黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

哈三中2019—2020学年度上学期 高二学年第二模块数学(文)考试试卷 考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；‎ ‎（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．‎ 第I卷 （选择题, 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知圆的方程为，则圆心坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化成标准式，即得圆心坐标.‎ ‎【详解】‎ 因此圆心坐标为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2.若，且为第四象限角，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵sina=,且a为第四象限角,‎ ‎∴，‎ 则，‎ 故选D.‎ ‎3.四张卡片上分别写有数字，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定从这四张卡片中随机抽取两张总事件数，再确定抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的事件数，最后根据古典概型概率公式求解.‎ ‎【详解】因为从这四张卡片中随机抽取两张共有6种基本事件，取的两张卡片上的数字之和为奇数有（1，2），（3，2），（5，2）三种基本事件，因此所求概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎4.已知椭圆E：与双曲线C：（，）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出椭圆焦点坐标，即为双曲线焦点坐标，再由双曲线中的关系求得后可得渐近线方程．‎ ‎【详解】椭圆E的焦点为．故．双曲线C的渐近线方程为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查其几何性质．属于基础题．‎ ‎5.在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.‎ ‎【详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以 ‎，解得 ‎ 所以相交的概率,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.‎ ‎6.已知均为锐角，，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和余弦公式求解.‎ ‎【详解】因为均为锐角，所以 因为，所以，‎ 因此 故选：A ‎【点睛】本题考查两角和余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7.中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”，如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求圆面积以及内接正六边形的面积，再根据几何概型概率公式求解.‎ ‎【详解】设圆半径为1，则圆面积以及内接正六边形的面积分别为，‎ 所以所求概率为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查几何概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8.已知角的终边上的一点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据诱导公式以及弦化切进行化简，再根据三角函数定义得值，最后代入求解.‎ ‎【详解】‎ 又因为角的终边上的一点，所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查诱导公式、三角函数定义以及弦化切，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎9. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).‎ A. 90 B. 75 C. 60 D. 45‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，‎ ‎∴样本总数为.‎ ‎∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，‎ ‎∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.‎ 考点：频率分布直方图.‎ ‎10.在满足不等式组的平面内随机取一点，设事件为“”，则事件发生的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先画可行域，再分别计算对应区域面积，最后根据几何概型概率公式求解.‎ ‎【详解】先作可行域，如图，则对应区域为三角形ABC，事件对应区域为三角形OAB，‎ 所以事件发生的概率是.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查可行域以及几何概型概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11.已知函数，满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，求出，得，由题意得出，再根据的图象关于直线对称，得到，进而可得出结果.‎ ‎【详解】∵，∴，‎ 又，∴，即，‎ 因为将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，‎ ‎∴，‎ ‎∵的图象关于直线对称，‎ ‎∴，，‎ 则，，令，得．‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查由平移后函数的对称性求参数，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知圆（圆心为点）与抛物线交于两点，若此抛物线的焦点为，且两点都在以为直径的圆上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件得,再与抛物线方程联立求坐标，最后解三角形得结果.‎ ‎【详解】因为两点都在以为直径的圆上，所以,‎ 设，则，，所以（舍负），‎ 因此 故选：C ‎【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．‎ ‎13.已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于__________．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形面积公式求解.‎ ‎【详解】扇形的面积为.‎ 故答案为：24‎ ‎【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线 的方程为，则曲线上的点到直线的距离的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.‎ ‎【详解】曲线上的点到直线的距离为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎15.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：‎ ‎7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 ‎ ‎0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281‎ 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.‎ ‎【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，‎ 所以射击4次至少击中3次的概率为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上的一点，射线平分交轴于点，过原点的直线平行于直线交于点，若，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在轴上取点，使得,过作直线平行于直线交于点，利用正弦定理证明,再根据双曲线定义解得,即得，代入条件解得离心率.‎ ‎【详解】在轴上取点，使得,过作直线平行于直线交于点，如图，‎ 因为为中点,所以,‎ 因为,‎ 所以，‎ 因此 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解能力，属较难题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线（为参数）与抛物线交于两点，设点.‎ ‎（1）求直线的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（2）求和.‎ ‎【答案】（1），； （2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据加减消元得直线普通方程，再根据得极坐标方程；‎ ‎（2）将直线参数方程代入抛物线方程，根据参数几何意义以及韦达定理求结果.‎ ‎【详解】（1）‎ 因此极坐标方程 ‎（2）代入得 所以，‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程以及直线参数方程应用，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎18.设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛.‎ ‎（1）求应从这三个协会中分别抽取运动员人数；‎ ‎（2）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. 设“编号为的两名运动员至少有一人被抽到” 为事件A，求事件A发生的概率.‎ ‎【答案】（1）2,1,2； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样方法确定抽取人数；‎ ‎（2）先确定从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛总事件数，再确定事件A所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.‎ ‎【详解】（1）从这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为即2,1,2；‎ ‎（2）从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛共有10种基本事件，其中编号为的两名运动员都不选的事件有3个，因此事件A所包含事件数为7，从而所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样方法以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎19.如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．‎ ‎（1）写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程；‎ ‎（2）求△OAB面积最大值．‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接由条件求出与的极坐标方程即可;‎ ‎(2)由(1)得,,,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB面积的最大值.‎ ‎【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆和圆的圆心分别为和,‎ 所以圆和圆的极坐标方程分别为和.‎ ‎(2)由(1)得,,,‎ 则 ‎.‎ 所以当时,面积最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.‎ ‎20.某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）试求出的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；‎ ‎（2）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的概率是多少？‎ ‎【答案】（1）a=0.014，众数95，中位数； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所有频率和为1求的值，根据组中值以及频率确定众数，根据频率为0.5求中位数；‎ ‎（2）先确定成绩在[120，150]的同学人数以及成绩在[130,140)中人数，再利用古典概型概率公式求解.‎ 详解】（1）‎ 由频率分布直方图得区间对应人数最多，所以众数为95，‎ 设中位数为，则 所以中位数为；‎ ‎（2）成绩在[120，150]的同学人数有，‎ 成绩在[130,140)中人数，‎ 从6人抽取2人共有15种方法，其中抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的抽法有种，因此所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期并用五点作图法画出函数在区间上的图象；‎ ‎（2）若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的解析式，并求当时，函数的最小值及此时的值.‎ ‎【答案】（1），图象见解析；（2），最小值，时取到.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期，最后根据五点作图法画出图象；‎ ‎（2）根据函数图象变换规律得，再根据正弦函数性质求最值.‎ ‎【详解】（1）‎ 所以周期为，‎ 列表如下：‎ 作图如下：‎ ‎（2）函数的图象向右平移个单位长度，得到,‎ 因此当时，取最小值为 ‎【点睛】本题考查五点作图法、正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎22.已知椭圆 的左、右焦点分别为，离心率为，过椭圆焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为4．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆左顶点A的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴交点为P，若点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据通径长以及离心率列方程组，求解得结果；‎ ‎（2）设直线的方程，与椭圆方程联立方程组解得M点坐标，与y轴联立解得P点坐标，再根据向量垂直坐标表示解得直线的斜率。即得结果 ‎【详解】（1）由题意得，所以 ‎（2）设直线的方程 令得，‎ 代入得 所以 因为，所以 因此，即 ‎【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎ ‎