
▲跳出陷阱 解决数列问题一定要注意n的取值范围,求通项问题,要注意对首项的验证,如该题中用到an与Sn的关系式an=Sn-Sn-1,而该式成立的前提是n≥2;再如已知数列{an},当n≥2时,若有=q,则该数列不一定是等比数列,因为该式不包含
=q,若要证明该数列是等比数列,则还需验证=q.
例4 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆C的右焦点H作两条互相垂直的弦EF与MN.当直线EF的斜率为0时,|EF|+|MN|=7.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求|EF|+|MN|的取值范围.
易错分析 解决本题易忽视两条弦中一条斜率为0,另一条斜率不存在的情况.
正确解析 (1)由题意知e==,
即a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,
当kEF=0时,有|EF|+|MN|=2a+=4c+3c=7,
所以c=1,a=2,b=,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0,另一条弦所在直线的斜率不存在时,此时由题意知|EF|+|MN|=7;
②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设E(x1,y1),F(x2,y2),且直线EF的方程为y=k(x-1),则直线MN的方程为y=-(x-1),
将直线EF的方程代入椭圆方程中,整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以|EF|=|x1-x2|=,
同理,|MN|==,
所以|EF|+|MN|=+
==
==7-
=7-≥7-=,
又>0,
所以≤|EF|+|MN|<7,
综合①与②可知,|EF|+|MN|的取值范围是.
▲跳出陷阱 解决直线与圆锥曲线的问题时,当问题涉及直线方程时,常见错误是容易遗漏对斜率k的讨论.一般地,对斜率k应分三种情况讨论:直线l的斜率k=0、直线l的斜率不存在、直线l的斜率存在且k≠0.
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3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n+b,且a1=3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆C的一个焦点重合,且抛物线的准线与C相交于点.
(1)求p的值和椭圆C的方程;
(2)过点F是否存在直线l与椭圆C交于M,N两点,以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
陷阱四 分类讨论不全——问题分类要全面
例5 已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)
0).
(1)f '(x)=(x>0).
①当a≤0时,ax-1<0,在区间(0,2)上, f '(x)>0,在区间(2,+∞)上,f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).
②当02,在区间(0,2)和上, f '(x)>0,在区间上,f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是.
③当a=时, f '(x)=≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
④当a>时,0<<2.在区间和(2,+∞)上, f ' (x)>0,在区间上f '(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是.
(2)由已知,在(0,2]上有f(x)maxln 2-1.∴ln 2-1时, f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)max=f=-(2a+1)+2ln=--2-2ln a<0.
当a>时,+2ln a>+2ln e-1>-2,
故a>时满足题意.
综上,a的取值范围为(ln 2-1,+∞).
▲跳出陷阱 含参函数单调性的分析是一个难点,合理分类是解决此类问题的关键,一般 说,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为:①最高次幂系数是否为0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类之后确定导函数的符号,应画出导函数解析式中符号变化的部分对应函数(一般可转化为一次函数或二次函数)的图象,根据函数图象与x轴的相对位置变化确定导函数的符号,进而写出单调区间.
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5.已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,∀x∈(0,+∞), f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
陷阱五 遗漏条件增解——细心审题不遗漏
例6 某市为了解社区群众体育活动的开展情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区抽出6个社区进行调查,已知A,B,C三个行政区中分别有12,18,6个社区.
(1)求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数;
(2)若从抽得的6个社区中随机地抽取2个进行调查结果的对比,求抽取的2个社区中至少有1个 自A行政区的概率.
易错分析 解决本题易出现的问题是求解基本事件时,不按照一定的顺序列举导致漏、重现象.
正确解析 (1)社区总数为12+18+6=36,样本容量与总体的个体数之比为=.
所以从A,B,C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1.
(2)设A1,A2为在A行政区中抽得的2个社区,B1,B2,B3为在B行政区中抽得的3个社区,c为在C行政区中抽得的1个社区,在这6个社区中随机抽取2个,全部可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,c),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,c),(B1,B2),(B1,B3),(B1,c),(B2,B3),(B2,c),(B3,c),共15种.
