【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第七章阅读与欣赏(六) 应用基本不等式的八种变形技巧学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第七章阅读与欣赏(六) 应用基本不等式的八种变形技巧学案

‎           应用基本不等式的八种变形技巧[学生用书P117]‎ 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值,即所谓“和定积最大,积定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值,有的需要对待求式作适当变形后才可求最值.常见的变形技巧有以下几种:‎ ‎ 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 ‎ 函数f(x)=+x(x<3)的最大值是(  )‎ A.-4           B.1‎ C.5 D.-1‎ ‎【解析】 因为x<3,所以3-x>0,所以f(x)=-+3≤-2+3=-1.当且仅当=3-x,即x=1时等号成立,所以f(x)的最大值是-1.‎ ‎【答案】 D ‎ 平方后再使用基本不等式 一般地,含有根式的最值问题,首先考虑平方后求最值.‎ ‎ 若x>0,y>0,且2x2+=8,求x的最大值.‎ ‎[点拨] 由于已知条件式中有关x,y的式子均为平方式,而所求式中x是一次的,且根号下y是二次的,因此考虑平方后求其最值.‎ ‎【解】 (x)2=x2(6+2y2)=3·2x2≤3·=3×.当且仅当2x2=1+,即x=,y=时,等号成立.故x的最大值为.‎ ‎ 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值,可以考虑展开后求其最值.‎ ‎ 已知a>0,b>0且a+b=2,求的最小值.‎ ‎[点拨] 由于待求式是一个积的形式,因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值.‎ ‎【解】 由题得=+++1=++1=+1,‎ 因为a>0,b>0,a+b=2,所以2≥2,所以ab≤1,所以≥1.所以≥‎ ‎4(当且仅当a=b=1时取等号),所以的最小值是4.‎ ‎ 变形后使用基本不等式 ‎ 设a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么(  )‎ A.a+b有最小值2(+1) ‎ B.a+b有最大值(+1)2‎ C.ab有最大值+1 ‎ D.ab有最小值2(+1)‎ ‎【解析】 因为ab-(a+b)=1,ab≤()2,‎ 所以-(a+b)≥1,它是关于a+b的一元二次不等式,‎ 解得a+b≥2(+1)或a+b≤2(1-)(舍去),‎ 所以a+b有最小值2(+1).‎ 又因为ab-(a+b)=1,a+b≥2,‎ 所以ab-2≥1,它是关于的一元二次不等式,‎ 解得≥+1或≤1-(舍去),‎ 所以ab≥3+2,即ab有最小值3+2.‎ ‎【答案】 A ‎ 形如型函数变形后使用基本不等式 若y=中f(x)的次数小于g(x)的次数,可取倒数后求其最值.‎ ‎ 求函数y=(x≠-1)的值域.‎ ‎[点拨] 将(x+5)(x+2)用(x+1)来表示再变形为f(x)=Ax++C的形式,然后运用基本不等式求解.‎ ‎【解】 因为y== ‎==x+1++5,‎ 当x+1>0时,即x>-1时,y≥2+5=9(当且仅当x=1时取等号);‎ 当x+1<0,即x<-1时,y≤5-2=1(当且仅当x=-3时取等号).‎ 所以函数的值域为(-∞,1]∪[9,+∞).‎ ‎ 用“1”的代换法求最值 ‎ 已知+=1,且x>0,y>0,求x+y的最小值.‎ ‎【解】 法一:因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)·1=(x+y)·=3++≥3+2=3+2.‎ 当且仅当=,且+=1,即x=+1,y=2+时,上式等号成立.故x+y的最小值是3+2.‎ 法二:因为+=1,所以x=.‎ 因为x>0,y>0,所以y-2>0.‎ 所以x+y=+y===‎ y-2++3≥3+2 .‎ 求以形如或可化为+=1型为条件的cx+dy(a,b,c,d都不为0)的最值可利用“1”的代换求乘法.本题中的条件+=1也可化为2x+y-xy=0.  ‎ ‎ 若a,b为常数,且00,1-x>0.又1=x+(1-x),因此可考虑利用“1”的代换法.‎ ‎【解】 因为00.‎ 所以+=·1+·1=·[x+(1-x)]+·[x+(1-x)]‎ ‎=a2+++b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2.‎ 上式当且仅当=时,等号成立.‎ 所以+≥(a+b)2.‎ 故函数f(x)的最小值为(a+b)2.‎ ‎ 若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)·(b+2)的最小值是__________.‎ ‎[点拨] 由于所给条件式中含两个变量a,b,因此可以用一个变量表示另一个变量,‎ 将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值.‎ ‎【解析】 因为ab-4a-b+1=0,所以b==4+.‎ 又因为a>1,所以b>0.所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a++9=6(a-1)++15.‎ 因为a-1>0,‎ 所以6(a-1)++15≥2+15=27.‎ 当且仅当6(a-1)=(a>1),‎ 即a=2时取等号.‎ ‎【答案】 27‎ 已知条件含形如ax+bxy+cy+d=0(abc≠0)型的关系式,求关于x、y一次式的和或积的最值问题.常将关系式中ax+bxy+cy+d=0变形,用一个变量x(或y)表示另一个变量y(或x)后求解.  ‎ ‎ 代换减元求最值 ‎ 设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为__________.‎ ‎【解析】 x2-3xy+4y2-z=0⇒z=x2-3xy+4y2,①‎ 所以==+-3≥2-3=1.‎ 等号成立条件为x=2y,‎ 代入到①可得z=(2y)2-3·2y·y+4y2=2y2,‎ 所以x=2y,z=2y2,‎ 所以x+2y-z=2y+2y-2y2‎ ‎=-2(y2-2y)=-2(y-1)2+2≤2.‎ ‎【答案】 2‎ 在含有两个以上变元的最值问题中,通过代换的方法减少变元,把问题化为两个变元的问题使用基本不等式,或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解.  ‎ ‎ 建立求解目标不等式求最值 ‎ 已知x,y均为正实数,且xy=x+y+3,则xy的最小值为__________.‎ ‎【解析】 因为x,y均为正实数,‎ 所以x+y≥2,xy=x+y+3可化为xy≥2+3,‎ 即(-3)(+1)≥0,‎ 所以≥3,xy≥9,‎ 当且仅当x=y时,xy取得最小值9.‎ ‎【答案】 9‎ 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式,求出不等式的解集即得求解目标的最值.‎
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