山东省日照市莒县岚山2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

山东省日照市莒县岚山2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

‎2018-2019学年度下学期高二模块考试 数学试题 一、单项选择题 ‎1.若,则复数=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行化简运算，然后根据共轭复数的概念得到.‎ ‎【详解】因为 所以 ‎【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的概念，属于简单题.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. D. 无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的极限定义，即可容易求得.‎ ‎【详解】因为2.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查导数极限定义的应用，属基础题.‎ ‎3.若函数，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，再计算即可.‎ ‎【详解】因为，故可得，‎ 故可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，属基础题；需要注意中为常数即可.‎ ‎4.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组合数的运算性质，即可容易求得.‎ ‎【详解】因为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查组合数的运算性质，属基础题.‎ ‎5.已知从个不同元素中取出个元素的排列数等于从个不同元素中取出个元素的排列数的倍，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，列出方程，根据组合数的运算，即可容易求得.‎ ‎【详解】因为，则，‎ 整理得，因为，‎ 故解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查组合数的运算性质，属基础题.‎ ‎6.表示虚数单位，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数指数幂的运算性质，结合周期性即可容易求得.‎ ‎【详解】因为，且其幂运算周期为4，‎ 故可得 ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的指数幂运算，属基础题.‎ ‎7.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将多项式函数整理，对求导，即可容易得到结果.‎ ‎【详解】因为，故可得，‎ 故可得，则；‎ ‎，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，属基础题；只需先化简，再求导即可.‎ ‎8.设随机变量X的分布列为，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由概率和为1,可知，解得，=选B.‎ ‎9.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 研究的单调性，由集合之间的关系即可求得参数范围.‎ ‎【详解】因为，故可得，‎ 故在上单调递减；又因为在区间上单调递减，‎ 则是的子集，只需，‎ 解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，涉及由集合之间的关系求参数的范围，属综合基础题.‎ ‎10.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】令，则可得；‎ 令，则可得；‎ 上述两式相减可得：，‎ 解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查通过赋值法求二项展开式中的系数之和，属基础题.‎ 二、多项选择题 ‎11.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.‎ A. B. C. D. 18‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：‎ ‎（1）分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；‎ ‎（2）分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，‎ 有2种解法：‎ ‎（1）分2步进行分析：‎ ‎①先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；‎ ‎②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；‎ 则没有空盒的放法有种；‎ ‎（2）分2步进行分析：‎ ‎①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；‎ ‎②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；‎ 则没有空盒的放法有种；‎ 故选：BC．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．‎ ‎12.设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，解得的范围，根据斜率和倾斜角之间的关系，即可容易求得.‎ ‎【详解】因为，故可得；‎ 设切线的倾斜角为，则，‎ 故可得，‎ 故选：CD ‎【点睛】本题考查利用导数求切线倾斜角的范围，属基础题.‎ ‎13.已知函数，下列关于的四个命题：‎ ‎①函数在上是增函数；‎ ‎②函数的最小值为；‎ ‎③如果时，，则的最小值为；‎ ‎④函数有个零点.‎ 其中假命题有（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题.‎ ‎【详解】因为，故可得，‎ 则在，单调递减，在上单调递增.‎ 且，且当趋近于正无穷时，趋近于零.‎ 则的图像如下所示：‎ 由函数单调性可知，函数在上增函数，故①正确；‎ 数形结合可知，函数的最小值为，故②正确；‎ 因为，如果时，，则的最小值为，故③正确；‎ 显然，只有一个零点，故④错误.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及零点，属综合中档题.‎ 三、填空题 ‎14.是一组已知数据，令，当______时，取最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数求导，利用导数判断函数单调性，从而求得最小值.‎ ‎【详解】因，‎ 故可得，‎ 故可得在区间单调递减，在单调递增，‎ 故当时，取得最小值.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最小值，属基础题.‎ ‎15.设是原点，向量对应的复数分别为，，表示虚数单位，那么向量对应的复数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意写出两点的坐标，根据向量的坐标运算求得，进而写出对应的复数.‎ ‎【详解】因为向量对应的复数分别为，，‎ 故可得，则，‎ 故其对应的复数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量的运算，复数在复平面对应点坐标的求解，属综合基础题.‎ ‎16.