宁夏海原县第一中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

宁夏海原县第一中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

海原一中2019--2020学年第一学期第三次月考 高三数学（文科）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.已知集合，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定出集合，再进行集合的交集运算即可得到答案 ‎【详解】由可得：‎ 解得，即 ‎，‎ 则 故选 ‎【点睛】本题主要考查了对数不等式的解法，集合的交集运算，意在考查学生的运算求解能力，属于基础题．‎ ‎2.复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 虚部为-1，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎3.若角的终边过点(-1,2),则的值为 A. B. - C. D. -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义求出后再根据倍角公式求出即可．‎ ‎【详解】∵角的终边过点(-1,2)，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基本知识的理解和对基本公式的掌握情况，属于基础题．‎ ‎4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】设塔顶的a1盏灯，‎ 由题意{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎∴S7==381，‎ 解得a1=3．‎ 故选B．‎ ‎5.若函数，则（ ）‎ A. B. e C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 因为，所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 即，故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.‎ ‎6.若，，，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量的数量积的定义及，求出向量与的夹角大小．‎ ‎【详解】设向量与的夹角为，‎ 因为，，，‎ 则，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量积的运算性质，属于基础题．‎ ‎7.以下四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件； ③若为假命题，则均为假命题；④对于命题使得，则为，均有.其中,真命题的个数是 ( )‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四种命题的定义,我们可以判断A的真假;根据充分不必要条件的定义,我们可以判断B的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断C的真假;根据特称命题的否定方法,我们可以判断D的真假,进而得到答案.‎ ‎【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”,故①正确；‎ 不等式，解得或，所以，，“”是“”的充分不必要条件. ②正确；‎ 若为假命题，则至少有一个为假，故③错误；‎ 命题使得的否定为，均有.④正确 故答案选C.‎ ‎【点睛】本题考查知识点是命题的真假判断与应用,四种命题间的逆否关系,充分不必要条件,是对简单逻辑综合的考查,属于简单题型.‎ ‎8.实数满足条件，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. ‎4 ‎C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 有题得如下可行域：‎ 则过时，的最小值为，故选D．‎ ‎9.已知函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（ ）‎ A. 向右平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图像，可知，可解得，再由 求出，确定的解析式，再进行平移变换即可。‎ ‎【详解】解：由函数（其中）的部分图象可得，‎ ‎，求得.‎ 再根据五点法作图可得，∴.‎ 故把图象向右平移个长度单位，可得的图象，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的图像，以及平移变换，属于常见题型。‎ ‎10.若不等式对于一切成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题即可求解.‎ ‎【详解】对于一切成立，‎ 对于一切成立，‎ 对于一切成立，‎ 在区间上是增函数，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集，要求学生掌握不等式恒成立时所取的条件，是基础题．‎ ‎11.若点的坐标满足，则点的轨迹图象大致是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域，可排除C、D选项，再根据对数函数的运算性质，可排除A选项，得道答案.‎ ‎【详解】由题意，满足，可排除选项C、D；‎ 又因为，所以 ，即 且，排除选项A，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用对数函数的基本性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】构造新函数,，当时.‎ 所以在上单减，又，即.‎ 所以可得,此时，‎ 又为奇函数，所以在上的解集为：.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.棱长为2的正四面体外接球的表面积是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正四面体性质可知，球心在棱锥高线上，利用勾股定理可求出半径R,即可求出球的面积.‎ ‎【详解】正四面体的棱长为：2，‎ 底面三角形的高：，‎ 棱锥的高为：，‎ 设外接球半径为R，‎ ‎，解得，‎ 所以外接球的表面积为：；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题的关键是根据球心的位置，在正四面体中求出球的半径．‎ ‎14.设函数，观察：‎ ‎ ， ， ，‎ ‎ ，……‎ 根据以上事实，由归纳推理可得： ‎ 当且时，= ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用所给函数式，归纳出函数式分母多项式的规律，结合分子都是1，从而可得结果.‎ ‎【详解】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，..‎ ‎【点睛】本题主要可得函数的解析式以及归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.‎ ‎15.设四边形为平行四边形，.若点满足 ‎，则=______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的加减运算法则，对进行变形，最后用向量表示，再将代入可得答案.‎ ‎【详解】由题， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为9‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积，解题的关键是掌握平面向量的加减运算法则，属于中档题目.‎ ‎16.已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以 ，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，,所以，所以球的表面积．‎ 点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题．其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键．‎ 三、解答题：（共70分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.‎ 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】在△BCD中，‎ ‎. ‎ 由正弦定理得 所以 在Rt△ABC中，‎ 塔高为.‎ ‎18.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得‎3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． ‎ ‎ ‎ ‎(1) 证明：PB∥平面AEC ‎ ‎(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD体积 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积 试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.‎ 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．‎ 又E为PD的中点，所以EO∥PB.‎ 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC. ‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，‎ 所以AB，AD，AP两两垂直．‎ 如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D，E，＝.‎ 设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．‎ 设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，‎ 则即 可取n1＝.‎ 又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，‎ 由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即 ‎＝，解得m＝.‎ 因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V＝××××‎ ‎＝.‎ 考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 ‎20.设数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： （1）结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的通项公式，求解时需结合等比数列求和公式；（2）由得数列的通项公式为，求和时采用错位相减法，在的展开式中两边同乘以4后，两式相减可得到 试题解析：（1） 由已知，当时，‎ ‎==，．‎ 而，所以数列的通项公式为．‎ ‎（2） 由知…① ……7分 从而……②‎ ‎①②得，‎ 即．‎ 考点：1．累和法求数列通项公式；2．错位相减法求和 ‎21.设函数.‎ ‎(1)若，求的单调区间；‎ ‎(2)若当时恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a的取值范围为(－∞，‎ ‎].‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分别令f′(x)<0，f′(x)>0‎ 可求的单调区间；‎ ‎(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－‎2a)x，从而对1－‎2a的符号进行讨论即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.‎ 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加 ‎(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－‎2a)x，从而当1－‎2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)2；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）解集为.‎ ‎（Ⅱ）最小值 ‎【解析】‎ ‎【详解】解：‎ ‎（Ⅰ）令，则 ‎ ‎ 作出函数的图像，它与直线的交点为和.‎ 所以的解集为 ‎（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值.‎