【数学】2018届一轮复习人教A版（理）8-5直线、平面垂直的判定与性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）8-5直线、平面垂直的判定与性质学案

‎§8.5　直线、平面垂直的判定与性质 考纲展示►　‎ ‎1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．‎ ‎2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．‎ 考点1　直线与平面垂直的判定与性质 直线与平面垂直 ‎(1)直线和平面垂直的定义：‎ 直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．‎ ‎(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：‎ 答案：(1)任意一条 ‎(2)两条相交直线　a，b⊂α　a∩b＝O　l⊥a　‎ l⊥b　平行　a⊥α　b⊥α ‎(1)[教材习题改编]下列命题中不正确的是(　　)‎ A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 答案：A ‎(2)[教材习题改编] 如图，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．‎ 答案：4‎ ‎[典题1]　(1)[2017·上海六校联考]已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)‎ A．α⊥β且m⊂α B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β ‎[答案]　C ‎[解析]　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．‎ ‎(2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：‎ ‎①CD⊥AE；‎ ‎②PD⊥平面ABE.‎ ‎[证明]　①在四棱锥P－ABCD中，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAC.‎ 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.‎ ‎②由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.‎ ‎∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.‎ 由①知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，‎ ‎∴AE⊥平面PCD.‎ 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.‎ 又AB⊥AD，且PA∩AD＝A，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD.‎ 又AB∩AE＝A，‎ ‎∴PD⊥平面ABE.‎ ‎[点石成金]　直线和平面垂直判定的四种方法 ‎(1)利用判定定理；‎ ‎(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)，如典题1的第(1)题中选项C；‎ ‎(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；‎ ‎(4)利用面面垂直的性质．‎ 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎[2017·湖北武汉调研]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.‎ ‎(1)求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎(2)若PA＝1，AD＝2，求三棱锥E－BCD的体积．‎ ‎(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.‎ ‎∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，‎ ‎∴PC⊥BD.‎ 又PA∩PC＝P，‎ ‎∴BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)解：如图所示，设AC与BD的交点为O，连接OE.‎ ‎∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.‎ 由(1)知，BD⊥平面PAC，‎ ‎∴BD⊥AC.‎ 由题设条件知，四边形ABCD为正方形．‎ 由AD＝2，得AC＝BD＝2，OC＝.‎ 在Rt△PAC中，‎ PC＝＝＝3.‎ 易知Rt△PAC∽Rt△OEC，‎ ‎∴＝＝，即＝＝，‎ ‎∴OE＝，CE＝.‎ ‎∴VE－BCD＝S△CEO·BD ‎＝·OE·CE·BD ‎＝×××2＝.‎ 考点2　平面与平面垂直的判定与性质 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 答案：垂线　l⊂β　l⊥α　交线　α⊥β　l⊂β　‎ α∩β＝a　l⊥a 定理的应用：注意由平面到空间的思维的变化．‎ ‎(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________．‎ 答案：平行、相交或异面 解析：在同一个平面内，由题设条件可得a∥c，在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，即平行、相交、异面都有可能．‎ ‎(2)已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为________．‎ 答案：a∥α或a⊂α 解析：易得a∥α或a⊂α.‎ 垂直关系的证明及应用：直接法．‎ ‎(1)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，平面ADC________平面ABC.‎ 答案：⊥‎ 解析：在四边形ABCD中，由已知可得BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，‎ 且平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ 所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB.‎ 又AD⊥AB，AD∩CD＝D，‎ 所以AB⊥平面ADC，‎ 所以平面ABC⊥平面ADC.‎ ‎(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________．‎ 答案：6‎ 解析：连接AC，交BD于点O，‎ 在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ 因为AB＝AD＝3，所以BD＝3，且AC⊥BD.‎ 又因为BB1⊥底面ABCD，所以BB1⊥AC.‎ 又DB∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，‎ 所以AO为四棱锥A－BB1D1D的高，且AO＝BD＝.‎ 因为矩形BB1D1D的面积 S＝BD·BB1＝3×2＝6，‎ 所以四棱锥A－BB1D1D的体积 V＝S·AO＝×6×＝6.‎ ‎[典题2]　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：‎ ‎(1)CE∥平面PAD；‎ ‎(2)平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎[证明]　(1)证法一：取PA的中点H，连接EH，DH.‎ 因为E为PB的中点，‎ 所以EH∥AB，EH＝AB.‎ 又AB∥CD，CD＝AB，‎ 所以EH∥CD，EH＝CD，‎ 因此四边形DCEH是平行四边形．‎ 所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 证法二：连接CF.‎ 因为F为AB的中点，所以AF＝AB.‎ 又CD＝AB，所以AF＝CD.‎ 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．‎ 因此CF∥AD.‎ 又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E，F分别为PB，AB的中点，‎ 所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF＝F，‎ 故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF，‎ 所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，‎ 所以EF∥PA.