设是图象的一条切线，问与坐标轴所围成的三角形面积为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义，求出切线的方程，进而求得轴上的截距，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，故可得，设切点为，‎ 则过切点的切线方程为，且，‎ 则切线在轴上的截距分别为，‎ 则与坐标轴所围成的三角形面积.‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，属中档题.‎ ‎17.已知函数，的导函数的部分图象如图所示，且导函数有最小值，则导函数______，的值是______.‎ ‎ ‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据求得的解析式，再结合的图像求得解析式，进而求得的解析式，即可求得函数值.‎ ‎【详解】因为，故可得，‎ 根据图像可得，且，解得；‎ 故；，‎ 则.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查导数的求解，由余弦型三角函数的图像求解析式，以及三角函数值的求解，属综合困难题.‎ 三、解答题 ‎18.已知名学生和名教师站在一排照相，求：‎ ‎（1）名教师不站在两边，且必须相邻，有多少种排法？‎ ‎（2）名教师不能相邻的排法有多少种？‎ ‎【答案】(1)432；(2)1440.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将3名教师捆绑，小集团内部全排列再将剩余4名同学全排列即可；‎ ‎（2）采用插空法即可容易求得.‎ ‎【详解】（1）将3名教师捆绑，内部全排列共有中方式，‎ 再从5个位置构成的不在两边的3个位置中选取一个位置让3位教师就坐；‎ 再对剩余4名学生求全排列，‎ 则所有的排法有种.‎ ‎（2）利用4名同学产生的5个空，将3名教师插入其中即可.‎ 则所有的排法有种.‎ ‎【点睛】本题考查用捆绑法处理相邻问题，以及用插空法处理不相邻问题，属综合基础题.‎ ‎19.已知的展开式的二项式系数之和为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的展开式中项的系数.‎ ‎【答案】(1)4；(2)32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由二项式系数为，即可容易求得；‎ ‎（2）利用展开式的通项公式，即可容易求得.‎ ‎【详解】（1）因为展开式的二项式系数之和为，‎ 即可得，解得.‎ ‎（2）对，其通项公式为 令，解得，‎ 故的系数为.‎ ‎【点睛】本题考查由二项式系数和求参数，以及利用展开式的通项公式求某一项的系数，属综合基础题.‎ ‎20.设曲线在点处取得极值.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间和极值.‎ ‎【答案】(1)2；(2)在区间和单调递减，在区间单调递增；的极大值为；的极小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，即可容易求得；‎ ‎（2）根据（1）中所求，求得，即可容易求得单调区间和极值.‎ ‎【详解】（1）因为，故可得，‎ 又因为，故可得，解得.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎，‎ 令，解得，‎ 又因为函数定义域为，‎ 故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.‎ 故的极大值为；的极小值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用极值点求参数值，以及利用导数求函数的单调区间和极值，属综合基础题.‎ ‎21.微信是现代生活信息交流的重要工具，随机对使用微信的人进行统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”，不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”，已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为.‎ 使用微信时间（单位：小时）‎ 频数 频率 ‎5‎ ‎0.05‎ ‎15‎ ‎0.15‎ ‎15‎ ‎0.15‎ ‎30‎ ‎0.30‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（1）确定的值；‎ ‎（2）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信依赖”和“非微信依赖”人中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查，设选取的人中“微信依赖”的人数为，求的分布列；‎ ‎（3）求选取的人中“微信依赖”至少人的概率.‎ ‎【答案】(1)；(2)分布列见详解；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据样本容量以及频率之和为，结合“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为，列出方程组，即可求得未知数；‎ ‎（2）先计算出10人中微信依赖和非微信依赖的人数，再求得的取值，求得其概率，即可解得.‎ ‎（3）根据（2）中所求分布列，即可容易求得.‎ ‎【详解】（1）由题可知非微信依赖人数为人，微信依赖人数为40人，‎ 故可得；则；‎ 人，则.‎ ‎（2）根据题意，10人中非微信依赖人数为人；微信依赖人数为人；‎ 则容易知，且其服从超几何分布，‎ 故可得，，‎ ‎，；‎ 故得分布列如下所示：‎ ‎（3）由题可知选取的人中“微信依赖”至少人的概率为 由（2）中分布列可得.‎ 故选取的人中“微信依赖”至少人的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查频率和概率的计算以及超几何分布的分布列求解，属综合中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，可得切线的斜率，根据点斜式即可求得；‎ ‎（2）分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性和最值即可求得.‎ ‎【详解】（1）因为，故可得，则，，‎ 故在点处的切线方程为，‎ 整理得.‎ ‎（2）关于的不等式在上恒成立，‎ 等价于在上恒成立，‎ 令，只需即可.‎ 又，故在单调递减，在单调递增，‎ 故可得.‎ 则要满足题意，只需即可.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，属综合中档题，涉及构造函数法.‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）讨论的导函数零点的个数；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】(1) 当时，没有零点；当时，有一个零点；(2)证明见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，将零点问题转化为函数值域的求解问题，则问题得解；‎ ‎（2）判断的单调性，求得其最小值，根据的零点与极值点之间的关系，即可容易证明.‎ ‎【详解】（1）因为，故可得，‎ 令，即可得.‎ 令 则零点的个数等价于与图像的交点个数.‎ 又，故可得在单调递减.‎ 且当趋近于正无穷时，趋近于负无穷；当趋近于零时，趋近于零，‎ 绘制的图像如下所示：‎ 故当时，没有零点；当时，有一个零点.‎ ‎（2）由（1）可知，当时，为单调增函数，且存在唯一零点，‎ 故可得在区间单调递减，在单调递增，‎ 且；则，，‎ 故.‎ 故当时，恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域和单调性，涉及利用导数证明不等式，属综合困难题.‎