2020-2021学年高二数学上册同步练习：空间向量及其加减运算

2020-2021学年高二数学上册同步练习：空间向量及其加减运算

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：空间向量及其加减运算 一、单选题 1．空间四边形 OABC 中，OA AB CB=（ ） A． OC B． OA C． AB D． AC 【答案】A 【解析】根据向量的加法、减法法则，得 O A A B C B O B C B O B B C OC ． 故选 A. 2．已知 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则（ ） A． 0AD BE CF   B． 0BDCFDF C． 0AD CE CF   D． 0BDBEFC 【答案】A 【解析】 ,,AD DB AD BE DB BE DE FC       得 ， 或 0AD BE CF AD DF CF AF CF        ． 故选 A． 3．空间四边形 ABCD 中，若 E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 边上的中点，则下列各式中成立的 是（ ） A． 0EBBFEHGH B． 0EBFCEHGE C． 0EF FG EH GH    D． 0EF FB CG GH    【答案】B 【解析】如图 由题意得 ,EBFCEBBFEF EHGEGH ,易证四边形 EFGH 为平行四边形,故 0EFGH, 故选 B. 4．在直三棱柱 中，若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 111 111 11 11A BA A A BCCC BC ACCCB CAc b a      ， 故选 D. 5．下列命题中是真命题的是（ ） A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若 ab ，则 ,ab的长度相等而方向相同或相反 C．若向量 ,ABCD ，满足 AB CD ，且 AB 与CD 同向，则 ABCD D．若两个非零向量 与 满足 0ABCD，则 //AB CD 【答案】D 【解析】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项 A 错误； 因为 ab 仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无关，选项 B 错误； 因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 A B C D 这种写法，选 项 C 错误； ∵ 0A B C D，∴ A B C D ，∴ AB 与 CD 共线，故 //CD ，选项 D 正确. 故选 D. 6．在平行六面体 ABCD- A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量 AB的模相等的向量有（ ） A．7 个 B．3 个 C．5 个 D．6 个 【答案】A 【解析】画出平行六面体结构如下图所示 所以与 AB的模相等的向量有 'BA， ,A B B A ， ,C D D C ， ','CDDC 共 7 个 故选 A 7．空间任意四个点 A、B、C、D，则 BACBCD 等于（ ） A． DB B． AD uuuv C． DA D． AC 【答案】C 【解析】如图 BA CB CD CA DC DA     ． 故选 C. 8．在三棱柱 111A B C A BC 中，若 1,,ABaACbAAc ，则 1CB （ ） A． a b c B． a b c   C． a b c   D． abc 【答案】D 【解析】如图所示：根据向量线性运算的加法法则有 11 11CAAC AABbcaB   ， 整理顺序得： 1 aCB bc 故选 D 9．已知 P 是正六边形 ABCDEF 外一点，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则 PAPBPCPDPEPF 等于（ ） A． PO B． 3 PO C． 6 PO D． 0 【答案】C 【解析】 6 ( ) 6PA PB PC PD PE PF PO OA OB OC OD OE OF PO             . 故选 C 10．如图，直三棱柱 中，若CAa ，CBb ， 1CC c ，则 1AB uuur 等于（ ） A． a b c B． a b c C．bac D．b a c 【答案】C 【解析】  111A BABAACBCAAA ， 11AA CC c， 1A B b a c   . 故选 C. 11．如图所示，在正方体 1111A B C D A BC D 中，下列各式中运算结果为向量 1AC 的是（ ） ① 1()ABBCCC；② 11111()AAA DD C；③ 111()ABBBB C；④ 11111()AAA BB C． A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】对于①，原式 11ACCCAC ，符合题意.对于②，原式 1111ADD CAC ，符合题意 对于③，原式 1 1 1 1AB B C AC   ，符合题意.对于④，原式 ，符合题意.综上所 述. 故选 D. 12．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的 图形是（ ） A．一个球 B．一个圆 C．半圆 D．一个点 【答案】B 【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面 内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值． 故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的 图形是一个圆． 故选 B ． 二、填空题 13．直三棱柱 111A B C A BC 中，若 1,,CAaCBbCCc ，则 1BA  __________． 