‎ 又AB⊥PA，所以AB⊥EF.‎ 同理可证AB⊥FG.‎ 又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，‎ 因此AB⊥平面EFG.‎ 又M，N分别为PD，PC的中点，‎ 所以MN∥CD.‎ 又AB∥CD，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面EFG.‎ 又MN⊂平面EMN，‎ 所以平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎[题点发散1]　在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.‎ 证明：因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，‎ 所以AB⊥平面PAC.‎ 又MN∥CD，CD∥AB，‎ 所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.‎ 又MN⊂平面EMN，‎ 所以平面EMN⊥平面PAC.‎ ‎[题点发散2]　在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.‎ 证明：因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，‎ 所以EF∥PA，FG∥AC.‎ 又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，‎ 所以EF∥平面PAC.‎ 同理，FG∥平面PAC.‎ 又EF∩FG＝F，‎ 所以平面EFG∥平面PAC.‎ ‎[点石成金]　1.判定面面垂直的方法 ‎(1)面面垂直的定义；‎ ‎(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．‎ ‎2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．‎ 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：‎ ‎(1)PA⊥底面ABCD；‎ ‎(2)BE∥平面PAD；‎ ‎(3)平面BEF⊥平面PCD.‎ 证明：(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD，‎ PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.‎ ‎(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，‎ ‎∴AB∥DE，且AB＝DE.‎ ‎∴四边形ABED为平行四边形．‎ ‎∴BE∥AD.‎ 又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴BE∥平面PAD.‎ ‎(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，‎ ‎∴BE⊥CD，AD⊥CD.‎ 由(1)知，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ 则PA⊥CD，又PA∩AD＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD.‎ 又PD⊂平面PAD，从而CD⊥PD，‎ 又E，F分别为CD，CP的中点，‎ ‎∴EF∥PD，故CD⊥EF.‎ ‎∵EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，且EF∩BE＝E，‎ ‎∴CD⊥平面BEF.‎ 又CD⊂平面PCD.‎ ‎∴平面BEF⊥平面PCD.‎ 考点3　平行与垂直的综合问题 ‎[考情聚焦]　空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 证明多面体中的平行与垂直关系 ‎[典题3]　 如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．‎ ‎(1)求证：AE⊥EC；‎ ‎(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EF∥AB.‎ ‎[证明]　(1)∵E是半圆上异于A，B的点，‎ ‎∴AE⊥EB.‎ 又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，‎ ‎∴CB⊥平面ABE.‎ 又∵AE⊂平面ABE，∴CB⊥AE.‎ ‎∵CB∩BE＝B，∴AE⊥平面CBE.‎ 又∵EC⊂平面CBE，∴AE⊥EC.‎ ‎(2)∵CD∥AB，AB⊂平面ABE，‎ ‎∴CD∥平面ABE.‎ 又∵平面CDE∩平面ABE＝EF，‎ ‎∴CD∥EF.又∵CD∥AB，∴EF∥AB.‎ 角度二 探索性问题中的平行与垂直关系 ‎[典题4]　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC. ‎ ‎(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；‎ ‎(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎(1)[证明]　在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，‎ ‎∴DF∥平面ACE.‎ 又∵DF⊂平面DEF，‎ 平面ACE∩平面DEF＝a，‎ ‎∴DF∥a.‎ ‎(2)[解]　线段BE上存在点G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：‎ 取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD，‎ ‎∵CF＝EF，∴GF⊥CE.‎ 在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.‎ 由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.‎ 又CF∩EF＝F，‎ ‎∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.‎ ⇒GF⊥平面CDE.‎ 又GF⊂平面DFG，‎ ‎∴平面DFG⊥平面CDE.‎ 此时，如平面图所示，‎ ‎∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，‎ 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，‎ ‎∴HB＝BC＝EF.‎ 由△HGB∽△FGE可知，＝，‎ 即BG＝BE.‎ 角度三 折叠问题中的平行与垂直关系 ‎[典题5]　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.‎ ‎(1)求证：NC∥平面MFD；‎ ‎(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；‎ ‎(3)求四面体N－EFD体积的最大值．‎ ‎(1)[证明]　∵平行四边形MNEF和EFDC都是矩形，‎ ‎∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，‎ ‎∴MN∥CD.‎ ‎∴四边形MNCD是平行四边形．‎ ‎∴NC∥MD.‎ ‎∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，‎ ‎∴NC∥平面MFD.‎ ‎(2)[证明]　连接ED，交FC于点O.‎ ‎∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，‎ 平面MNEF∩平面ECDF＝EF，‎ NE⊂平面MNEF，‎ ‎∴NE⊥平面ECDF.‎ ‎∵FC⊂平面ECDF，∴FC⊥NE.‎ ‎∵EC＝CD，‎ ‎∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.‎ 又∵ED∩NE＝E，ED，NE⊂平面NED，‎ ‎∴FC⊥平面NED.‎ ‎∵ND⊂平面NED，∴ND⊥FC.‎ ‎(3)[解]　设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，‎ 其中0

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