江西省南昌市第十中学2019-2020学年高二5月摸底考试数学试题

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南昌十中2020年5月返校摸底考试 高二数学试题 说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟 注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.‎ ‎1．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。‎ ‎2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。‎ ‎3．考试结束后，答题纸交回。[来源:Z|xx|k.Com]‎ 一、单选题（本大题共12小题，每题5分）‎ ‎1.设复数Z满足 ，则|Z|=( )‎ A. ‎ B. C. D. 2‎ ‎2.如果“ ”为真命题，则（ ）‎ A. p，q都是真命题 B. p，q都是假命题 C. p，q中至少有一个是真命题 D. p，q中至多有一个是真命题 ‎3．已知拋物线 的焦点恰好为双曲线 的上焦点，则a=（　）‎ A. 4 B. C. 8 D. -8‎ ‎4．已知曲线 在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是（ ）‎ A.（1,3） B. （1,4） C. （-1,3） D. （-1，-4）‎ ‎5．已知某条曲线的参数方程是 （t是参数），则该曲线是（ ） ‎ A. 直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线 ‎6.（文科）设a为实数，函数 的导函数 ，且 是偶函数，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）‎ A. 9x-y-16=0 B. 9x+y+16=0 C. 9x-y+16=0 D. 9x+y-16=0‎ ‎（理科）函数 则 的值为( )‎ A. B. C. D. 8‎ ‎7.下列命题中，真命题是（　）‎ A. 设 ，则 为实数的充要条件是 为共轭复数 B. “直线l与曲线C相切”是“直线l与曲线C只有一个公共点”的充分不必要条件 C. “若两直线 ，则它们的斜率之积等于 -1”的逆命题 D. 是R上的可导函数，“若 是 的极值点，则 ”的否命题 ‎8．若直线l过点(3,0)与双曲线 只有一个公共点，则这样的直线有( )‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎9. 已知函数 ，则 的图象大致为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知 分别是双曲线 的左、右焦点，两条渐近线分别 为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于A，B两点，若|OA|+|OB|=2|AB|且 在线段AB上，则该双曲线的离心率为（　）‎ A. ‎ B. C. 2 D. ‎ ‎11.已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 分别交于O、A、B三点，O为坐标原点,若双曲线的离心率为2，⊿AOB的面积为 ，则P=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.若关于x的不等式 的解集为（m,n）(n<0)，且(m,n)中只有一个整数，则实数a的取值范围是（ ）‎ A.（ , ） B. [ , ） C. （ ， ） D. [ ， ）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分）‎ ‎13．代数式 中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则 ，则 ，取正值得 ，用类似方法可得 = ______．‎ ‎14. 若 是函数 的极值点，则 的极小值为 ‎ ‎15．已知条件 p： ，条件q：直线y=kx+2与圆 相切，则 是 的 ‎ 条件 ‎（从充分必要条件、必要不充分条件、充分不必要条件、既不充分也不必要条件选一填空）‎ ‎16. 定义在R上的偶函数 ，其导函数 ，当x0时，恒有 ，‎ ‎ 若 ，则不等式 的解集为 ‎ 三、解答题 ‎17．（本小题10分）已知函数 ，当x=2时，函数 取得极值． （1）求实数a的值； （2）若 时，方程 有两个根，求实数m的取值范围．‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ 18. ‎（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 :x+y=1与曲线 ‎ 为参数),以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)写出曲线 的极坐标方程； (2)在极坐标系中，已知l： 与 的公共点分别为A，B， ,当 ‎ 时，求 的值．‎ ‎19.（本小题12分）已知函数 ．