福建省莆田第一中学2020届高三10月月考数学(理)试题

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福建省莆田第一中学2020届高三10月月考数学(理)试题

莆田一中2019-2020学年高三理数10月份月考试卷 一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知全集,集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数满足(为虚数单位),则复数的虚部为( )‎ A.     B.     C.    D.‎ ‎3.设满足约束条件则的最小值为( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A.8 B.16 C.24 D.48‎ ‎5.下列说法中正确的是( )‎ A.若样本数据,,,的平均数为5,则 样本数据,,,的平均数为10‎ B.用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动,若抽取的学号为5,16,27,38,49,则该班学生人数可能为60‎ C.某种圆环形零件的外径服从正态分布(单位:),质检员从某批零件中随机抽取一个,测得其外径为,则这批零件不合格 D.对某样本通过独立性检验,得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系,则在该样本吸烟的人群中有的人可能患肺病 ‎6.已知等差数列的前项和为,若,且,则( )‎ A.15 B.22 C.25 D.27‎ ‎7.下列说法正确的是( )‎ A.若,则 ‎ B.若,则或 C.“”是“”的充分不必要条件 ‎ D.“,”的否定形式是“,”‎ ‎8.已知函数,则在的图像大致为( )‎ ‎9.如图,在平面四边形中,,,.将该四边形沿对角线折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设函数是定义在R上的增函数,则实数 a的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.函数在区间上单调递减,则的取值范围是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数 ,则函数的零点个数为( ) ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.已知向量,,且,则__________. ‎ ‎14.若,则的值为________.‎ ‎15.若实数,,则的最小值是__________.‎ 16. 已知函数,,若成立,则的最小值是__________.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时要求写出必要文字说明或步骤)‎ ‎17.已知函数(),是偶函数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求函数在区间的最大值.‎ ‎18.如图,在三棱锥中,底面,,,,为的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若二面角的大小为,求三棱锥的体积.‎ ‎19.已知椭圆:的一个顶点为,且焦距为2,直线 交椭圆于、两点(点、与点不重合),且满足.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)为坐标原点,若点满足,求直线的斜率的取值范围.‎ ‎20.已知函数(为自然对数的底数).‎ ‎(I)证明:当时,方程在区间上只有一个解; ‎ ‎(II)设,其中.若恒成立,求的取值范围.‎ 21. 已知函数有两个极值点.‎ ‎(1)求实数的范围;‎ ‎(2)设函数的两个极值点分别为,且,求实数的取值范围.‎ 请从下面所给的22、23中选定一题作答,多答按所答第一题评分.‎ ‎22.【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 以直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的参数方程为(为参数),曲线的方程为,定点,点是曲线上的动点,为的中点.‎ ‎(1)求点的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(2)直线与曲线相交于,两点,若,求实数的取值范围.‎ ‎23.【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若的解集包含,求的取值范围.‎ 莆田一中2019-2020学年高三理数10月份月考答案 一、选择题: CDCBC CBCBD BB 二、填空题:13. 14. 15. 9 16. ‎ ‎ 三、解答题:‎ ‎17.解(1)依题意,……2分 ‎.………3分 因为是偶函数,所以.……5分 又因为,所以.……6分 ‎(2)由(Ⅰ)得,,.……8分 ‎.………10分 时,,‎ 故函数在区间的最大值为.………12分 ‎18.解:(1)在中,由余弦定理得,则.因为为的中点,则.(2分)‎ 因为,则 ‎,所以.(4分)‎ 因为,则.(5分)‎ 因为底面,则,所以平面,从而.(6分)‎ ‎(2)分别以直线,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系 设,则点,,.‎ 所以,.(8分)‎ 设平面的法向量为,则,即,‎ 取,则,,所以.(9分)‎ 因为为平面的法向量,‎ 则,即.‎ 所以,解得,所以.(11分)‎ 所以.(12分)‎ ‎19.解:(1)依题意,,,则,‎ 解得,所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)当直线垂直于轴时,由消去整理得,‎ 解得或2,此时,直线的斜率为0;‎ 当直线不垂直于轴时,设,,直线:,‎ 由,消去整理得,‎ 依题意,即,‎ 且,,‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即,解得满足,‎ ‎∴,故.‎ 故直线的斜率,‎ 当时,,此时;‎ 当时,,此时;‎ 综上,直线的斜率的取值范围为.‎ ‎20. (I)设,.‎ ‎,当时,,因此函数在区间上单调递增.‎ 且,.‎ 所以,在区间上只有一个零点,方程在区间上只有一个解.‎ ‎(Ⅱ)设,,定义域为,‎ ‎ ,‎ 令,则,‎ 由(I)知,在区间上单调递增,且只有一个零点,‎ 不妨设的零点为,则,‎ 所以,与在区间上的情况如下:‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ 所以,函数的最小值为,,‎ 由,得,所以.‎ 依题意,即,解得。所以,的取值范围为.‎ ‎21.解:.由得,.‎ 令,则直线与曲线有且只有两个交点。‎ 因为,当时, ,单调递减;当时, ‎ ‎,单调递增。且当时,;当时,。 ‎ 所以。 ‎ ‎(2)依题意得:,().‎ 两式相除可得:. 令(),则.‎ 所以,则. ‎ 令(),. 令(),. 所以在单调递减,所以,‎ 即,因此在单调递减,所以,故.‎ 又因为,在单调递减,所以.‎ 21. 解:(1)由题意知,曲线的直角坐标方程为.‎ 设点,.由中点坐标公式得,代入中,‎ 得点的轨迹的直角坐标方程为.‎ ‎(2)直线的普通方程为,由题意可得,解得,‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎23.解:(1)当时,,当时,由得,解得;‎ 当时,无解;当时,由得,解得,所以的解集为.‎ (2) 等价于当时,等价于,由条件得且,即.‎ 故满足条件的的取值范围为.‎
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