【答案】 a b c 【解析】直三棱柱 中，若 1,,CAaCBbCCc 111BABAAACACBCC abc  故填 a b c 14．在正方体 1111ABCDA BC D 中，点 M 是 1AA 的中点，已知 A B a ， AD b ， 1AA c  ，用 a ， b ， c 表示 CM ，则 CM  ______. 【答案】 1 2CMabc  【解析】 CMCBBAAMBCABAM  又 M 是 的中点 1 1 2AMAA 1 1 2CMBCABAA  ABa ， A D b ， 1A A c 1 2CM a b c     故填 1 2CMabc  15．在正方体 中，给出以下向量表达式： ① 1 1 1()A D A A AB；② 1 1 1()BC BB D C； ③ 1()AD AB DD；④ 1 1 1 1()B D A A DD. 其中能够化简为向量 1BD 的是________． 【答案】①② 【解析】①中， 11111()A DA AABADABBD ； ②中， 1111111()BCBBD CBCD CBD ； ③中， 1 1 1()AD AB DD BD DD BD     ； ④中， 111111111()B DA ADDB DDDB DBD ． 故填①② 16．给出以下结论： ①空间任意两个共起点的向量是共面的； ②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：    abcabc ； ④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④ 【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有 3 个点，则 点共面，可知两向量共面，①正 确； ②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故填①③④ 17．如图，在长方体 1111ABCDA BC D 中，长、宽、高分别为 3AB  ， 2AD  ， 1 1AA  ，以该长方体 的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中： （1）单位向量共有______________个； （2）模为 5 的向量共有______________个； （3）与 11AB 相等的向量共有______________个； （4） 1CC 的相反向量共有______________个． 【答案】（1）8；（2）8；（3）3；（4）4． 【解析】（1）由于长方体的高为 1，所以长方体的 4 条高所对应的向量分别为 1AA ， 1AA， 1BB ， 1BB， 1CC ， 1CC ， 1DD ， 1DD，共 8 个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位 向量共有 8 个． （2）由于长方体的左、右两侧的对角线长均为 5 ， 故模为 的向量有 11111111,,,,,,,,ADD AA DDABCC BB CCB 共 8 个． （3）与向量 11AB 相等的所有向量（除它自身）有 11,,AB DC D C ，共 3 个． （4）向量 的相反向量为 1 1 1 1, , ,A A B B C C D D ，共 4 个． 故填（1）8；（2）8；（3）3；（4）4． 18．对于空间中的非零向量 AB ， BC ， AC ，有下列各式： ① ABBCAC； ② ABACBC； ③ AB BC AC； ④ ABACBC. 其中一定不成立的是________（填序号）． 【答案】② 【解析】根据空间向量的加减法运算，对于① ABBCAC+=恒成立； 对于③当 AB ， BC 方向相同时，有 AB BC AC； 对于④当 ， AC 方向相同且 ABAC 时，有| ABACBC. 对于②由向量减法可知 AB AC CB，所以②一定不成立． 故填 ② 三、解答题 19．如图，已知一点 O 到平行四边形 A B C D 的三个顶点 A，B，C 的向量分别为 1 2 3,,r r r ，求 OD ． 【解析】因为 O D O C C D，CDBAOAOB ， 所以 132ODOCOAOBrrr  ． 20．如图所示，棱长为 1 的正三棱柱 ABC-A1B1C1. （1）在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，列举出与向量 AB 相等的向量； （2）在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，列举出向量 AC 的相反向量； （3）若 E 是 BB1 的中点，列举出与向量 AE 平行的向量. 【解析】（1）由正三棱柱的结构特征知，与向量 AB 相等的向量只有 11AB ； （2）向量 AC 的相反向量为 11,CACA . （3） EA 是与 AE 平行的向量. 21．如图所示，在三棱柱 111ABCA BC 中， M 是 1BB 的中点，化简下列各式： （1） 1AB BA ； （2） 1 1 1AB B C C C； （3） A M B M C B； （4） 1 1 2 AAABAM ． 【解析】（1） 11AB BA AA ． （2） 111111111ABB CC CA BB CC CAC ． （3） AMBMCBAMMBBCAC ． （4） 1 1 2 AAABAMBMABMAABBMMA 0 ． 22．如图，在空间四边形 SABC 中， ,A C B S 为其对角线， O 为 ABC 的重心． （1）证明： 0OAOBOC ； （2）证明： 1 ()3SO SA SB SC   ． 【解析】（1）因为 为 ABC 的重心， 所以  1= 3OAABAC ①，  1= 3OBBABC ②，  1= 3OCCACB ③．①+②+③可得      1 1 1 03 3 3OA OB OC AB AC BA BC CA CB          ，即 0OA OB OC   ． （2）因为 SOSAAO ④， SOSBBO ⑤， SO SC CO ⑥，由（1）知 ， 所以④+⑤+⑥可得      3SOSAAOSBBOSCCOSASBSC ，即  1 3SOSASBSC ．