【数学】2018届一轮复习人教A版(理)8-5直线、平面垂直的判定与性质学案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2018届一轮复习人教A版(理)8-5直线、平面垂直的判定与性质学案

‎§8.5 直线、平面垂直的判定与性质 考纲展示► ‎ ‎1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理.‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题.‎ 考点1 直线与平面垂直的判定与性质 直线与平面垂直 ‎(1)直线和平面垂直的定义:‎ 直线l与平面α内的________直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.‎ ‎(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:‎ 答案:(1)任意一条 ‎(2)两条相交直线 a,b⊂α a∩b=O l⊥a ‎ l⊥b 平行 a⊥α b⊥α ‎(1)[教材习题改编]下列命题中不正确的是(  )‎ A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面β B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ 答案:A ‎(2)[教材习题改编] 如图,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________.‎ 答案:4‎ ‎[典题1] (1)[2017·上海六校联考]已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(  )‎ A.α⊥β且m⊂α B.α⊥β且m∥α C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β ‎[答案] C ‎[解析] 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确.‎ ‎(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:‎ ‎①CD⊥AE;‎ ‎②PD⊥平面ABE.‎ ‎[证明] ①在四棱锥P-ABCD中,‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAC.‎ 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.‎ ‎②由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.‎ ‎∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.‎ 由①知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,‎ ‎∴AE⊥平面PCD.‎ 而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.‎ 又AB⊥AD,且PA∩AD=A,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,‎ ‎∴AB⊥PD.‎ 又AB∩AE=A,‎ ‎∴PD⊥平面ABE.‎ ‎[点石成金] 直线和平面垂直判定的四种方法 ‎(1)利用判定定理;‎ ‎(2)利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α⇒b⊥α),如典题1的第(1)题中选项C;‎ ‎(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);‎ ‎(4)利用面面垂直的性质.‎ 当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎[2017·湖北武汉调研]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.‎ ‎(1)求证:BD⊥平面PAC;‎ ‎(2)若PA=1,AD=2,求三棱锥E-BCD的体积.‎ ‎(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD.‎ ‎∵PC⊥平面BDE,BD⊂平面BDE,‎ ‎∴PC⊥BD.‎ 又PA∩PC=P,‎ ‎∴BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)解:如图所示,设AC与BD的交点为O,连接OE.‎ ‎∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE.‎ 由(1)知,BD⊥平面PAC,‎ ‎∴BD⊥AC.‎ 由题设条件知,四边形ABCD为正方形.‎ 由AD=2,得AC=BD=2,OC=.‎ 在Rt△PAC中,‎ PC===3.‎ 易知Rt△PAC∽Rt△OEC,‎ ‎∴==,即==,‎ ‎∴OE=,CE=.‎ ‎∴VE-BCD=S△CEO·BD ‎=·OE·CE·BD ‎=×××2=.‎ 考点2 平面与平面垂直的判定与性质 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 答案:垂线 l⊂β l⊥α 交线 α⊥β l⊂β ‎ α∩β=a l⊥a 定理的应用:注意由平面到空间的思维的变化.‎ ‎(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系为________.‎ 答案:平行、相交或异面 解析:在同一个平面内,由题设条件可得a∥c,在空间中,则直线a与c的位置关系不确定,即平行、相交、异面都有可能.‎ ‎(2)已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为________.‎ 答案:a∥α或a⊂α 解析:易得a∥α或a⊂α.‎ 垂直关系的证明及应用:直接法.‎ ‎(1)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,平面ADC________平面ABC.‎ 答案:⊥‎ 解析:在四边形ABCD中,由已知可得BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,‎ 且平面ABD∩平面BCD=BD,‎ 所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.‎ 又AD⊥AB,AD∩CD=D,‎ 所以AB⊥平面ADC,‎ 所以平面ABC⊥平面ADC.‎ ‎(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=AD=3,AA1=2,则四棱锥A-BB1D1D的体积为________.‎ 答案:6‎ 解析:连接AC,交BD于点O,‎ 在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,‎ 因为AB=AD=3,所以BD=3,且AC⊥BD.‎ 又因为BB1⊥底面ABCD,所以BB1⊥AC.‎ 又DB∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D1D,‎ 所以AO为四棱锥A-BB1D1D的高,且AO=BD=.‎ 因为矩形BB1D1D的面积 S=BD·BB1=3×2=6,‎ 所以四棱锥A-BB1D1D的体积 V=S·AO=×6×=6.‎ ‎[典题2] 如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.求证:‎ ‎(1)CE∥平面PAD;‎ ‎(2)平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎[证明] (1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.‎ 因为E为PB的中点,‎ 所以EH∥AB,EH=AB.‎ 又AB∥CD,CD=AB,‎ 所以EH∥CD,EH=CD,‎ 因此四边形DCEH是平行四边形.‎ 所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 证法二:连接CF.‎ 因为F为AB的中点,所以AF=AB.‎ 又CD=AB,所以AF=CD.