设事件“抽取的2个社区中至少有1个 自A行政区”为事件X,则事件X所包含的所有可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,c),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,c),共9种.
所以P(X)==.
▲跳出陷阱 利用列举法求基本事件时,一是要注意用不同的字母或数字符号表示不同的元素,这样便于区分;二是要注意按照一定的顺序一一写出基本事件,否则容易产生遗漏或重复现象.
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6.若a,b∈{-1,0,1,2},则函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率为( )
A. B. C. D.
陷阱六 推理不当致错——归纳类比要合理
例7 在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论:++=1.把它类比到空间,设P为四面体ABCD内一点,四个顶点到对面的距离分别是ha,hb,hc,hd,P到这四个面的距离依次是Pa,Pb,Pc,Pd,则有 .
易错分析 从平面到空间类比时缺乏对应特点的分析,在三角形中是其内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于1,类比到空间应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于1.本题如果不考虑比值的特点,就可能误以为类比到空间后是面积之比等,从而得到一些错误的类比结论.
答案 +++=1
正确解析 类比到空间有+++=1.
▲跳出陷阱 类比推理是一种由此及彼的合情推理,“合乎情理”是这种推理的特征,一般的解答思路是进行对应的类比,如平面上的三角形对应空间的三棱锥(四面体),平面上的面积对应空间的体积等.类比推理得到的结论不一定正确,故这类题目在得到类比的结论后,还要用类比方法对类比结论的正确性作出证明,例如本题在三角形中的结论是采用等面积法得到的,在三棱锥中就可以根据等体积法得到,这样不但写出 类比的结论,而且这个结论还是一个正确的结论.
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7.对于命题:若O是线段AB上一点,则有||·+||·=0.
将它类比到平面的情形是:
若O是△ABC内一点,则有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0.
将它类比到空间的情形应该是:若O是四面体ABCD内一点,则有 .
陷阱七 画图不准失分——画图用图要准确
例8 已知实数x,y满足约束条件向量a=(x,y),b=(3,-1),设z表示向量a在向量b方向上的投影,则z的取值范围是( )
A. B.[-1,6]
C. D.
易错分析 解决本题易出现的问题是不能准确作出不等式组所表示的平面区域导致目标函数的最值判断失误.
答案 C
正确解析 画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,
向量a在向量b方向上的投影z==(3x-y),由可行域知,a=(x,y)=(2,0)时,向量a在b方向上的投影最大,且最大值为=;
当a=时,向量a在b方向上的投影最小,且最小值为- =-,所以z的取值范围是.
▲跳出陷阱 对线性规划问题的求解,关键在于两点:一是准确作出不等式组所表示的平面区域;二是准确确定目标函数的几何意义.作可行域时,应采用“线定界,点定域”,即先作出边界直线,然后根据“同侧同号、异侧异号”,利用特殊点(一般取原点)确定不等式组所表示的平面区域.
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8.若(x,y)为不等式组所表示的平面区域内的一点,且z=kx+y取得最小值的点有无数个,则k=( )
A.1 B.-2 C.2 D.1或-2
陷阱八 运算过程出错——步骤过程要合理
例9 如图所示的四棱锥A-BCDE,四边形BCDE是边长为3的正方形,AE⊥平面BCDE,AE=3,点P是边DE上的一个动点,连接PA,PC.
(1)若点Q为棱AC的中点,是否存在点P,使得PQ∥平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;
(2)当EP=ED时,求三棱锥C-ABP的高.
易错分析 在用等体积法求三棱锥C-ABP的高时,易因运算出错,导致△ABP的面积求错,从而所求的结果出错.
正确解析 (1)当P为DE的中点时,PQ∥平面AEB.
理由如下:
取AB的中点M,连接EM,QM,如图所示.
