【数学】2019届一轮复习北师大版函数模型及其应用学案
第12讲 函数模型及其应用
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
2016·四川卷，2
2015·四川卷，8
2014·福建卷，9
2014·湖北卷，16
函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题.
分值：5～12分
1．三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
单调__递增__函数
单调__递增__函数
单调__递增__函数
增长速度
越来越__快__
越来越__慢__
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与__y__轴接近平行
随x值增大，图象与__x__轴接近平行
随n值变化而不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
0，且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0，且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
3．解决函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．( × )
(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．( √ )
(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )
(4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．( √ )
解析 (1)错误．当x∈(0,2)和(4，＋∞)时，2x>x2，当x∈(2,4)时，x2>2x.
(2)正确．由两者的图象易知．
(3)错误．增长越来越快的指数型函数是y＝a·bx＋c(a>0，b>1)．
(4)正确．根据指数函数y＝ax(a>1)的函数值增长特点易知．
2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( B )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
解析 由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．
3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则x，y最适合的函数是( D )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A项；将x＝2.01，y＝0.98
代入计算，可以排除B，C项；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D．
4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：h)的函数关系用图象表示为下图中的( B )
解析 由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)．故选B．
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( B )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
一 二次函数模型
在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．
【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解析 设该单位每月获利为S，则S＝100x－y
＝100x－
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
二 指数函数、对数函数模型
一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化、指数函数值域的影响以及实际问题中的条件限制．
【例2】 (1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( C )
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
(2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制在5万，则此时54时，由L(x)≥0，得5.5－x≥0，解得44时，L(x)<1.5<2.
综上，当生产300台时，可使利润最大．
(3)由(2)知x＝3时，利润最大，
此时的售价P＝＝2.33(万元/百台)＝233(元/台)．
1．(2018·北京西城35中期中)如图给出了某种豆类生长枝数y(单位：枝)与时间t(单位：月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是( B )
A．y＝2t2 B．y＝log2t
C．y＝t3 D．y＝2t
解析 由图象知模型越来越平滑，所以只有B项符合条件．故选B．
2．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16 000，L2＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( C )
A．11 000元 B．22 000元
C．33 000元 D．40 000元
解析 设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，所以当x＝60时，有最大利润33 000元．故选C．
3．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为( B )
A．3 000元 B．3 800元
C．3 818元 D．5 600元
解析 根据题意，若稿费为4 000元，则纳税部分是3 200元，纳税3 200×14%＝448(元)，超过了420元，所以他的稿费不足4 000元．根据题意可知其稿费应该为420÷14%＋800＝3 800(元)．故选B．
4．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解析 (1)设旅行团人数为x人，由题得0200，
则lg[130×(1＋12%)n－1]>lg 200，
∴lg 130＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，
∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，
∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，解得n>.
又∵n∈N*，∴n≥5，
∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B．
课时达标 第12讲
[解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．
一、选择题
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是( C )
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100log2x＋100
解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C项正确．
2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少( B )
A．9天 B．10天
C．11天 D．12天
解析 设该厂应每隔x天购买一次面粉，则购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，
设平均每天所支付的总费用为y1元，则
y1＝＋1 800×6＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
故该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．故选B．
3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( D )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
解析 设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意，得y＝依题意有[280×p%＋(x－280)×(p＋2)%]＝(p＋0.25)%，解得x＝320.
4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( C )
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%
解析 设每年世界人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.
5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( A )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( B )
A．3 000元 B．3 300元
C．3 500元 D．4 000元
解析 由题意，设利润为y元，租金定为3 000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．
则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)
＝(2 900＋50x)(70－x)
＝50(58＋x)(70－x)≤502，
当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)
时，公司获得最大利润．故选B．
二、填空题
7．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时．
解析 (1)当l＝6.05时，
F＝，
∴F＝＝≤＝1 900，
当且仅当v＝，即v＝11时取等号．
∴最大车流量F为1 900辆/小时．
(2)当l＝5时，F＝＝，
∴F≤＝2 000，
当且仅当v＝，即v＝10时取等号．
∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/小时．
8．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__6__级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__10_000__倍．
解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．
9．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据关系如下表.
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__；
(2)最低种植成本是__80__(元/100 kg)．
解析 根据表中数据可知函数不单调，
所以Q＝at2＋bt＋c且开口向上，
对称轴t＝－＝＝120.
代入数据得
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.
三、解答题
10．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解析 (1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，＝，所以＝，
所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，
所以当x∈[4,8]，S(x)单调递增，所以当x＝8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．
11．(2018·甘肃会宁一中月考)某公司对营销人员有如下规定：
①年销售额x (单位：万元)在8万元以下，没有奖金；
②年销售额x (单位：万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取奖金y∈[4,10] (单位：万元)，则年销售额x (单位：万元)在什么范围内？
解析 (1)依题意，y＝logax在x∈[8,64]上为增函数，所以解得a＝2，所以y＝
(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1 024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4,10]，则40≤x≤100，所以64
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