高中数学选修2-2课时练习第二章 3

高中数学选修2-2课时练习第二章 3

‎§3　计算导数 ‎[学习目标]‎ ‎1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．‎ ‎2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．‎ ‎[知识链接]‎ 如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？‎ 答　导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法．导数公式是用定义求出导数的直接结果，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．导函数的概念：‎ 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：‎ f′(x)＝ ，f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．‎ ‎2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0‎ f(x)＝xα(α为实数)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝ax(a＞0，a≠1)‎ f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝loga x(a＞0，a≠1)‎ f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝tan x f′(x)＝ f(x)＝cot x f′(x)＝－ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　利用导数定义求函数导数 例1　用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．‎ 解　f′(x)＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ (4 026x＋2 013Δx)‎ ‎＝4 026x.‎ 规律方法　解答此类问题，应注意以下几条：‎ ‎(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．‎ ‎(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0.‎ ‎(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．‎ 跟踪演练1　求f(x)＝＋x的导函数f′(x)．‎ 解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)‎ ‎＝＋(x＋Δx)－ ‎＝－＋Δx＝＋Δx ‎＝＋Δx，‎ ‎∴＝－＋1，∴当Δx→0时，→－＋1，‎ 即f′(x)＝ ＝ ＝－＋1.‎ 要点二　用导数公式求导数 例2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；‎ ‎(5)y＝log3x.‎ 解　(1)y′＝0；‎ ‎(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；‎ ‎(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；‎ ‎(4)y′＝′＝＝＝；‎ ‎(5)y′＝(log3x)′＝.‎ 规律方法　对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin ＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos 这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导．‎ 跟踪演练2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x8；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝‎ 解　(1)y′＝8x7；‎ ‎(2)y′＝xln ＝－xln 2；‎ ‎(3)∵y＝x＝，∴y′＝；‎ ‎(4) y′＝＝－.‎ 要点三　导数几何意义的应用 例3　已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．‎ 解　设P(x0，y0)为切点，则切线斜率k＝f′(x0)＝2x0，‎ 故切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，‎ ‎∵P(x0，y0)在曲线上，‎ ‎∴y0＝x，‎ ‎∴切线方程为：‎ y－x＝2x0(x－x0)，‎ 又(3,5)在切线上，将(3,5)代入上式得：‎ ‎5－x＝2x0(3－x0)，‎ 解得：x0＝1或x0＝5，‎ ‎∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，‎ 故所求切线方程为 y－1＝2×1×(x－1)或y－25＝2×5×(x－5)，‎ 即：2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.‎ 规律方法　(1)在解答本题过程中易出现将(3,5)点作为切点而考虑不全面的错误，出现这种错误的原因是对曲线的切线理解不透彻．‎ ‎(2)求曲线切线方程的一般步骤：‎ 跟踪演练3　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．‎ 解　∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，‎ 又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，‎ ‎∴k＝2x0＝1，即x0＝，‎ 所以切点为M.‎ ‎∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.‎ ‎1．给出下列结论中正确的个数为(　　)‎ ‎①若y＝，则y′＝－；‎ ‎②若y＝，则y′＝；‎ ‎③若y＝，则y′＝－2x－3；‎ ‎④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　①y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－；‎ ‎②y＝＝，则y′＝·≠；‎ ‎③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；‎ ‎④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，‎ ‎∴f′(1)＝3.∴①③④正确．‎ ‎2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)‎ A. B．‎0 C. D. 答案　A 解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.‎ ‎3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)‎ A.∪ B．[0，π)‎ C. D.∪ 答案　A 解析　∵(sin x)′＝cos x，‎ ‎∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1，‎ ‎∴αl∈∪.‎ ‎4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．‎ 答案　e2‎ 解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，‎ ‎∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，‎ 即y＝e2x－e2.‎ 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.‎ ‎∴S△＝×1×＝e2.‎ ‎1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．‎ ‎2．有些函数可先化简再应用公式求导．‎ 如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，‎ 所以y′＝(cos x)′＝－sin x.‎ ‎3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．下列结论中正确的个数为(　　)‎ ‎①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；‎ ‎③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 答案　D 解析　①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确．‎ ‎2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　)‎ A. B.或 C. D. 答案　B 解析　y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.‎ ‎3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)‎ A．4 B．－‎4 C．5 D．－5‎ 答案　A 解析　f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.‎ ‎4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，‎ 得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．‎ ‎5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．‎ 答案　x＋y－6＝0‎ 解析　∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，‎ ‎∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：‎ y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.‎ ‎6．若曲线y＝在点 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.‎ 答案　64‎ 解析　∵y＝，∴y′＝－，‎ ‎∴曲线在点处的切线斜率k＝－，‎ ‎∴切线方程为y－＝－ (x－a)．‎ 令x＝0得y＝；令y＝0得x＝‎3a.‎ ‎∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝·‎3a· ＝18，∴a＝64.‎ ‎7．求下列函数的导数：‎ ‎(1) y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin ；‎ ‎(4)y＝log2x2－log2x.‎ 解　(1)y′＝′＝′＝＝＝.‎ ‎(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.‎ ‎(3)∵y＝－2sin ‎＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，‎ ‎∴y′＝(sin x)′＝cos x.‎ ‎(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，‎ ‎∴y′＝(log2x)′＝.‎ 二、能力提升 ‎8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)‎ A. B．－ C．－e D．e 答案　D 解析　y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 ‎∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.‎ ‎9．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1.‎ ‎10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．‎ 答案　 解析　‎ 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.‎ ‎∵y′＝(ex)′＝ex，‎ ‎∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.‎ ‎11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．‎ 解　∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，‎ ‎∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，‎ 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，‎ 即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，‎ ‎∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.‎ ‎12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．‎ 解　根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，‎ 所以x0＝，所以切点坐标为，‎ 切点到直线x－y－2＝0的距离 d＝＝，‎ 所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.‎ 三、探究与创新 ‎13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．‎ 解　f1(x)＝(sin x)′＝cos x，‎ f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，‎ f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，‎ f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，‎ f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，‎ f6(x)＝f2(x)，…，‎ fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，‎ ‎∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.‎