【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

第八章　平面解析几何 ‎[深研高考·备考导航]‎ 为教师备课、授课提供丰富教学资源 ‎[五年考情]‎ 考点 ‎2016年 ‎2015年 ‎2014年 ‎2013年 ‎2012年 直线的倾斜角与斜率、直线的方程、距离 ‎17,4分(文)‎ ‎15,4分(理)‎ ‎3,5分(理) ‎ ‎4,5分(文)‎ 圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 ‎10,6分(文)‎ ‎14,4分(理) ‎ ‎14,4分(文)‎ ‎5,5分(文)‎ ‎21(1)，16分(理) ‎ ‎13,4分(文)‎ ‎16,4分(理)‎ ‎17,4分(文)‎ 椭圆的标准方程及其性质 ‎7,5分(理)‎ ‎19,5分(理) ‎ ‎7,5分(文)‎ ‎15,4分(文)‎ ‎21(1)，7分(理)‎ ‎9,5分(理) ‎ ‎21,15分(理)‎ ‎21(1)，7分(理)‎ ‎8,5分(文)‎ 双曲线的标准方程及其性质 ‎7,5分(理) ‎ ‎13,4分(文)‎ ‎9,6分(理)‎ ‎16,4分(理) ‎ ‎17,4分(文)‎ ‎9,5分(理)‎ ‎9,5分(文)‎ ‎8,5分(理)‎ 抛物线的标准方程及其性质 ‎9,4分(理)‎ ‎5,5分(理)‎ ‎15,4分(理)‎ ‎16,4分(理)‎ 直线与圆锥曲线的位置关系及圆锥曲线的综合应用 ‎19,15分(理) ‎ ‎19,15分(文)‎ ‎19,15分(理)‎ ‎19,15分(文)‎ ‎21,15分(理) ‎ ‎22,7分(文)‎ ‎22(2)，9分(理)‎ ‎22,14分(文)‎ ‎21(2)，8分(理) ‎ ‎22,15分(文)‎ ‎[重点关注]‎ 综合近5年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查．‎ 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)‎ ‎(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A.　 B．－ C．－ D. B　[设P(x,1)，Q(7，y)，则＝1，＝－1，‎ ‎∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)，‎ 故直线l的斜率k＝＝－.]‎ ‎3．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0‎ D　[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]‎ ‎4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________. ‎ ‎【导学号：51062257】‎ ‎1或－2　[令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.‎ 依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.]‎ ‎5．(2017·湖州模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．‎ ‎3x－2y＝0或x－y＋1＝0　[当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0.‎ 当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.‎ 将P(2,3)代入方程，得a＝－1，‎ 所以直线l的方程为x－y＋1＝0. ‎ 综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.]‎ 直线的倾斜角和斜率 ‎　(1)直线x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________．‎ ‎(2)(2017·舟山模拟)若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ ‎(1)　(2)　[(1)当θ＝kπ＋(k∈Z)时，cos θ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为.‎ 当θ≠kπ＋(k∈Z)时，直线l的斜率为 tan α＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，则kPA＝＝－5，‎ kPB＝＝－.‎ 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]‎ ‎[规律方法]　1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.‎ ‎(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．‎ ‎2．第(2)问求解要注意两点：‎ ‎(1)斜率公式的正确计算；‎ ‎(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k≤－5或k≥－.‎ ‎[变式训练1]　(1)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)‎ A．－1＜k＜ B．k＞1或k＜ C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1‎ ‎(2)直线l经过点A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________. 【导学号：51062258】‎ ‎(1)D　(2)　[(1)设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.‎ 令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.‎ ‎(2)直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.‎ 又y＝tan α在上是增函数，因此≤α＜.]‎ 求直线的方程 ‎　(1)过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．‎ ‎(2)若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ ‎(1)4x＋3y－13＝0　[设所求直线的斜率为k，依题意 k＝－4×＝－.‎ 又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.]‎ ‎(2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.‎ 由题意得M(3,2).2分 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ 所以直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.6分 若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，‎ 因为直线l过点M(3,2)，所以＋＝1，10分 所以a＝5，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.‎ 综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.14分 法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3).2分 令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.6分 所以3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝.10分 所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，‎ 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.14分 ‎[规律方法]　1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为‎0”‎的情况，以防漏解．‎ ‎2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．‎ ‎[变式训练2]　求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．‎ ‎[解]　由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，2分 则所求直线的倾斜角为2α.6分 ‎∵tan α＝3，‎ ‎∴tan 2α＝＝－.10分 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.14分 直线方程的综合应用 ‎　已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：‎ ‎(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；‎ ‎(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．‎ 设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，‎ 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，3分 当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.5分 ‎(2)设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，‎ 则A，B(0,1－k)，8分 所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4.11分 当且仅当k2＝，即k＝－1时，上式等号成立．