【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第2讲函数的单调性与最值学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第2讲函数的单调性与最值学案

第2讲　函数的单调性与最值 ‎[考纲解读]　1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．(重点)‎ ‎2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．(重点)‎ ‎3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质．(难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.‎ ‎1．函数的单调性 ‎(1)增函数、减函数 ‎(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x ‎)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．‎ ‎2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ‎①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ‎①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 ‎1．概念辨析 ‎(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)‎ ‎(2)设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么f(x)在[a，b]上是增函数⇔>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.(　　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则函数y＝f(x)的增区间为[0，＋∞)．(　　)‎ ‎(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．小题热身 ‎(1)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)‎ A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－3x2‎ 答案　A 解析　y＝|x|在(0,1)上是增函数，y＝3－x，y＝，y＝－3x2在(0,1)上都是减函数．‎ ‎(2)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．‎ 答案　[－1,1]，[5,7]‎ 解析　由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．‎ ‎(3)函数f(x)＝2－x2，x∈[－1,2]的最大值为________，最小值为________．‎ 答案　2　－2‎ 解析　f(x)＝2－x2在[－1,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，f(－1)＝1，f(0)＝2，f(2)＝－2，所以最大值为2，最小值为－2.‎ ‎(4)函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，则k的取值范围是________．‎ 答案　 解析　因为函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以2k＋1<0，解得k<－.‎ 题型 　确定函数的单调性(区间)‎ ‎1．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)‎ A．[1,2] B．[－1,0]‎ C．[0,2] D．[2，＋∞)‎ 答案　A 解析　f(x)＝|x－2|x＝ 作出此函数的图象如下．‎ 观察图象可知，f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是[1,2]．‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，－2) B．(－∞，1)‎ C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)‎ 答案　D 解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.‎ 设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．‎ 要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．‎ ‎∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.‎ ‎3．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．‎ 解　解法一：设－10，x1－1<0，x2－1<0，‎ 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，‎ 即f(x1)>f(x2)，‎ 函数f(x)在(－1,1)上单调递减；‎ 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，‎ 即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；‎ 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．‎ 条件探究　将举例说明1中“f(x)＝|x－2|x”改为“f(x)＝x2－2|x|”，试写出其单调区间．‎ 解　f(x)＝x2－2|x|‎ ‎＝作出此函数的图象如右：‎ 观察图象可知，此函数的单调递减区间是(－∞，－1]，(0,1]；单调递增区间是(－1,0]，(1，＋∞)．‎ ‎1．确定函数单调性(区间)的三种常用方法 ‎(1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x10，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；‎ ‎(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是(　　)‎ A．(2，＋∞) B．(－∞，2)‎ C．(4，＋∞) D．(－∞，4)‎ 答案　B 解析　因为函数f(x)＝ax＋1在R上递减，所以a<0，所以g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a[(x－2)2－1]的增区间是(－∞，2)．‎ ‎2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.判断f(x)的单调性．‎ 解　设x1>x2>0，则>1，∵当x>1时，f(x)>0，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)＝f>0，∴f(x1)>f(x2)，‎ ‎∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．‎ 题型 　求函数的最值(值域)‎ ‎1．(2018·上饶模拟)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)‎ A. B．－ C．－2 D．2‎ 答案　A 解析　因为函数f(x)＝－x＋在上是减函数，‎ 所以f(x)max＝f(－2)＝2－＝.‎ ‎2．函数y＝x－的最小值为________．‎ 答案　 解析　令t＝，则t≥0且x＝t2＋1，‎ 所以y＝t2＋1－t＝2＋，t≥0，‎ 所以当t＝时，ymin＝.‎ ‎3．函数y＝的值域为________．‎ 答案　 解析　y＝＝＝2＋，‎ 由x∈R得x2－x＋1＝2＋∈，‎ 所以∈，‎ 所以y＝的值域是.‎ ‎4．(2018·石家庄模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．‎ 答案　1‎ 解析　解法一：在同一坐标系中，‎ 作函数f(x)，g(x)的图象，‎ 依题意，h(x)的图象如图所示．‎ 易知点A(2,1)为图象的最高点，‎ 因此h(x)的最大值为h(2)＝1.‎ 解法二：依题意，h(x)＝ 当02时，h(x)＝3－x是减函数，‎ 所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.‎ 条件探究1　将举例说明1中“f(x)＝－x＋”改为“f(x)＝－x－”，其他条件不变，如何解答？‎ 解　f(x)＝－x－在[－2，－1]上是减函数，在上是增函数，且f(－2)＝，f＝，所以f(x)max＝.‎ 条件探究2　将举例说明2中“y＝x－”改为“y＝x＋”‎ ‎，其他条件不变，如何解答？‎ 解　由1－x2≥0可得－1≤x≤1.‎ 可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，‎ 则y＝cosθ＋sinθ＝sin，θ∈[0，π]，‎ 所以－1≤y≤，故所求函数的最小值是－1.‎ 条件探究3　将举例说明3中“y＝”改为“y＝”，其他条件不变，如何解答？‎ 解　由y＝得x2＝，‎ 由x2≥0知≥0，解得－10，－1≤sinx≤1等)确定函数的值域．‎ ‎(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．如举例说明4.‎ ‎(4)换元法：形如求y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．如举例说明2.‎ ‎(5)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．如举例说明3.‎ 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　因为f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上为单调函数，所以由题意可得f(1)＋f(2)＝a＋a2＋loga2＝loga2＋6，所以a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)，所以a＝2.‎ ‎2．已知定义在D＝[－4,4]上的函数f(x)＝‎ 对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最大值与最小值之和为________．‎ 答案　9‎ 解析　作出函数f(x)的图象如图所示，由任意x∈D，f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，由图可知|x1－x2|max＝8，|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值与最小值之和为9.‎ 题型 　函数单调性的应用 角度1　比较函数值的大小 ‎1．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 答案　D 解析　根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，所以a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.‎ 角度2　解不等式 ‎2．已知函数f(x)＝则不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是(　　)‎ A．(0，－1) B．(－1，＋1)‎ C．(0，＋1) D．(－1，－1)‎ 答案　D 解析　作出函数f(x)的图象如图所示．‎ 则不等式f(1－x2)>f(2x)等价于或解得－1>1，c＝log2<0，所以clog|3x－1|－1的解集为(　　)‎ A．(2，＋∞) B．(－∞，2)‎ C．(0,1)∪(1,2) D．(－∞，0)∪(0,2)‎ 答案　D 解析　由对任意x1log|3x－1|－1等价于g(log|3x－1|>g(－3)，所以log|3x－1|>－3＝log8，所以0<|3x－1|<8，解得x<2且x≠0，故所求不等式的解集是(－∞，0)∪(0,2)．‎