山东省枣庄三中高密一中莱西一中2020届高三下学期第一次在线联考数学试题

山东省枣庄三中高密一中莱西一中2020届高三下学期第一次在线联考数学试题

莱西一中、高密一中、枣庄三中高三年级第一次（在线）联考 数学试题 ‎ 本试卷共6页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合非空真子集的个数为（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数和的图象，根据图象知集合有3个元素，得到答案.‎ ‎【详解】画出函数和的图象，根据图象知集合有3个元素，‎ 故集合的非空真子集的个数为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了真子集个数，方程的解，画出函数图象是解题的关键.‎ ‎2.复数满足，则对应点的轨迹为（ ）‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设复数，根据椭圆定义直接得到答案.‎ ‎【详解】设复数，则，‎ 根据椭圆定义知对应点的轨迹为椭圆.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，意在考查学生对于椭圆基础知识的理解.‎ ‎3.展开式中的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将二项式表示为，得出其通项，令的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.‎ ‎【详解】，‎ 展开式通项为，‎ 令，得，‎ 因此，二项式展开式中的常数项为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎4.1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数和天数的函数关系为：，且该种病毒细胞的个数超过时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（）‎ A. 25 B. ‎26 ‎C. 27 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，得到，得到答案.‎ ‎【详解】取，故，即 ‎，‎ 故该种病毒细胞实验最多进行的天数为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据奇偶性的判断可知f（x）为偶函数，排除A，再通过x1进行特值判断即可得解.‎ ‎【详解】函数的定义域为{x|x±1}，‎ f（﹣x）f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，‎ 当x1时，f（x）0恒成立，排除B，D，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法：‎ ‎（1）根据奇偶性判断；‎ ‎（2）根据特值判断；‎ ‎（3）根据单调性和趋势判断.‎ ‎6.当时，关于的不等式的解集是，则取得最值的充分条件是（ ）‎ A. 有最大值， B. 有最小值，‎ C. 有最大值， D. 有最小值，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，，计算，根据充分条件的定义得到答案.‎ ‎【详解】不等式的解集是，故，.‎ ‎，‎ 当，即时等号成立，根据充分条件的定义知满足.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了充分条件，不等式的解，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎7.若有零点，值域为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数零点和值域得到，解得答案.‎ ‎【详解】，则，有零点，值域为，‎ 故，解得.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数值域和零点问题，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.‎ ‎8.已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项之和，则的值是（ ）‎ A. B. ‎1011 ‎C. 1008 D. 336‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性得到，计算知以6为周期循环，计算得到答案.‎ ‎【详解】函数为奇函数，则，‎ 即，周期为.‎ ‎，，，，，.‎ 解得，，，，，，，以6为周期循环.‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，数列求和，确定以6为周期循环是解题的关键.‎ 二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.下列结论正确的有（ ）‎ A. 若随机变量，，则 B. 若，则 C. 已知回归直线方程为，且，，则 D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布对称性知正确，计算，错误，将代入回归直线，计算得到正确，讨论三种情况得到可能数据的和为，错误，得到答案.‎ ‎【详解】随机变量，，则，正确；‎ ‎，则，故，错误；‎ 将代入回归直线，计算得到，正确；‎ 设丢失的数据为，则平均数为，众数为，‎ 当时，中位数为，故，；‎ 当时，中位数为，则，；‎ 当时，中位数为，故，；‎ 故可能数据的和为，错误；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布，二项分布，回归方程，中位数，平均数，众数，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎10.设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）‎ A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为6‎ C. 存在直线，使得、两点关于对称 D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到故，错误，，正确，计算中点在抛物线上，错误，计算，正确，得到答案.‎ ‎【详解】，故，，故，错误；‎ 过作垂直于准线于，则，当共线时等号成立，故正确；‎ 设，，设中点则，，‎ 相减得到，即，故，故，点在抛物线上，不成立，故不存在，错误；‎ 如图所示：为中点，故，故为直径的圆与轴相切，故正确；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线方程，最值，对称，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.