2020-2021学年北师大版数学选修2-3课时作业：第一章　计数原理 单元质量评估2

2020-2021学年北师大版数学选修2-3课时作业：第一章　计数原理 单元质量评估2

第一章单元质量评估(二) 时限：120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．(x3＋x2＋x＋1)(y2＋y＋1)(z＋1)展开后的不同项数为( D ) A．9 B．12 C．18 D．24 解析：分三步：第一步，从(x3＋x2＋x＋1)中任取一项，有 4 种方 法；第二步，从(y2＋y＋1)中任取一项，有 3 种方法；第三步，从(z ＋1)中任取一项有 2 种方法． 根据分步乘法计数原理共有 4×3×2＝24(项)．故选 D. 2．某单位拟安排 6 名职工在今年 5 月 1 日至 3 日值班，每天安 排 2 人，每人值班 1 天，若 6 名职工中的甲不在 5 月 1 日值班，乙不 在 5 月 3 日值班，则不同的安排方法共有( C ) A．30 种 B．36 种 C．42 种 D．48 种 解析：甲在 5 月 3 日值班，有 C14C24＝24 种安排方法；甲在 5 月 2 日值班，乙在 5 月 2 日值班，有 C24＝6 种安排方法；甲在 5 月 2 日 值班，乙在 5 月 1 日值班，有 C14C13＝12 种安排方法．所以共有 24＋ 6＋12＝42 种不同的安排方法，故选 C. 3．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间， 并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( B ) A．240 种 B．192 种 C．120 种 D．96 种 解析：分三步：先排甲，有 1 种排法；再排乙、丙，其排在甲的 左边或右边各有 4 种排法；最后排其余 4 人，有 A 44种排法，故共有 2×4×A44＝192 种排法．故选 B. 4．关于(a－b)10 的说法，错误的是( C ) A．展开式中的二项式系数之和为 1 024 B．展开式中第 6 项的二项式系数最大 C．展开式中第 5 项和第 7 项的二项式系数最大 D．展开式中第 6 项的系数最小 解析：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为 210＝1 024， 故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数且 其绝对值最大，所以是系数中最小的．故选 C. 5．若 y＝f(x)是定义域为 A＝{x|1≤x≤7，x∈N＋}，值域为 B＝{0,1} 的函数，则这样的函数共有( B ) A．128 个 B．126 个 C．72 个 D．64 个 解析：A 中的 7 个元素的象均有 2 种选择，由分步计数原理可得 共有 27＝128 种情况，再去掉象全是 1，或全是 0 的情况(这两种情况 不满足值域条件)共 2 种．故这样的函数共有 128－2＝126 个．故选 B. 6．用数字 1,2,3,4,5,6 组成的没有重复数字的六位数，其中个位 数字小于十位数字的六位数的个数是( D ) A．A66 B．A55 C．5A55 D.1 2A66 解析：用数字 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数，共有 A 66种， 而个位数小于十位数的占其中的1 2 ，故选 D. 7．在(1－x3)(1＋x)10 的展开式中，x5 的系数是( D ) A．－297 B．－252 C．297 D．207 解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(1＋x)10 展开式中含 x5 的项的 系数为 C510－C210＝207，故选 D. 8．已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点(含 x，y 正半 轴上的整点)上运动，其运动规律为(m，n)→(m＋1，n＋1)或(m，n)→(m ＋1，n－1)．若该动点从原点出发，经过 6 步运动到点(6,2)，则不同 的运动轨迹有( C ) A．15 种 B．14 种 C．9 种 D．103 种 解析：由运动规律，可知每一步的横坐标都增加 1，只需考虑纵 坐标的变化，而纵坐标每一步增加 1 或减少 1，经过 6 步变化后，结 果由 0 变到 2，因此这 6 步中有 2 步是按照(m，n)→(m＋1，n－1)运 动的，有 4 步是按照(m，n)→(m＋1，n＋1)运动的，因此，共有 C26＝ 15 种情况．而此动点只能在第一象限的整点(含 x，y 正半轴上的整点) 上运动，当第一步按照(m，n)→(m＋1，n－1)运动时不符合要求，有 C 15种情况；当第一步按照(m，n)→(m＋1，n＋1)运动，但第二、三两 步按照(m，n)→(m＋1，n－1)运动时也不符合要求，有 1 种情况．故 不同的运动轨迹有 15－C15－1＝9 种． 9．宿舍走廊装有编号 1,2,3，…，8 的 8 盏照明灯，既照明又省 电，要熄灭其中 3 盏灯，但编号相邻的不能同时熄灭，共有不同的熄 灯方法有( A ) A．20 种 B．120 种 C．1 120 种 D．56 种 解析：将熄灭的 3 盏灯插入 5 盏灯的 6 个空档，故有 C36＝20 种． 10．由 0,1,2,3,4 中的若干数字组成的比 4 000 大且无重复数字的 自然数共有( C ) A．24 个 B．96 个 C．120 个 D．144 个 解析：若为四位数需首位为 4，其他的三位数从其他的 4 个数中 选 3 个排在 3 个不同位置上共有 A34＝24 个．若为五位数均满足共有 4A44＝96 个．故共有 24＋96＝120(个)自然数． 11．已知 n∈N＋，若对任意实数 x，都有 xn＝a0＋a1(x－n)＋a2(x －n)2＋…＋an(x－n)n，则 an－1 的值为( A ) A．n2 B．nn C.n－1n3 2 D.n－1nn－1 2 解析：xn＝[n＋(x－n)]n，根据二项展开式通项公式得 an－1＝Cn－1n n ＝n2.正确选项为 A. 12．已知三角形三边长均为正整数，且最大边长为 11，则能满 足上述条件的三角形的个数为( C ) A．25 B．26 C．36 D．37 解析：不妨设两边长为 x，y，且 y≥x，则有 x＋y>11， 0|3－13 5 |，所以当 n＝3 时(此时 m＝9)，h(x)的展开式中 含 x2 的项的系数取得最小值，为 111. (3)依题意，得倒数第 2,3,4 项的系数分别为 Cn－1n 5n－1，Cn－2n 5n－2， Cn－3n 5n－3. 因为倒数第 2,3,4 项的系数成等差数列，所以 2Cn－2n 5n－2＝Cn－1n 5n －1＋Cn－3n 5n－3，整理得 n2－33n＋182＝0，解得 n＝7 或 n＝26(舍去)． 因为二项式(1＋5x)7 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr7(5x)r， 所以 Cr－17 5r－1≤Cr75r Cr＋17 5r＋1≤Cr75r ，解得17 3 ≤r≤20 3 . 又 r≤7，r∈N*，所以 r＝6. 即(1＋5x)n 的展开式中系数最大的项为 T7＝C67(5x)6＝109 375x6.