‎ 又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.‎ 因此CF∥AD.‎ 又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E,F分别为PB,AB的中点,‎ 所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF=F,‎ 故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF,‎ 所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,‎ 所以EF∥PA.‎ 又AB⊥PA,所以AB⊥EF.‎ 同理可证AB⊥FG.‎ 又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,‎ 因此AB⊥平面EFG.‎ 又M,N分别为PD,PC的中点,‎ 所以MN∥CD.‎ 又AB∥CD,所以MN∥AB,‎ 所以MN⊥平面EFG.‎ 又MN⊂平面EMN,‎ 所以平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎[题点发散1] 在本例条件下,证明:平面EMN⊥平面PAC.‎ 证明:因为AB⊥PA,AB⊥AC,且PA∩AC=A,‎ 所以AB⊥平面PAC.‎ 又MN∥CD,CD∥AB,‎ 所以MN∥AB,所以MN⊥平面PAC.‎ 又MN⊂平面EMN,‎ 所以平面EMN⊥平面PAC.‎ ‎[题点发散2] 在本例条件下,证明:平面EFG∥平面PAC.‎ 证明:因为E,F,G分别为PB,AB,BC的中点,‎ 所以EF∥PA,FG∥AC.‎ 又EF⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,‎ 所以EF∥平面PAC.‎ 同理,FG∥平面PAC.‎ 又EF∩FG=F,‎ 所以平面EFG∥平面PAC.‎ ‎[点石成金] 1.判定面面垂直的方法 ‎(1)面面垂直的定义;‎ ‎(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).‎ ‎2.在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.‎ 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:‎ ‎(1)PA⊥底面ABCD;‎ ‎(2)BE∥平面PAD;‎ ‎(3)平面BEF⊥平面PCD.‎ 证明:(1)∵平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ 又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD,‎ PA⊂平面PAD,∴PA⊥底面ABCD.‎ ‎(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,‎ ‎∴AB∥DE,且AB=DE.‎ ‎∴四边形ABED为平行四边形.‎ ‎∴BE∥AD.‎ 又BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,‎ ‎∴BE∥平面PAD.‎ ‎(3)∵AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,‎ ‎∴BE⊥CD,AD⊥CD.‎ 由(1)知,PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ 则PA⊥CD,又PA∩AD=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAD.‎ 又PD⊂平面PAD,从而CD⊥PD,‎ 又E,F分别为CD,CP的中点,‎ ‎∴EF∥PD,故CD⊥EF.‎ ‎∵EF⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,且EF∩BE=E,‎ ‎∴CD⊥平面BEF.‎ 又CD⊂平面PCD.‎ ‎∴平面BEF⊥平面PCD.‎ 考点3 平行与垂直的综合问题 ‎[考情聚焦] 空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.‎ 主要有以下几个命题角度:‎ 角度一 证明多面体中的平行与垂直关系 ‎[典题3]  如图所示,E是以AB为直径的半圆弧上异于A,B的点,矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面.‎ ‎(1)求证:AE⊥EC;‎ ‎(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证:EF∥AB.‎ ‎[证明] (1)∵E是半圆上异于A,B的点,‎ ‎∴AE⊥EB.‎ 又∵平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,CB⊥AB,‎ ‎∴CB⊥平面ABE.‎ 又∵AE⊂平面ABE,∴CB⊥AE.‎ ‎∵CB∩BE=B,∴AE⊥平面CBE.‎ 又∵EC⊂平面CBE,∴AE⊥EC.‎ ‎(2)∵CD∥AB,AB⊂平面ABE,‎ ‎∴CD∥平面ABE.‎ 又∵平面CDE∩平面ABE=EF,‎ ‎∴CD∥EF.又∵CD∥AB,∴EF∥AB.‎ 角度二 探索性问题中的平行与垂直关系 ‎[典题4] 如图,在三棱台ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC. ‎ ‎(1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证:DF∥a;‎ ‎(2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面DFG⊥平面CDE?若存在,请确定点G的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)[证明] 在三棱台ABC-DEF中,AC∥DF,AC⊂平面ACE,DF⊄平面ACE,‎ ‎∴DF∥平面ACE.‎ 又∵DF⊂平面DEF,‎ 平面ACE∩平面DEF=a,‎ ‎∴DF∥a.‎ ‎(2)[解] 线段BE上存在点G,且BG=BE,使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下:‎ 取CE的中点O,连接FO并延长交BE于点G,连接GD,‎ ‎∵CF=EF,∴GF⊥CE.‎ 在三棱台ABC-DEF中,AB⊥BC⇒DE⊥EF.‎ 由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.‎ 又CF∩EF=F,‎ ‎∴DE⊥平面CBEF,∴DE⊥GF.‎ ⇒GF⊥平面CDE.‎ 又GF⊂平面DFG,‎ ‎∴平面DFG⊥平面CDE.‎ 此时,如平面图所示,‎ ‎∵O为CE的中点,EF=CF=2BC,‎ 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE,‎ ‎∴HB=BC=EF.‎ 由△HGB∽△FGE可知,=,‎ 即BG=BE.‎ 角度三 折叠问题中的平行与垂直关系 ‎[典题5] 如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F分别在线段BC,AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.‎ ‎(1)求证:NC∥平面MFD;‎ ‎(2)若EC=3,求证:ND⊥FC;‎ ‎(3)求四面体N-EFD体积的最大值.‎ ‎(1)[证明] ∵平行四边形MNEF和EFDC都是矩形,‎ ‎∴MN∥EF,EF∥CD,MN=EF=CD,‎ ‎∴MN∥CD.‎ ‎∴四边形MNCD是平行四边形.‎ ‎∴NC∥MD.‎ ‎∵NC⊄平面MFD,MD⊂平面MFD,‎ ‎∴NC∥平面MFD.‎ ‎(2)[证明] 连接ED,交FC于点O.‎ ‎∵平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,‎ 平面MNEF∩平面ECDF=EF,‎ NE⊂平面MNEF,‎ ‎∴NE⊥平面ECDF.‎ ‎∵FC⊂平面ECDF,∴FC⊥NE.‎ ‎∵EC=CD,‎ ‎∴四边形ECDF为正方形,∴FC⊥ED.‎ 又∵ED∩NE=E,ED,NE⊂平面NED,‎ ‎∴FC⊥平面NED.‎ ‎∵ND⊂平面NED,∴ND⊥FC.‎ ‎(3)[解] 设NE=x,则FD=EC=4-x,‎ 其中0
查看更多

相关文章