‎ ‎11.在长方体中，，，分别是上的动点，下列结论正确的是（ ）‎ A. 对于任意给定的点，存在点使得 B. 对于任意给定的点，存在点使得 C. 当时，‎ D. 当时，平面 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示建立空间直角坐标系，计算，，，，得到答案.‎ 详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，， ‎ 设，得到，.‎ ‎，，，当时，，正确；‎ ‎，，取时，，正确；‎ ‎，则，‎ ‎，此时，错误；‎ ‎，则，，‎ 设平面的法向量为，则，解得，‎ 故，故平面，正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.‎ ‎12.新型冠状病毒属于属冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的，，人体肺部结构中包含，的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为.则下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则为周期函数 B. 对于，的最小值为 C. 若在区间上是增函数，则 D. 若，，满足，则 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到或正确，设，‎ 上单调递增，在上单调递减，计算得到正确，化简即恒成立，计算故，错误，三角恒等变换知正确，得到答案.‎ ‎【详解】，则，‎ ‎，‎ 代换整理得到：，‎ 若，则为周期函数；‎ 若，则，，则为周期函数，正确；‎ 设，故，设，‎ 故，故单调递减，‎ 且，，故存在使.‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，当时，，故，正确；‎ 在区间上增函数，则，‎ 即恒成立，‎ 设，则，‎ 故在上单调递增，故在上单调递减，，‎ 故，错误；‎ ‎ D. 若，，满足，则 ‎，其中.‎ ‎，即函数关于对称，故，‎ 即，‎ ‎，故正确；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数周期，最值，对称，单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知椭圆的左右焦点分别为，且，若在椭圆上存在点，使得过点可作以为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，根据题意知为正方形，，故，解得答案.‎ ‎【详解】如图所示，根据题意知：为正方形，故，故，‎ 故，解得，又，故，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率的范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎14.已知是的外心，且，，，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，，，得到方程组，，解得答案.‎ ‎【详解】，同理.‎ ‎，‎ 故，‎ ‎，解得，，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的应用，计算，是解题的关键，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎15.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，且该三棱锥的体积为，平面，，，则球的体积的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据体积公式得到，根据余弦定理得到，根据正弦定理得到，根据得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】，故.‎ 根据余弦定理：，‎ 即，当时等号成立.‎ 设外接圆半径为，故，即.‎ 设球的半径为，球心在平面的投影为外心，‎ 则，，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎16.设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长与的延长线交于点，计算得到轨迹方程，取点，，解得答案.‎ ‎【详解】如图所示：延长与的延长线交于点，‎ 则，‎ 故轨迹方程为.‎ 取点，则，，故，‎ ‎，当共线时等号成立.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点证明相似是解题的关键.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知的内角的对应边分别为，‎ 在①‎ ‎②‎ ‎③‎ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求的最大值.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理或余弦定理计算得到，再计算，得到最值.‎ ‎【详解】若选①，则由正弦定理，‎ ‎，，‎ 若选②，则由正弦定理知：‎ ‎，，，‎ 若选③，则有正弦定理知，‎ ‎，由余弦定理知：，，‎ ‎，‎ ‎，，所以当时，的最大值是.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎18.数列的前项和为，且满足，‎ ‎（1）设，求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）整理化简得到，，化简得到，得到证明.‎ ‎（2）计算，，根据题意，解得答案.‎ ‎【详解】（1），，‎ 当时，易知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，则，上式可化为 是以为首项，公比为的等比数列，‎ ‎（2），设第项最小，‎ ‎，.‎ 所以当或时，最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的证明，数列的最值，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎19.