【数学】2018届一轮复习北师大版第4讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
第4讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[学生用书P10]
1．简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．
(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
(2)全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
1．注意两类特殊命题的否定
(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．
2．含逻辑联结词命题真假的判断方法
(1)p∧q中一假即假．
(2)p∨q中一真必真．
(3)綈p真，p假；綈p 假，p真．
1．若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q同真同假
[答案] B
2．(2016·高考浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n
n
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
(2)已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，下列结论正确的是( )
A．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．∃b∈R，f(x)为奇函数
D．∃b∈R，f(x)为偶函数
【解析】 (1)全称命题的否定为特称命题，“且”的否定为“或”．
(2)注意到b＝0时，f(x)＝x2是偶函数．
【答案】 (1)D (2)D
(1)全、特称命题的真假判断方法
①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．
(2)全称命题与特称命题的否定
一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[题点通关]
角度一 判断全称命题、特称命题的真假性
1．(2017·河南三市第二次联考)若命题“∃x∈R，使得sin xcos x>m”是真命题，则m的值可以是( )
A．－ B．1
C. D．
A [解析] 因为sin xcos x＝sin 2x∈，
所以m<.故选A.
角度二 全称命题、特称命题的否定
2．(2017·陕西西安市第一次质量检测)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
B [解析] 因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.
故应选B．
含有逻辑联结词的命题的真假判断[学生用书P12]
[典例引领]
(2017·洛阳一模)已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(綈q)”是假命题；
③命题“(綈p)∨q”是真命题；
④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
其中正确的是( )
A．②③ B．②④
C．③④ D．①②③
【解析】 因为>1，所以命题p是假命题．又因为x2＋x＋1＝＋≥>0，所以命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确，故选A.
【答案】 A
若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下：
(1)判断复合命题的结构；
(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；
(3)依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，作出判断即可．
[通关练习]
1．(2017·南昌市第一次模拟测试)已知命题p：函数f(x)＝|cos x|的最小正周期为2π；命题q：函数y＝x3＋sin x的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
B [解析] 因为命题p为假，命题q为真，所以p∨q为真命题．
2．已知命题p：∀x∈R，2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(綈p)∧q为真命题，则x的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
D [解析] 因为綈p：∃x∈R，2x≥3x，要使(綈p)∧q为真，
所以綈p与q同时为真．由2x≥3x得≥1，
所以x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，
所以x＝1或x＝－2，又x≤0，
所以x＝－2.
由命题的真假确定参数的取值范围[学生用书P12]
[典例引领]
(2017·山西省名校联考)已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
【解析】 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；
当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.
因此由p，q均为假命题得
即m≥2.
【答案】 A
若本例中的条件“p∨q为假命题”变为“p∧(綈q)为真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解] 由p∧(綈q)为真命题，知p为真命题且q为假命题．
p为真命题，则m<0，q为假命题，所以Δ≥0，则m≥2或m≤－2.所以m≤－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．
由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；
由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，
知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
则实数a的取值范围为[e，4]．
[学生用书P13]
——分类讨论思想求解命题中的参数
已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
【解】 因为函数y＝cx在R上单调递减，
所以00且c≠1，所以綈p：c>1.
又因为f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，
所以c≤，即q：00且c≠1，所以綈q：c>且c≠1.
又因为“p或q”为真，“p且q”为假，
所以p真q假或p假q真．
①当p真，q假时，
{c|01}∩＝∅.
综上所述，实数c的取值范围是.
(1)解答本题时运用了分类讨论思想，由条件可知p、q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两类讨论．
(2)本题是因数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(2017·广州海珠区摸底考试)命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4]
B．[0，4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [解析] 因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题綈p：∃x0∈R，ax＋ax0＋1<0，则a<0或解得a<0或a>4.
[学生用书P325(独立成册)]
1．(2017·福建福州质检)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为( )
A．∃x∈R，ex－x－1≥0
B．∃x∈R，ex－x－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
C [解析] 根据特称命题的否定是全称命题，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
2．(2017·青岛模拟)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
B [解析] 根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
3．(2017·广东韶关调研)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；命题q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
D [解析] 命题p是真命题，命题q是假命题，所以p∧q是假命题，(綈p)∧(綈q)是假命题，(綈p)∧q是假命题，p∧(綈q)是真命题，故选 D．
4．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则00恒成立，则m＝0或则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.
5．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，则“c＜0”是“∃x0∈R，f(x0)＜0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [解析] 若c＜0，则Δ＝b2－4c＞0，
所以“∃x0∈R，f(x0)＜0”成立．若∃x0∈R，f(x0)＜0，则有Δ＝b2－4c＞0，当c＝1，b＝3时，满足Δ＝b2－4c＞0，所以“c＜0”是“∃x0∈R，f(x0)＜0”的充分不必要条件，故选A.
6．若命题“存在实数x0，使x＋ax0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－2] B．[－2，2]
C．(－2，2) D．[2，＋∞)
B [解析] 因为该命题的否定为：“∀x∈R，x2＋ax＋1≥0”是真命题，则Δ＝a2－4×1×1≤0，
解得－2≤a≤2.故实数a的取值范围是[－2，2]．
7．(2017·河北衡水四调)下列命题中正确的是( )
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a>0，b>0”是“＋≥2”的充分必要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”
D．命题p：∃x0∈R，使得x＋x0－1<0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0
D [解析] 若p∨q为真命题，则p，q中至少一个为真命题，所以p∧q
不一定为真命题；“a>0，b>0”时“＋≥2 ＝2”，充分性成立，而＋≥2⇒＋－2≥0⇒≥0⇒ab>0，即“a>0，b>0”不一定成立，即必要性不成立；命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”；命题“p：∃x0∈R，使得x＋x0－1<0”的否定綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0.故选 D．
8．(2017·山东省实验中学第一次诊断)下列有关命题的叙述错误的是( )
A．若綈p是q的充分条件，则p是綈q的必要条件
B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
C．命题“∀x∈R，x2－x>0”的否定是“∃x∈R，x2－x≤0”
D．“x>2”是“<”的充分不必要条件
B [解析] 易知，A正确；p且q为假，p，q至少有一个为假，B错误；“∀”的否定是“∃”，“>”的否定是“≤”，C正确；“x>2”一定能推出“<”，但当x＝－1时，满足<，但不满足x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，D正确．综上可知，选 B．
9．命题“∃x0∈R，sin x0＋cos x0－2≤0”的否定是________．
[解析] “存在”的否定是“任意”，特指的数“x0”对应改为“x”，“≤”的否定是“＞”．
[答案] ∀x∈R，sin x＋cos x－2＞0
10．(2015·高考山东卷)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
[解析] 由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
[答案] 1
11．(2017·济南模拟)已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，则x＝________．
[解析] 若p为真，则x≥－1或x≤－3.
因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p且q”为假，所以p为假，故－32x＋1；
③∃x0∈R，x2－x＝－1；
④∀x∈，tan x>sin x.
其中真命题为________．(填序号)
[解析] 对于①，当x＝时，sin x0＋cos x0＝，
所以此命题为真命题；
对于②，当x∈(3，＋∞)时，
x2－2x－1＝(x－1)2－2>0，所以此命题为真命题；
对于③，∀x∈R，x2－x＋1
＝＋>0，所以此命题为假命题；
对于④，当x∈时，tan x<00，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：函数y＝且y>1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
[解] 若p是真命题，则01恒成立，
即y的最小值大于1，
而y的最小值为2a，只需2a>1，
所以a>，
所以q为真命题时，a>.
又因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p与q一真一假，
若p真q假，
则0
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