【数学】2019届一轮复习北师大版命题及其关系学案
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2017·天津卷，2
2017·浙江卷，6
2017·北京卷，7
2016·四川卷，2
2016·山东卷，5
1.判断命题的真假．
2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．
3．常以函数、不等式等知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．
4．求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等.
分值：5分
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
若原命题为：若p，则q，则逆命题为__若q，则p__，否命题为__若¬p，则¬q__，逆否命题为__若¬q，则¬p__.
(2)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有__相同__的真假性；
两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__没有关系__.
3．充分条件与必要条件
(1)若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件．
(2)若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的__充分不必要__条件．
(3)若p⇒/ q，且q⇒p，则p是q的__必要不充分__条件．
(4)若p⇔q，则p是q的__充要__条件．
(5)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的__既不充分也不必要__条件．
(6)若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的__充分不必要__条件．
4．用集合关系判断充分条件、必要条件
以p：x∈A，q：x∈B的形式出现．
(1)若p是q的充分条件，则A__⊆__B．
(2)若p是q的必要条件，则B__⊆__A．
(3)若p是q的充分不必要条件，则A____B．
(4)若p是q的必要不充分条件，则B____A．
(5)若p是q的充要条件，则A__＝__B．
(6)若p是q的既不充分也不必要条件，则A____B且B____A．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)语句x2－3x＋2＝0是命题．( × )
(2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假性没有关系．( × )
(3)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”．( √ )
(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同．( × )
解析 (1)错误．无法判断真假，故不是命题．
(2)错误．一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同．
(3)正确．一个命题与其逆否命题等价．
(4)错误．“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且q⇒/ p”，“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且p⇒/ q ”.
2．下列命题为真命题的是( A )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x
1，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
(4)已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( D )
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
解析 (1)命题p：若x<－3，则x2－2x－8>0的逆命题为：若x2－2x－8>0，则x<－3，A项错误；命题p：若x<－3，则x2－2x－8>0的否命题为：若x≥－3，则x2－2x－8≤0，B，C项错误；命题p：若x<－3，则x2－2x－8>0是真命题，则命题p的逆否命题是真命题．故选D．
(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
(3)对于A项，否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故A项为假命题；对于B项，逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知B项为真命题；对于C项，否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故C项为假命题；对于D项，逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故D项为假命题．
(4)因为f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，所以m≤1，所以命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题是真命题．
二 充分、必要条件的判断
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．
①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件．
【例2】 (1)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( A )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 (1)因为{an}为等差数列，S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.故选C．
(2)对于非零向量m，n，若存在负数λ，使得m＝λn，则m，n互为相反向量，则m·n<0，满足充分性；而m·n<0包含向量m，n互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况，故由m·n<0推不出m，n互为相反向量，所以不满足必要性．所以“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A．
三 充分条件、必要条件的应用
充分条件、必要条件的应用的注意点
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)区间端点值的检验．
【例3】 (1)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( B )
A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)
C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为__[0,3]__.
解析 (1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又p是q的充分不必要条件，
故有解得m≥9.
(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P，又集合S非空，
则所以0≤m≤3，所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
1．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“03(t－1)”是“x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数t的取值范围为__(－∞，－7]∪[1，＋∞)__.
解析 设P＝{x|(x－t)2>3(x－t)}＝{x|(x－t)(x－t－3)>0}＝{x|xt＋3}，Q＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|(x＋4)(x－1)<0}＝{x|－41”是“a2>1”的( A )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
解析 当a>1时，a2>1；当a2>1时，a>1或a<－1.故选A．
2．原命题为“△ABC中，若cos A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( B )
A．真、真、真 B．假、假、真
C．真、真、假 D．真、假、假
解析 因为cos A<0,00，所以逆命题为假，从而否命题也为假．故选B．
3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( A )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析 两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件．故选A．
4．(2018·河北邯郸二中期中)已知命题p：(x－3)(x＋1)＞0，命题q：x2－2x＋1＞0，则命题p是命题q的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由p：(x－3)(x＋1)>0，得x<－1或x>3，由命题q：x2－2x＋1>0，解得x≠1，由于p⇒q成立，q⇒p不成立，即命题p是命题q的充分不必要条件．故选A．
5．A＝{x||x－1|≥1，x∈R}，B＝{x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由已知得A＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，B＝(2，＋∞)，若“x∈B”，则必有“x∈A”，反之不成立，即得“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选B．
6．下列四个选项中错误的是( B )
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”
B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
C．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，x＋x0＋1＝0
D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
解析 对于A项，显然是正确的；对于B项，根据复合命题的真值表知，有p真q假、p假q真、p真q真三种情况，故B项是错误的；对于C项，由全称命题的否定形式知C项是正确的；对于D项，x2－3x＋2>0的解是x>2或x<1，故D项是正确的．
二、填空题
7．已知命题p：若a>b>0，则logab>0，∴logab>0，
∵a＝2，b＝2时，loga0，得x>a，即B＝(a，＋∞)，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，则a≤－3.
9．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为__－1，－2，－3(答案不唯一)__.
解析 取a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但a＋b＝－3＝c，不满足a＋b>c，故“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为－1，－2，－3.
三、解答题
10．(2018·山东邹平月考)写出“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
解析 逆命题：若x2－5x＋6＝0，则x＝2，是假命题；否命题：若x≠2，则x2－5x＋6≠0，是假命题；逆否命题：若x2－5x＋6≠0，则x≠2，是真命题．
11．已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的定义域为集合A，函数g(x)＝2x－a(x≤2)的值域为集合B．
(1)求集合A，B；
(2)已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析 (1)A＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|(x－3)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{y|y＝2x－a，x≤2}＝{y|－a＜y≤4－a}．
(2)∵¬p是¬q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，∴BA，
∴4－a<－1或－a≥3，∴a≤－3或a>5，
即实数a的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．
12．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m4≤0.
(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；
(2)若¬p是¬q的必要不充分条件，求m的取值范围．
解析 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
即p：－2≤x≤10，q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，
则即即m2≤3，解得－≤m≤.
故m的取值范围是[－，]．
(2)∵¬p是¬q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
即即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
故m的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．