由Q为AC的中点,得MQ∥BC,且MQ=BC,
又PE∥BC,且PE=BC,
所以PE∥MQ,PE=MQ,
所以四边形PEMQ为平行四边形,
故ME∥PQ.
又PQ⊄平面AEB,ME⊂平面AEB,
所以PQ∥平面AEB.
(2)因为四边形BCDE是边长为3的正方形,EP=ED,
所以△BCP的面积S△BCP=×3×3=,且EP=×3=2,
因为AE⊥平面BCDE,
所以AE⊥EP.
又AE=3,所以AP===,
因为BP===,
AB===3,
所以△ABP的面积
S△ABP=×3×=,
设三棱锥C-ABP的高为h,因为VC-ABP=VA-BCP,
所以S△ABP×h=S△BCP·AE,
所以h===,
所以三棱锥C-ABP的高为.
▲跳出陷阱 利用等体积法求三棱锥(或四面体)的高时,一定要认真计算底面三角形的面积.
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9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,PA⊥BD.
(1)求证:PB=PD;
(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求三棱锥D-ACE的体积.
陷阱九 问题转化不等价——等价转化要正确
例10 f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
>a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
易错分析 该题易出现的问题是直接把题中>a转化为该函数的导数值的范围,即f '(x)>a.
正确解析 f '(x)=x-+a-2=(x>0).
(1)当a=1时, f(1)=-,
f '(x)=, f '(1)=-2,
所以所求的切线方程为y-f(1)=-2(x-1).
即4x+2y-3=0.
(2)①当-a=2,即a=-2时,
f '(x)=≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当-a<2,即-22时, f '(x)>0,-a2,即a<-2时,
因为0-a时, f '(x)>0,
2a,知f(x2)-ax2>f(x1)-ax1成立.
令g(x)=f(x)-ax=x2-2aln x-2x,
则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以g'(x)=x--2≥0,
即2a≤x2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立.
所以a≤-,故存在这样的实数a满足题意,其取值范围为.
▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(3)问探究性问题中的“ >a”,其几何意义是曲线上两点(x1, f(x1))与(x2, f(x2))连线的斜率,但如果直接利用导数的几何意义转化为该直线的斜率与函数图象上某点处切线斜率之间的大小关系,则求解较复杂,应该通过代数式的等价变形,从而转化为函数y=f(x)-ax的单调性问题求解.
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10.已知p:关于x的不等式x2-mx+4<0有解,q:方程+=1表示椭圆.若命题p∧q为真命题,则实数m的取值范围为 .
陷阱十 新定义陷阱题——正确理解新定义
例11 定义:用[x](x∈R)表示不超过x的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过x的最小整数.例如[1.2]=1,[-0.3]=-1,[-1.5)=-1.给出下列结论:
①函数f(x)=[sin x]是奇函数;
②2π是函数f(x)=[sin x]的周期;
③若x∈(1,2),则不等式([x)-x)[x)0,即x2-2x-3<0,
亦即(x+1)(x-3)<0,解得-1b>0).
由抛物线的准线与C相交于点,
可知-=-1,所以p=2.
由此可知抛物线的焦点为F(1,0),所以c=1.
将点代入椭圆方程,得+=1,
又a2-b2=c2=1,解得a2=2,b2=1.
于是所求椭圆C的方程为+y2=1.
(2)当直线l与x轴重合时,l:y=0,此时M(,0),N(-,0),
以MN为对角线的正方形另外两个顶点坐标为(0,),(0,-),符合题意.
当直线l与x轴垂直时,l:x=1,此时M,N,
以MN为对角线的正方形另外两个顶点坐标为,,不符合题意.
当直线l与x轴既不重合也不垂直时,不妨设直线l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则线段MN的中点Q,
联立并消去y,
得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
由根与系数的关系,得x1+x2=,
x1x2=,
所以Q.
