2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一下学期期中考试数学试题

2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一下学期期中考试数学试题

‎2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一下学期期中考试数学试题 ‎ ‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。‎ 一.选择题(每题5分，共50分.其中9.10是多选题)‎ ‎1.不等式的解集是（ ）‎ A． B． C．或 D．且 ‎2.已知数列满足，，则数列的前5项和＝（ ）‎ A．9 B．16 C．25 D．36‎ ‎3.在中，若，,则( )‎ ‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎4.若，则下列不等式不可能成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.在等比数列中，，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎6.若则的最小值是( ) ‎ ‎ A.2 B.a C. 3 D.4 ‎ ‎7.一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积为，则该正方体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为( ) ‎ ‎ A.2 B. C. D.‎ ‎（再提醒以下两题是多选题）‎ ‎9．对于，有如下判断,其中正确的判断是 （ ） ‎ A.若 ，则为等腰三角形.‎ B.若,则 .‎ C.若，则符合条件的有两个.‎ D.若，则是钝角三角形.‎ ‎10．如图，直三棱柱中，，，‎ ‎，侧面中心为，点是侧棱上的一个动 点.有下列判断,正确的是（ ）‎ A.直三棱柱侧面积是； B.直三棱柱体积是；‎ ‎ C.三棱锥的体积为定值； D.的最小值为.‎ 二.填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎11.设是等比数列的前n项和，且满足，则的值为　　　‎ ‎12.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝1，则原图形周长是　　　　．‎ ‎13.设△ABC的内角A.B.C所对的边分别为，若，则△ABC的外接圆半径的值为　　　　．‎ ‎14.如图，港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站7海里，该轮船从B处沿正西方向航行3海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离5海里，则此时轮船离港口A有 海里。‎ ‎15.已知数列中，．若数列为等差数列，则　　　　．‎ ‎16.已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为　　　　．‎ 三.计算题(第17题10分，其余题每题12分，共70分)‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若关于的不等式的解集是(－1，3)，求实数的值．‎ ‎（2）当b＝－4时，对任意∈时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 如图，在四边形ABCD中，.‎ ‎(1)求的大小；‎ ‎(2)若，求AD的长．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 数列是公比大于1的等比数列，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，若，求的最小值.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 在中，内角所对的边分别为，若，且.‎ （1） 求证：成等比数列；‎ （2） 若的面积是2，求边的长.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知中，角A.B.C成等差数列，且.‎ ‎（1）求角A.B.C； ‎ ‎（2）数列满足，前项和为，若，求n的值.‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 已知正数数列的前n项和为Sn，满足 ，.‎ ‎（1）求数列的通项公式;若恒成立，求k的范围;‎ ‎（2）设，若是递增数列，求实数的取值范围．‎ 高一年级数学试卷答案 BCAD BCAB BD ACD ‎5 ;14 ; ; 5 ; ;16‎ ‎17 A=2,b=3; -4 ≤a≤4‎ ‎19解：‎ ‎（I）由数列为等比数列，解得,.‎ ‎ ‎ 则数列的通项公式,. ……………….6分 ‎（II） ‎ ‎.‎ ‎ 所以，的最小值为13 .………………………..12分 ‎20. 解：（Ⅰ）证明：∵ ，，‎ ‎∴ ‎ 在中，由正弦定理得，， ‎ ‎∵，∴，‎ 则 ‎∴成等比数列； ‎ ‎（Ⅱ） ，则 ， ‎ 由（Ⅰ）知， ，‎ 联立两式解得 ， ‎ 由余弦定理得， ‎ ‎∴‎ ‎21.解：(Ⅰ)解法1：由已知得，又，‎ ‎∴， ……………………………………………………………2分 由得，，………4分 ‎∴，，∴，∴. ……………………………6分 解法2：由解法1知又由得，…………………………3分 ‎∴，∴，……………………………5分 ‎∴为，，. ………………………………………6分 ‎(Ⅱ) ………………………………8分 ‎ ∴…，………10分 ‎ 由，得，∴，……………………………………12分 ‎ ∴. ……………………………………………………………………………13分 ‎22.∵an=2n-1． 假设存在正整数m，k，使得am，am+5，ak成等比数列，即 即（2m+9）2=（2m-1）•（2k-1）， ∵（2m-1）≠0，∴， ∵2k-1∈Z，∴2m-1为100的约数， ∴2m-1=1，m=1，k=61． ‎ ‎17在中，角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列．‎ ‎（1）求；（2）若，，求的面积．‎ 在△ABC中，A.B.C所对的边分别是a.b.c，bcos B是acos C，ccos A的等差中项．‎ ‎(1)求B的大小；‎ ‎(2)若a＋c＝，b＝2，求△ABC的面积．‎ ‎18.解　(1)由题意，得acos C＋ccos A＝2bcos B.‎ 由正弦定理，得sin Acos C＋cos Asin C＝2sin Bcos B，…………………………4分 即sin(A＋C)＝2sin Bcos B.‎ ‎∵A＋C＝π－B,0＜B＜π，∴sin(A＋C)＝sin B≠0.‎ ‎∴cos B＝，∴B＝。 .…………………………7分 ‎(2)由B＝，得cos B＝＝，…………………………11分 即＝，∴ac＝2.‎ ‎∴S△ABC＝acsin B＝..…………………………14分 ‎22解：（1），=Sn-1+Sn-2，（n≥3）．‎ 相减可得：，∵an＞0，an-1＞0，∴an-an-1=1，（n≥3）．‎ n=2时，=a1+a2+a1，∴=2+a2，a2＞0，∴a2=2．因此n=2时，an-an-1=1成立．‎ ‎∴数列{an}是等差数列，公差为1．∴an=1+n-1=n．‎ ‎（2）由题意得， ∴k≥1． （2）=（n-1）2+a（n-1），‎ ‎∵{bn}是递增数列，∴bn+1-bn=n2+an-（n-1）2-a（n-1）=2n+a-1＞0，‎ 即a＞1-2n恒成立，∴a＞-1．‎ ‎∴实数a的取值范围是（-1，+∞）．‎