在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并给出证明，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若，求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为上靠近的四等分点即 （3）120°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明，得到平面，得到答案.‎ ‎（2）取的中点，连接，证明得到答案.‎ ‎（3）如图所示建立空间直角坐标系，计算面的一个法向量为，面的一个法向量为，计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】（1）平面，面，，‎ 又因为，，面，平面，‎ 而平面，平面平面 ‎（2）存在点为上靠近的四等分点即时，平面.‎ 取的中点，连接，是的中点，为的中点，.‎ 面，面，平面.‎ 为的中点，，，‎ 面，面，平面.‎ ‎，面，面平面.‎ 面，平面.‎ ‎（3）过作于，则平面，过作的平行线交于，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，面的一个法向量为 若，，，，，，‎ ‎，从而，，，，‎ 面的一个法向量为，，，‎ 则，即，即 取，则 从而，‎ 因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小是120°.‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直，线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.“未来肯定是非接触的，无感支付的方式将成为主流，这有助于降低交互门槛”.云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取50名顾客进行了调查，得到了如下列联表：‎ 男性 女性 总计 刷脸支付 ‎18‎ ‎25‎ 非刷脸支付 ‎13‎ 总计 ‎50‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？‎ ‎（2）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取2人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：‎ ‎“一等奖”中奖概率为0.25，奖品为10元购物券张（，且），“二等奖”中奖概率0.25，奖品为10元购物券两张，“三等奖”中奖概率0.5，奖品为10元购物券一张，每位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为元，若要使的均值不低于50元，求的最小值.‎ 附：，其中.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.869‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为使用刷脸支付与性别是否有关（2）6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）完善列联表，计算，得到答案.‎ ‎（2）的可能取值为，，，40，30，20，计算概率得到分布列，，得到答案.‎ ‎【详解】（1）列联表补充如下：‎ 男性 女性 总计 刷脸支付 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 非刷脸支付 ‎12‎ ‎13‎ ‎25‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎，‎ 所以没有95%的把握认为使用刷脸支付与性别是否有关.‎ ‎（2）由题意可知，的可能取值为，，，40，30，20‎ ‎；；‎ ‎；；‎ ‎；‎ 所以的分布列为 ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ 所以.‎ 由解得，的最小值为6.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎21.已知动圆与轴相切于点，过点，分别作动圆异于轴的两切线，设两切线相交于，点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）过的直线与曲线相交于不同两点，若曲线上存在点，使得成立，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设过点、与动圆相切的切点分别为，计算得到，得到答案.‎ ‎（2）设直线的方程为，联立方程得到，，计算，，代入椭圆方程计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）设过点、与动圆相切的切点分别为，‎ 则，，，‎ 故，‎ 由、、的坐标可知，，，‎ 由椭圆的定义可知，点是以、为焦点，长轴长为4的椭圆（不包括长轴端点）.‎ 设曲线的方程为：，即，，，‎ 故曲线的轨迹方程为 ‎（2）由题可知直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 由消得，‎ ‎，且，‎ 设，，，则，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 当时，，直线为轴，满足.‎ 当，时，，，‎ 代入椭圆方程得，化简得，‎ ‎，且，，且，‎ 综上可得的取值范围为：.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，根据直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎22.函数，‎ ‎（1）判断时，的零点个数，并加以说明；‎ ‎（2）正项数列满足，，‎ ‎①判断数列的单调性并加以证明.‎ ‎②证明：‎ ‎【答案】（1）0个，说明见解析（2）①数列为减数列，证明见解析 ②证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，设 ‎，确定函数单调递增，得到零点个数.‎ ‎（2）化简得到，则只需证，根据（1）知成立；只要证，即证即，设，求导得到单调性得到证明.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ ‎，，在是增函数.‎ ‎，，零点个数为0个 ‎（2）①数列为减数列，‎ 证明如下：，，，‎ 要证减数列，只需证，，‎ 只需证，，，‎ 由，‎ 即，由（1）可知成立，‎ ‎②要证明：，由，只需证，只要证，‎ 由于，此时成立.‎ 所以即证，即，即，，‎ 令，，故在递增，‎ ‎，于是成立，所以原不等式成立.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点问题，数列的单调性，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