则线段MN的中垂线l'的方程为y+=-,
即y=-+,令x=0,得直线l'与y轴的交点R,
由题意知,以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上,当且仅当RM⊥RN,即·=·=0,
所以x1x2+y1y2-(y1+y2)+=0. ①
又y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=-, ②
y1+y2=k(x1+x2-2)=-, ③
将②③代入①,解得k=±1,此时直线l的方程为y=±(x-1).
综上,所求直线l的方程为x=0,x-y-1=0或x+y-1=0.
陷阱四 分类讨论不全——问题分类要全面
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5.解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).
f '(x)=a-=,当a≤0时, f '(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点;
当a>0时,由f '(x)<0得00得x>,
∴f(x)在上递减,在上递增,即f(x)在x=处有极小值.
∴当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上没有极值点,
当a>0时, f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.
(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值,
∴a=1,∴f(x)≥bx-2⇒1+-≥b,
令g(x)=1+-,x>0,则g'(x)=,
令g'(x)=0,得x=e2,则g(x)在(0,e2)上递减,在(e2,+∞)上递增,∴g(x)min=g(e2)=1-,即b≤1-,即实数b的取值范围为.
陷阱五 遗漏条件增解——细心审题不遗漏
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6.A 易知(a,b)共有16种等可能的结果.
当a=0时, f(x)=2x+b,无论b取{-1,0,1,2}中的何值,函数f(x)必有零点,所以有4种取法符合要求;
当a≠0时,函数f(x)=ax2+2x+b为二次函数,
若f(x)有零点,则有4-4ab≥0,即ab≤1,
所以符合要求的a,b取值组成的数对有:(-1,0),(1,0),(2,0),(-1,1),(-1,-1),(1,1),(1,-1),(-1,2),(2,-1),共9种,故所求的概率为=,故选A.
陷阱六 推理不当致错——归纳类比要合理
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7.答案 VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0
解析 将平面中的相关结论类比到空间,通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积,因此依题意可知:若O为四面体ABCD内一点,则有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.
陷阱七 画图不准失分——画图用图要准确
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8.D 作出可行域如图中阴影部分所示,y=-kx+z,依题意知-k≠0,所以,①当-k>0,即k<0时,依题意,当目标函数线运动至与BC重合时,最优解有无数个,符合题意,即-k=2,即k=-2;②同理,当-k<0,即k>0时,依题意,当目标函数线运动至与AB重合时,最优解有无数个,符合题意,即-k=-1,即k=1.综合①②可知,k=1或-2.
陷阱八 运算过程出错——步骤过程要合理
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9.解析 (1)证明:设AC交BD于点O,连接PO,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD且O为BD的中点,又∵PA⊥BD,PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC,由于PO⊂平面PAC,故BD⊥PO,又∵BO=DO,故PB=PD.
(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,
则EQ=CD,且EQ∥CD,
∵AB∥CD,AB=CD,F为AB的中点,
∴AF=CD,且AF∥CD,
∴EQ=AF,且EQ∥AF,
∴四边形AFEQ为平行四边形,
∴EF∥AQ,
∵EF⊥平面PCD,
∴AQ⊥平面PCD,
∵PD⊂平面PCD,
∴AQ⊥PD,∵Q为PD的中点,
∴AP=AD=,
由AQ⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,可得AQ⊥CD,
又∵AD⊥CD,AQ∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
∵PA⊂平面PAD,
∴CD⊥PA,
又∵BD⊥PA,BD∩CD=D,
∴PA⊥平面ABCD.在△PAC中,E、O分别是PC,AC的中点,
∴EO∥PA,且EO=PA,
∴EO⊥平面ABCD,
∴VD-ACE=VE-ACD=×PA×S△ACD=×××××=,
故三棱锥D-ACE的体积为.
陷阱九 问题转化不等价——等价转化要正确
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10.答案 (4,5)∪(5,7)
解析 当p为真命题时,Δ=(-m)2-4×1×4>0,解得m>4或m<-4;
当q为真命题时,解得3
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