【数学】2019届一轮复习北师大版含参数不等式的讨论不当失误学案

【数学】2019届一轮复习北师大版含参数不等式的讨论不当失误学案

‎ 专题六 不等式 误区二 含参数不等式的讨论不当失误 一、易错提醒 解含参数不等式是不等式 习的重要内容,是中 数 培养分类讨论能力的主要题型．初 这部分往往对分类讨论分而不全,等价变形变而不等价,盲目套用等式有关性质,从而导致解解题失误．对于含参数的不等式,其求解比较复杂,常涉及分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等,求解时稍有不慎就会出错．其错误表现为 忽略对系数为零情况的判断、忽略对判别式的判断、忽略对根的大小关系的判断、忽略系数为负时对不等式的转化等．解决的办法是了解这样一些常见的错误形式,其次是对不等式中的参数所引起的各种情况有充足的认识．‎ 二、典例精析 ‎(一) 忽略二次项系数为零而导致错误 ‎【例1】若函数y＝的定义域为R,则 的取值范围是________．‎ ‎【错解】0< ≤1．‎ 由题意知 2－6 ＋( ＋8)≥0恒成立,∴,∴0< ≤1,即 的取值范围是0< ≤1．‎ ‎【辨析】错解忽视了 ＝0时, 2－6 ＋( ＋8)≥0也成立,考虑问题不全面导致错误．‎ ‎【正解】0≤ ≤1．‎ 由题意 2－6 ＋( ＋8)≥0恒成立．当 ＝0时满足,当 ≠0时,∴0＜ ≤1,综上得0≤ ≤1． = ‎ ‎【小试牛刀】【2017山东潍坊寿光市上期中】若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为的不等式的解集为,当时,得到,满足题意；当时,需满足,解得,综上可知实数的取值范围是 ‎(二) 忽略根的大小关系而导致错误 一元二次不等式的求解,一般是依据对应方程的根 完成的,由于根中含有参数,有时由于草率没有对根的大小关系作出判断就轻易地给出不等式的解集而犯错误．‎ ‎【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．‎ ‎【错解】原不等式化为a(x－)(x－1)<0,∴当a>1时,不等式的解集为；当a<1时,‎ 不等式的解集为．‎ ‎【错因分析】　解本题容易出现的错误是 (1)认定这个不等式就是一元二次不等式,忽视了对a＝0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a时,若a<0,忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论,特别是等根的讨论；(4)分类讨论后,最后对结论不进行整合．‎ 综上所述,当a<0时,不等式的解集为∪(1,＋∞)；‎ 当a＝0时,不等式的解集为(1,＋∞)；‎ 当01时,不等式的解集为．‎ ‎【点评】含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论．‎ ‎(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论；‎ ‎(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式；‎ ‎(3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集．‎ ‎【小试牛刀】解关于的不等式．‎ ‎【错解】对于方程的解为∴不等式的解集为．‎ ‎【点评】（1）平时一些习惯性思维的影响容易出错,如认为；（2）不注意参数的范围,缺少对参数讨论的意识．‎ ‎(三) 忽略对根的判别式的讨论而导致错误 由于不等式系数中含有参数,没有注意到参数范围的影响而一味的认为对应方程有实数根,而导致错误．‎ ‎【例3】解关于的不等式．‎ ‎【错解】由方程,得,∴不等式的解集为．‎ ‎【正解】．‎ ‎（1）当时,即时,原不等式的解集为；‎ ‎（2）当时,或．当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为；‎ ‎（3）当时,即或时,原不等式的解集为．‎ 综上所述 ‎ ‎（1）当或时,原不等式的解集为；‎ ‎（2）当时,原不等式的解集为；‎ ‎（3）当时,原不等式的解集为；‎ ‎（4）当时,原不等式的解集为．‎ ‎【点评】讨论判别式时应按判别式的符号分类,即分三种情况讨论．‎ ‎【小试牛刀】设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M,如果M⊆[1,4],求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】设f(x)＝x2－2ax＋a＋2,有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)．‎ ‎①当Δ<0,即－10时均有[(a－1)x－1]·(x2－ax－1)≥0,则a＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】当a≤1时,(a－1)x－1<0,而x2－ax－1在x取正无穷大时为正,故不满足题意,所以a>1.因为(a－1)x－1在x∈上小于0,在x∈上大于0,要满足题意,x2－ax－1在x∈上也小于0,在x∈上大于0,故x＝使x2－ax－1＝0,解得a＝.‎ ‎15.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).‎ ‎16．【2017广东清远三中上 期月考】已知关于的不等式.‎ ‎（1）是否存在使对所有的实数,不等式恒成立？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由；‎ ‎（2）设不等式对于满足的一切的值都成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）不存在实数（2）‎ ‎【解析】（1）要使不等式恒成立,只需,无解.‎ ‎∴不存在实数使对所有的实数,不等式恒成立.‎ ‎（2）由得.‎ 由,得.‎ 令,则.‎ 当时,,满足题意；‎ 当时,,不满足题意；‎ 当时,要使,只需,‎ 即,解得.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎17．【2016-2017 年福建福州八县一中高二理期中联考】已知.‎ ‎（1）若不等式的解集为,求的值； ‎ ‎（2）若,解不等式.‎ ‎【答案】（1）（2）当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为 ‎【解析】（1）由题意可得方程的两根分别为、,且 ‎ ‎∴解得 …………4分 ‎（2）若,不等式为 ,即 ‎ ‎∵ ‎ ‎∴当时,,不等式的解集为； ‎ 当时,,不等式的解集为； ‎ ‎ 当时,,不等式的解集为 ‎ ‎18.解关于x的不等式 ＞1(a＜1).‎ ‎【解析】(x－2)[(a－1)x＋2－a]＞0,‎ 当a＜1时有(x－2)＜0,‎ 若＞2,即0＜a＜1时,解集为{x|2＜x＜}；‎ 若＝2,即a＝0时,解集为∅；‎ 若＜2,即a＜0时,解集为{x|＜x＜2}.‎ ‎19．解不等式 ‎ ‎【分析】本题二次项系数含有参数,,故只需对二次项 系数进行分类讨论．‎