2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第六章　第3讲　等比数列及其前n项和

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第六章　第3讲　等比数列及其前n项和

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·江西宜春一模)在等比数列{an}中，a1a3＝a4＝4，则a6的所有可能值构成的集合是(　　)‎ A．{6}　　 B．{－8，8}　　　‎ C．{－8}　　 D．{8}‎ 解析：选D.因为a1a3＝a＝4，a4＝4，所以a2＝2，所以q2＝＝2，所以a6＝a2q4＝2×4＝8，故a6的所有可能值构成的集合是{8}，故选D.‎ ‎2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)‎ A．135 B．100 ‎ C．95 D．80‎ 解析：选A.由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝，所以a7＋a8＝40×＝135.‎ ‎3．(2020·山西3月高考考前适应性测试)正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5与a9的等差中项为4，则{an}的公比是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C. D． 解析：选D.设公比为q，由正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，可得a＋2a3a7＋a＝(a3＋a7)2＝16，即a3＋a7＝4，由a5与a9的等差中项为4，得a5＋a9＝8，则q2(a3＋a7)＝4q2＝8，则q＝(舍负)，故选D.‎ ‎4．(2020·湘赣十四校第二次联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了(　　)‎ A．6里 B．12里 ‎ C．24里 D．96里 解析：选A.由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{an}，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a6＝192×()5＝6，最后一天走了6里，故选A.‎ ‎5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，‎ 高考资源网版权所有，侵权必究！‎ 则该数列的项数是(　　)‎ A．13 B．12 C．11 D．10‎ 解析：选B.设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9，(a1·an)3＝3×9＝33，所以a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an＝an·an－1·…·a2·a1，所以T＝(a1·an)n，即7292＝3n，所以n＝12.‎ ‎6．(2020·黄冈模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为，则S5＝________．‎ 解析：设{an}的公比为q(q>0)，因为a1a6＝2a3，而a1a6＝a3a4，所以a3a4＝2a3，所以a4＝2.‎ 又a4＋2a6＝3，所以a6＝，所以q＝，a1＝16，所以S5＝＝31.‎ 答案：31‎ ‎7．(一题多解)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________．‎ 解析：法一：设数列{an}的公比为q，则由题意得所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.‎ 法二：由 解得或 所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.‎ 答案：－7‎ ‎8．(2020·安徽安庆模拟)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N+，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________．‎ 解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ 高考资源网版权所有，侵权必究！‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ 解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.解得λ＝－1.‎ ‎10．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.‎ ‎(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；‎ ‎(2)求{an}和{bn}的通项公式．‎ 解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．‎ 又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．‎ 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.‎ 又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.‎ 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，‎ bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1]‎ B．(－∞，0)∪[1，＋∞)‎ C．[3，＋∞)‎ D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)‎ 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q，‎ 高考资源网版权所有，侵权必究！‎ 则S3＝a1＋a2＋a3＝a2(＋1＋q)＝1＋q＋.‎ 当公比q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，当且仅当q＝1时，等号成立；‎ 当公比q<0时，S3＝1－(－q－)≤1－2＝－1，当且仅当q＝－1时，等号成立．‎ 所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．‎ ‎2．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q等于(　　)‎ A．－ B． ‎ C．－ D． 解析：选C.{bn}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且bn＝an＋1.an＝bn－1，则{an}有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．‎ 因为{an}是等比数列，等比数列中有负数项，则q<0，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值递增或递减．‎ 按绝对值的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81，‎ 相邻两项相除＝－，＝－，－＝－，＝－，则可得－24，36，－54，81是{an}中连续的四项．‎ q＝－或q＝－(因为|q|>1，所以此种情况应舍)，‎ 所以q＝－.故选C.‎ ‎3．在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和Sn＝42，则n＝________．‎ 解析：因为{an}为等比数列，‎ 所以a3·an－2＝a1·an＝64.‎ 又a1＋an＝34，‎ 所以a1，an是方程x2－34x＋64＝0的两根，‎ 解得或 又因为{an}是递增数列，‎ 所以 高考资源网版权所有，侵权必究！‎ 由Sn＝＝＝42，解得q＝4.‎ 由an＝a1qn－1＝2×4n－1＝32，‎ 解得n＝3.‎ 答案：3‎ ‎4．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N+，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．‎ 解析：因为＝an，‎ 令m＝1，则＝an，即＝a1＝2，‎ 所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，‎ Sn＝＝2n＋1－2.‎ 答案：2n＋1－2‎ ‎5．(2020·湖北武汉4月毕业班调研)已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.‎ ‎(1)求数列{an}的公比q；‎ ‎(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．‎ 解：(1)由题意可得q≠1，‎ 由S2＋4S4＝S6，‎ 可知＋4·＝，‎ 所以(1－q2)＋4(1－q4)＝1－q6，而q≠1，q>0，‎ 所以1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，‎ 所以(q2－4)(q2＋1)＝0，所以q＝2.‎ ‎(2)由(1)知an＝2n－1，则{an}的前n项和Sn＝＝2n－1，当n≥5时，bn＝2n－1－15>0，n≤4时，bn＝2n－1－15<0，‎ 所以T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)‎ ‎＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6)‎ ‎＝－S4＋S10－S4＋60－90‎ ‎＝S10－2S4－30＝(210－1)－2(24－1)－30‎ ‎＝210－25－29＝1 024－32－29＝963.‎ ‎6．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a 高考资源网版权所有，侵权必究！‎ ‎2n－1，n∈N+.‎ ‎(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；‎ ‎(2)求T2n.‎ 解：(1)因为an·an＋1＝，‎ 所以an＋1·an＋2＝，‎ 所以＝，‎ 即an＋2＝an.‎ 因为bn＝a2n＋a2n－1，‎ 所以＝＝＝，‎ 因为a1＝1，a1·a2＝，‎ 所以a2＝，所以b1＝a1＋a2＝.‎ 所以{bn}是首项为，公比为的等比数列．‎ 所以bn＝×＝.‎ ‎(2)由(1)可知，an＋2＝an，‎ 所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，‎ 所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)‎ ‎＝＋＝3－.‎ 高考资源网版权所有，侵权必究！‎