‎ (1) 求曲线 在点 处的切线方程；‎ ‎（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值．‎ ‎20.（本小题12分）已知抛物线C： 的焦点F与椭圆 的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M． (1)求抛物线的标准方程； (2)求 的最小值． ‎ 21. ‎（本小题12分）已知椭圆E： 经过点(1, ) ，且离 心率 ． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右顶点为A，若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于M、N两点(异于A点)， 且满足MA⊥NA，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标． ‎ ‎22.（本小题12分）已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若 有两个零点，求a的取值范围． [来源:学科网ZXXK]‎ 南昌十中2020年5月返校摸底考试 高二数学试题解析 一、单选题（本大题共12小题，每题5分）‎ ‎1.【答案】C A. ‎ B. C. D. 2‎ 解：，，．则．‎ ‎2. D ‎3． B ‎4．　　C 解：，，令，则，点M的坐标是 ‎5． D ‎ ‎6.（文科）A ‎（理科）A ‎ ‎7. C ‎8． C ‎【解析】解：设直线L：，代入双曲线方程化简得 要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等， ，或不成立，解得， 直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个公共点，‎ ‎9. A ‎ ‎10. A 解：由已知AB与x轴交于点，双曲线的渐近线方程为，，焦点， 可得到渐近线的距离为，， 设，， 中，为的平分线，可得，即为 ‎， 而，可得， 则，则．‎ ‎11. B 解：双曲线的离心率为2，，，则， 双曲线，双曲线的渐近线方程是 设点A位于第一象限，由得或．故． 又的面积为，x轴是角AOB的角平分线，，得．‎ ‎12.【答案】D ‎【解析】解：由题意设，， 原不等式有唯一整数解， 在直线下方，有一个交点， ， 在递减，在递增，， 恒过定点，结合函数图象得，， 又，，，，即，‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分）‎ ‎13．代数式中省略号“”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式，则，则，取正值得，用类似方法可得______．故答案为：3．‎ ‎【解析】解：令， 则两边平方得，，即，解得，舍去． ‎ 14. ‎ -1 ‎ ‎15． ‎ 必要不充分条件． ‎ ‎16.‎ ‎ （ ,1） [来源:Z|xx|k.Com]‎ 三、解答题 ‎17．‎ 解：由，则 ， 因在时，取到极值，所以， 解得，； 由得， 且， 则， 由，解得或， ，解得或； ，解得； 的递增区间为：和； 递减区间为：， 又，‎ 要有两个根，则有两解，分别画出函数与的图象，如图所示． 由图知，实数m的取值范围：．‎ ‎18.解：曲线的极坐标方程为，即． 曲线 的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为； 由知，， ， ‎ ‎，，， 由，知， 故，．‎ ‎19. ‎ 解：函数的导数为， 可得曲线在点处的切线斜率为， ，切点为， 曲线在点处的切线方程为； 函数的导数为， 令， 则的导数为， 当，可得， 即有在上单调递减，可得，即， 则在上单调递减，即有函数在区间上的最大值为； 最小值为．‎ ‎20.解：Ⅰ由椭圆知，其右焦点为，即抛物线的焦点为， ，解得； 抛物线C的标准方程为； Ⅱ当动弦AB所在的直线斜率不存在时，易得，； 当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知AB的斜率不为0， 设AB所在直线方程为，且，， 联立方程组，消去y得； ‎ ‎，，且； ； FM所在的直线方程为， 联立方程组，求得点， ，；综上所述，的最小值为2．‎ 21. ‎【答案】解：Ⅰ由椭圆离心率，则，， 将代入椭圆方程：，解得：，则，， 椭圆方程为； Ⅱ证明：设，， 由，整理得， 则， ， 且，即， ， 即，则， 即， 又， ，化简得，， 解得或且均满足， 当时，l：，直线过定点与已知矛盾， 当时，l：，直线过定点， 综上，直线l过定点，定点坐标为．‎ ‎22.解：由， 则， 导函数中恒成立， 当时，恒成立，所以在上有， 所以在上单调递减； 当时，令 ，，令，解得， 在上，单调递减，在上，单调递增． 综上可知：当时，在R单调递减， 当时，在是减函数，在是增函数； 若时，由可知：最多有一个零点， 所以不符合题意； 当时，， 函数有两个零点，的最小值必须小于0， 由知，， ，即， 令， ， 所以在上单调递增，又因为， 此时解得． 接下来说明时存在两个零点： 当时，，， 此时，故， 又在上单调递减，， 故存在，使得， 当时，易证， 此时 ‎， 故，且满足， 又在上单调递增，， 故存在使得， 所以当时，存在两个零点．综上所述，a的取值范围是．‎