‎ 所以当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为x＋y－2＝0.14分 ‎[规律方法]　1.求解本题的关键是找出|OA|＋|OB|与|MA|2＋|MB|2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．‎ ‎2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．‎ ‎[变式训练3]　已知直线l1：ax－2y＝‎2a－4，l2：2x＋a2y＝‎2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？‎ ‎[解]　由得x＝y＝2，2分 ‎∴直线l1与l2交于点A(2,2)(如图)．‎ 易知|OB|＝a2＋2，|OC|＝2－a，6分 则S四边形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝×2(a2＋2)＋×2(2－a)＝a2－a＋4＝2＋，a∈(0,2)，12分 ‎∴当a＝时，四边形OBAC的面积最小.14分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．求直线方程的两种常见方法：‎ ‎(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．‎ ‎(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．‎ ‎2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．‎ ‎2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．‎ ‎3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.‎ ‎4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.‎ 课时分层训练(四十三)　‎ 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A．x－y＋1＝0　 B．x－y－1＝0‎ C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0‎ D　[直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.]‎ ‎2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　)‎ A．a＋b＝1 B．a－b＝1‎ C．a＋b＝0 D．a－b＝0‎ D　[由sin α＋cos α＝0，得＝－1，即tan α＝－1.‎ 又因为tan α＝－，所以－＝－1，则a＝b.]‎ ‎3．若方程(‎2m2‎＋m－3)x＋(m2－m)y－‎4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是(　　) 【导学号：51062259】‎ A．m≠－ B．m≠0‎ C．m≠0且m≠1 D．m≠1‎ D　[由解得m＝1，‎ 故m≠1时方程表示一条直线．]‎ ‎4．在等腰三角形AOB中，OA＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)‎ A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)‎ C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)‎ D　[设点B的坐标为(a,0)(a＞0)，‎ 由OA＝AB，得12＋32＝(1－a)2＋(3－0)2，则a＝2，‎ ‎∴点B(2,0)，易得kAB＝－3，‎ 由两点式，得AB的方程为y－3＝－3(x－1)．]‎ ‎5．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)‎ A．x＝2 B．y＝1‎ C．x＝1 D．y＝2‎ A　[∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为π.‎ 依题意，所求直线的倾斜角为－＝，斜率不存在，‎ ‎∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.]‎ 二、填空题 ‎6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________. 【导学号：51062260】‎ ‎－　[设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，‎ ‎∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，‎ ‎∴P(－2,1)，‎ ‎∴k＝＝－.]‎ ‎7．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．‎ ‎[－2,2]　[b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，‎ 如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值，‎ ‎∴b的取值范围是[－2,2]．]‎ ‎8．直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为________．‎ ‎4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0　[由题意知，截距不为0，设直线l的方程为＋＝1.‎ 又直线l过点(－3,4)，‎ 从而＋＝1，‎ 解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.]‎ 三、解答题 ‎9．(2017·温州模拟)直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，求l的方程．‎ ‎[解]　若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，2分 直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.6分 若a≠0，b≠0，则直线l的方程为＋＝1，‎ 由题意知解得12分 此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.‎ 综上，直线l的方程为x＋y＝0或x－y＋4＝0.14分 ‎10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 【导学号：51062261】‎ ‎[解]　(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零，‎ ‎∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.‎ 当直线不过原点时，截距存在且均不为0，‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1，3分 ‎∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.‎ 因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.6分 ‎(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，8分 ‎∴或∴a≤－1.12分 综上可知，a的取值范围是a≤－1.14分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为(　　)‎ A．2x＋y－7＝0 B．x＋y－5＝0‎ C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0‎ B　[由条件得点A的坐标为(－1,0)，点P的坐标为(2,3)，因为|PA|＝|PB|，根据对称性可知，点B的坐标为(5,0)，从而直线PB的方程为＝，整理得x＋y－5＝0.]‎ ‎2．(2017·浙江杭州第二次质检)设集合{(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2≤10}所表示的区域为A，过原点O的直线l将A分成两部分．当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为________，此时直线l落在区域A内的线段长为________．‎ y＝－x　2　[易知区域A表示一个圆面，圆心为M(1,2)．若要两部分面积差最大，则直线l与直线MO垂直，则l：y＝－x，由圆的半径为，圆心M到原点O的距离为＝得l落在区域A内的线段长度为2＝2.]‎ ‎3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【导学号：51062262】‎ ‎[解]　(1)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；3分 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.6分 ‎(2)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．‎ 依题意得 解得k＞0.9分 ‎∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，12分 ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.14分