陕西省延安中学2020届高三下学期期末考试质量检测数学试题 Word版含解析

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延安中学高2020届一轮复习第八次（期末）质量检测 数学（理科）‎ 注意事项 ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.‎ ‎2.作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.涂写在本试卷上无效.‎ ‎3.作答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束后，将答题卡统一交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 观察下图所示的“集合”的知识结构图，把“①描述法，②包含关系，③基本运算”这三项依次填入M，N，P三处，正确的是（ ）‎ A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ①③②‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据结构图结合集合、集合的基本关系、集合的运算等相关知识进行判断可得答案.‎ ‎【详解】解：因集合的表示包括两种：列举法和描述法，故M处为①；‎ 集合的基本关系包括；包含和相等，故M处为②；‎ 集合之间的交、并和补集属于集合的运算，故P为③；‎ 故选A.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查集合的知识网络和结构图.其中集合的表示包括两种：列举法和描述法；集合的基本关系包括；包含和相等；集合之间的交、并和补集属于集合的运算，对于结构图问题，需要掌握所涉及的部分有哪些主要的知识模块，它们之间是何关系.‎ ‎2. 若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是（ ）‎ A 1 B. －2 C. 1或－2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论直线的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求．‎ ‎【详解】①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意．‎ ‎②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得．‎ 综上可得．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若，则 且或且．‎ ‎3. 已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，下列命题中的假命题是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合空间中点、线、面的位置关系，对四个选项逐个分析，可选出答案.‎ - 21 -‎ ‎【详解】对于选项A，两个平面垂直于同一条直线，可推出两个平面平行，即A正确；‎ 对于选项B，，，因为无法判断与的位置关系，所以不能推出，即B错误；‎ 对于选项C，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直，即C正确；‎ 对于选项D，两条平行线中的一条垂直于某一个平面，则另一条也垂直于这个平面，即D正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系，考查学生的推理能力与空间想象能力，属于基础题.‎ ‎4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位长 B. 向右平移个单位长 C. 向左平移个单位长 D. 向左平移个单位长 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据平移法则得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故向右平移个单位长可以得到的图像.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况.‎ ‎5. 如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）‎ - 21 -‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据直观图可知,根据直观图与平面图的关系可知,平面图中,,在轴上,且 ,所以.‎ 考点：直观图与平面图的关系 ‎6. 若，且，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的模的几何意义，可得在复平面的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果.‎ 详解】设，则，‎ 所以，表示圆心为，半径为的圆.‎ ‎，表示点和之间的距离，‎ 故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎7. 在中，，，，点，分别为边，的中点，则（ ）‎ A. 7 B. -7 C. 9 D. -9‎ ‎【答案】B - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，进而可表示出的坐标，从而可求出.‎ ‎【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴和轴，‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 则，，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积，利用坐标法是解决本题的较好方法，属于基础题.‎ ‎8. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：‎ ‎①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；‎ ‎②函数可以是某个圆的“优美函数”；‎ ‎③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；‎ ‎④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．‎ - 21 -‎ A. ①④ B. ①③④ C. ②③ D. ①③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.‎ ‎【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确 对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误 对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.‎ 对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误 故选D ‎【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.‎ ‎9. 数列{an}满足，则a1a2a3…a10=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题,当时,得到,与题目中式子相减,即可得到,进而求解 ‎【详解】解：n=1时,a1=,‎ ‎∵,‎ ‎∴时,,‎ - 21 -‎ 两式相减可得2n-1an=,‎ ‎∴,‎ n=1时，也满足 ‎∴,‎ 故选A ‎【点睛】本题考查数列递推式,考查数列的通项,解题的关键是确定数列的通项,进而求解 ‎10. 已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给条件和三角形面积公式，求得，的关系式，即可求得离心率的范围.‎ ‎【详解】设的内切圆半径为，‎ 则，，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 由双曲线的定义可知，，‎ 所以，即.‎ 故选：B.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于的齐次式，再化简转化成关于的不等式即可得解，本题属于较难题.‎ ‎11. 已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在内单调递减．则下面结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到函数的周期为6，利用为偶函数，得到，将化成，再比较的大小关系，最后利用函数的单调性得到的大小关系.‎ ‎【详解】因为，所以的最小正周期，‎ 因为为偶函数，所以，‎ 所以，‎ 因为，，且在(0，3)内单调递减，‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、单调性的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.‎ ‎12. 已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）‎ - 21 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．‎ 由，可得，且，解得，消去，可得，‎ 令，，‎ 在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13. 已知，设，______.‎ ‎【答案】1023‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可求出，进而将代入展开式，可求出，将代入展开式，可求出，进而可求出.