河北省张家口市2020届高三上学期入学数学（文）试题

河北省张家口市2020届高三上学期入学数学（文）试题

全国卷高三入学摸底联合考试文科数学 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.‎ 详解：由并集的定义可得：，‎ 结合交集的定义可知：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生计算求解能力.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数乘法运算化简所求表达式，由此求出正确选项.‎ ‎【详解】依题意，原式，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，属于基础题.‎ ‎3.若（，且），则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分成两种情况，利用对数函数的单调性，求得的取值范围.‎ ‎【详解】当时，由得；当时，由得.综上所述，的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎4.执行如图程序框图，则输出的等于( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依据流程图可知，程序运行如下：‎ 首先初始化数据：，‎ 第一次循环：，‎ 执行：，‎ 第二次循环：，‎ 执行：，‎ 第三次循环：，‎ 执行：，‎ 第四次循环：，此时跳出循环，输出.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．‎ ‎5.如图，面积为的平行四边形，对角线，与交于点，某指数函数，经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设点A（0，m）,则由已知可得，C()E()B()．又因点E、B在指数函数图像上，所以,两式相除得，∴．故选A．‎ 考点：已知图像上点求函数解析式．‎ ‎【方法点睛】本题是通过四边形的面积求出相应点的坐标，然后代入指数函数的解析式中，求出a的值即可．思路简单，难点在于解关于m,a的方程组，注意消元技巧．‎ ‎6.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．‎ ‎【详解】∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，‎ ‎∴第一个打电话给甲的概率为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎7.设非零向量、、、满足||=||=||，+=，则向量、间的夹角为（ ）‎ A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,故选B.‎ ‎8.在区域中，若满足的区域面积占面积的，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出区域，以及，根据的区域面积占面积的列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】画出区域如下图所示，其中.‎ 当时，由得，由图像可知满足的区域面积占面积不小于,不合题意.‎ 当时，由得，设直线交直线于，由，得，代入得，将代入，解得，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查不等式组组成区域的画法，考查两条直线交点坐标有关问题求解，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A. 16 B. (10＋)π C. 4＋(5＋)π D. 6＋(5＋)π ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由该几何体的三视图判断出组合体各部分的几何特征，以及各部分的几何体相关几何量的数据，由面积公式求出该几何体的表面积.‎ 详解：该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，‎ 其表面积为：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据.‎ ‎10.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ）‎ A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】设第一天走，公比，所以，解得，所以 ‎.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.‎ ‎11.已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得c=，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，‎ ‎∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，‎ 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，‎ 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，‎ ‎∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．‎ 在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，‎ 由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=‎2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，‎ 于是 b2=a2﹣c2=36﹣=16，‎ 所以椭圆的方程为．‎ 故选：B．‎ 点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．‎ ‎12.已知函数，是函数的导数，且函数的图象关于直线对称，若在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的导函数，根据导函数的对称轴求得，由此对分离常数，即，利用构造函数法求得的最大值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】依题意可得，‎ 因为的图象关于直线对称，‎ 所以，解得，故，‎ 因为在上恒成立，所以在上恒成立，‎ 因为函数在上单调递减，所以函数在上的最大值为，所以，故实数的取值范围为．选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数的对称性，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数的值是_______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由，则切线斜率，‎ 则过的切线方程为:，‎ 与坐标轴交点分别为，‎ 又所成三角形面积为2，可得，所以,故答案为4.‎ ‎14.设，，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用乘“”法化简所求表达式，再利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】依题意，所以，当且仅当时等号成立.故填.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查“‎1”‎的代换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15.‎2019年7月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：‎ 价格 ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10.5‎ ‎11‎ 销售量 ‎11‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ 可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，代入回归直线方程，与结合，求解出的值.‎ ‎【详解】依题意，代入回归直线方程得①，根据题意②，解①②组成的方程组得，故填.‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎16.已知数列满足，，且，若函数，记，则数列的前9项和为______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给数列递推关系式，证得数列为等差数列.化简解析式，并证得，利用等差数列的性质，求得数列的前项和.‎ ‎【详解】由已知可得，数列为等差数列，，‎ ‎∴.∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，即数列的前9项和为9.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查三角函数降幂公式、二倍角公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.‎ ‎（1）根据以上数据完成下列列联表：‎ 主食蔬菜 主食肉类 总计 ‎50岁以下 ‎50岁以上 总计 ‎（2）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析.‎ 参考公式和数据：，.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）有，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格所给数据填写列联表.（2）计算，由此判断有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.‎ ‎【详解】（1）列联表如下：‎ 主食蔬菜 主食肉类 总计 ‎50岁以下 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎50岁以上 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 总计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎（2）因为，‎ 所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．‎ ‎【点睛】本小题主要考查填写列联表，考查的计算以及独立性检验的实际应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.在中，、、分别为内角、、的对边，且满足.‎ ‎（1）判断的形状；‎ ‎（2）若，，为角的平分线，求的长.‎ ‎【答案】（1）直角三角形；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角和与差的正弦公式化简已知条件，求得，由此判断也即三角形为直角三角形.（2）根据勾股定理求得和,由此求得，根据正弦定理列方程，解方程求得的长.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 故为直角三角形．‎ ‎（2）由（1）知，又，，∴，，.‎ 由正弦定理得，∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两角和与差的余弦公式，考查勾股定理，考查正弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎19.如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点．‎ 已知，，，.求：‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)由题意结合三棱锥的体积公式可得三棱锥的体积为；‎ ‎(2)取PB的中点E，连接DE，AE，则∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．结合余弦定理计算可得异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ 详解：‎ ‎(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥PABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，‎ 所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ 点睛：本题主要考查三棱锥的体积公式，异面直线所成的角等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20.设，分别是椭圆的左、右焦点，是在第一象限上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为.‎ ‎（1）若直线的斜率为，求的离心率；‎ ‎（2）若直线在轴上的截距为2，且，求，.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件求得点的坐标，利用列方程，化简后求得椭圆离心率.（2）根据平行线分线段成比例得到，结合，得.由此求得点坐标，将点坐标代入椭圆方程，结合解方程组，求得的值.‎ ‎【详解】（1）根据及题设知，‎ 由，得，即.‎ 将代入，解得，（舍去）．‎ 故的离心率为.‎ ‎（2）由题意，原点为的中点，轴，‎ 所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即.①‎ 由，得.‎ 设，由题意知，则 即 代入的方程，得.②‎ 将①及代入②得，‎ 解得，，故，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，主要是方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21.已知函数在处取得极值．‎ 确定a的值；‎ 若，讨论的单调性．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）在和内为减函数，在和内为增函数．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）对求导得，‎ 因为在处取得极值，所以，‎ 即，解得；‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 故 ‎，‎ 令，解得或，‎ 当时，，故为减函数，‎ 当时，，故为增函数，‎ 当时， ，故为减函数，‎ 当时，，故为增函数，‎ 综上所知：和函数单调减区间，‎ 和是函数的单调增区间.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；‎ ‎(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.‎ 详解：（1）由，得的直角坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． ‎ 综上，所求的方程为．‎ 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；‎ ‎(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.‎ 详解：（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，取值范围为．‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.‎