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ - 21 -‎ 则，‎ 令，可得，‎ 令，可得，‎ 所以.‎ 故答案为：1023.‎ ‎【点睛】本题考查组合数的性质，考查利用赋值法求系数和问题，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎14. ____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原式分解成两部分，利用微积分基本定理得出值，再由圆的上半部分的面积得出的值，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 表示圆的上半部分，则 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用微积分基本定理求定积分，属于中档题.‎ ‎15. 某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ 根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为 ‎ - 21 -‎ 故答案为18.‎ ‎16. 将4个半径为2的球装入正四面体型容器内，则此容器的最小高度为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当正四面体刚好装下4个半径为2的球时容器的高度最小，即有每个球刚好与正面体三个面相切，且任意一个球都与其它三个球两两相切，结合一个顶点的俯视图，求四面体的边长，进而根据高与其边长的关系求高 ‎【详解】由题意知，4个半径为2的球装入正四面体型容器，当每个球刚好与正面体三个面相切，且任意一个球都与其它三个球两两相切时，容器的高度最小；从四面体的任意一个顶点的俯视图如下 若正四面体的棱长为a，则 ‎ ‎∵正四面体的高为，且 ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了正四面体的性质，利用其刚好装下4个球求其最小高度，属于简单题 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ - 21 -‎ ‎（一）必考题 ‎17. 如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮，其中P是弧TN上一点．设，长方形的面积为S平方米．‎ ‎（1）求关于的函数解析式；‎ ‎（2）求最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）平方米．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），将用表示，易得到关于的函数解析式．‎ ‎（2）由（1）可知是关于的三角函数，通过换元转化为一元二次函数求解最值，注意换元后定义域也一同变换．‎ ‎【详解】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，‎ 由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知，，‎ 由，可得，，‎ ‎，，‎ 故S关于的函数解析式为 - 21 -‎ ‎．‎ ‎（2）令，可得 ‎，即，‎ ‎．‎ 又由，可得，‎ 故，‎ 关于t的表达式为,‎ 又由，‎ 可知当时，S取最大值，最大值为平方米．‎ ‎【点睛】此题考查三角函数最值问题，关键点在对式子灵活换元处理，换元后新函数的定义域一同改变，属于一般题目．‎ ‎18. 如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为正方形，且，将沿着线段AD折起，同时将沿着线段BC折起.使得E，F两点重合为点P.‎ ‎（1）求证：平面平面ABCD；‎ ‎（2）求点D到平面PBC的距离h.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由底面为正方形,可得平面,由平面与平面垂直的判定定理即可证明.‎ ‎（2）作交AB于O,易得平面.可求得,由即可求得点到平面PBC的距离 ‎【详解】（1）证明：∵四边形为正方形,‎ ‎∴,‎ 又∵,即,且,‎ ‎∴平面,‎ 又∵平面ABCD,‎ ‎∴平面平面ABCD； ‎ ‎（2）过点P作交AB于O,如下图所示:‎ 由（1）知平面平面 ‎∴平面 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ 即 解得 所以点D到平面PBC的距离 - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定,等体积法求点到平面的距离,属于基础题.‎ ‎19. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则 ‎（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 ‎ ‎（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，‎ 由于与互斥，故 所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 ‎ ‎（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故 ‎，‎ ‎．‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎4 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 21 -‎ 随机变量ξ的数学期望 考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．‎ ‎20. 已知椭圆：（）经过与两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足.求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）椭圆过与两点，利用待定系数法求、即可得椭圆方程；（2）根据直线的斜率情况分类讨论，当斜率不存在或时易证定值，当斜率存在且时联立直线方程与椭圆方程，结合有定值，整合结论为定值即得证 ‎【详解】（1）椭圆过与两点，则 - 21 -‎ 解得 ‎∴椭圆的方程为 ‎（2）过原点的直线与椭圆交于、两点 ：‎ 当直线的斜率不存在或时，有 当直线的斜率存在且时，令直线：， 代入椭圆方程有 若，，即 又椭圆上一点满足，知：垂直平分，可令直线：‎ ‎∴同理可得：或即 故 综上，知：为定值得证 ‎【点睛】本题考查了椭圆，利用椭圆过两定点，应用待定系数法求椭圆方程，根据直线与椭圆的位置关系，及动点与它们的交点关系证明定值问题 ‎21. 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数几何意义得，再结合 联立方程组，解得的值；‎ ‎（2）即证明差函数的最小值非负，先求差函数的导数，为研究导函数符号，需对导函数再次求导，得导函数最小值为零，因此差函数单调递增，也即差函数最小值为，（3）令函数，因为，所以.先求差函数导数，再求导函数的导数得 ，所以分进行讨论：当时，满足题意；当时，能找到一个减区间，使得不满足题意.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，定义域为 ‎，‎ ‎，‎ ‎． ‎ ‎（2），‎ 设，，‎ 由，在上单调递增，‎ ‎∴，在上单调递增，．‎ ‎∴． ‎ ‎（3）设,，，‎ 由（2）中知，，‎ ‎∴， ‎ 当即时，，‎ 所以 在单调递增，，成立．‎ - 21 -‎ ‎②当即时， ‎ ‎，令，得，‎ 当时，单调递减，则，‎ 所以在上单调递减，所以，不成立．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的综合应用问题，利用导数研究函数的单调性从而得到函数的最值即可证明不等式，对于恒成立问题，一般采用变量分离的方式将参数与函数的最值比较，属于难题.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于，两点.‎ ‎（1）求曲线与直线交点的极坐标（，）；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把直线与曲线 - 21 -‎ 的参数方程化为直角坐标方程，再联立直线与圆的普通方程，求得交点坐标，化为极坐标即可．‎ ‎（2）先求得曲线的普通方程，再将直线的参数方程与抛物线的普通方程联立，利用直线参数的几何意义结合一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．‎ ‎【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为.‎ 联立，解得或，‎ 所以交点的极坐标为，.‎ ‎（2）曲线的直角坐标方程为，‎ 将，代入得.‎ 设，两点对应的参数分别为，，则有，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了直线的参数方程的应用，考查了一元二次方程根和系数关系的应用及运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. 已知函数，．‎ ‎（）解不等式．‎ ‎（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．‎ - 21 -‎ ‎（2）利用条件说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．‎ ‎【详解】（）由，得，‎ ‎∴，‎ 得不等式的解为．‎ 故解集为：‎ ‎（）因为任意，都有，使得成立，‎ 所以，‎ 又，‎ ‎，所以，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围为或．‎ ‎【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．‎ - 21 -‎