【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

第八章 平面解析几何 ‎[深研高考·备考导航]‎ 为教师备课、授课提供丰富教学资源 ‎[五年考情]‎ 考点 ‎2016年 ‎2015年 ‎2014年 ‎2013年 ‎2012年 直线的倾斜角与斜率、直线的方程、距离 ‎17,4分(文)‎ ‎15,4分(理)‎ ‎3,5分(理) ‎ ‎4,5分(文)‎ 圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 ‎10,6分(文)‎ ‎14,4分(理) ‎ ‎14,4分(文)‎ ‎5,5分(文)‎ ‎21(1),16分(理) ‎ ‎13,4分(文)‎ ‎16,4分(理)‎ ‎17,4分(文)‎ 椭圆的标准方程及其性质 ‎7,5分(理)‎ ‎19,5分(理) ‎ ‎7,5分(文)‎ ‎15,4分(文)‎ ‎21(1),7分(理)‎ ‎9,5分(理) ‎ ‎21,15分(理)‎ ‎21(1),7分(理)‎ ‎8,5分(文)‎ 双曲线的标准方程及其性质 ‎7,5分(理) ‎ ‎13,4分(文)‎ ‎9,6分(理)‎ ‎16,4分(理) ‎ ‎17,4分(文)‎ ‎9,5分(理)‎ ‎9,5分(文)‎ ‎8,5分(理)‎ 抛物线的标准方程及其性质 ‎9,4分(理)‎ ‎5,5分(理)‎ ‎15,4分(理)‎ ‎16,4分(理)‎ 直线与圆锥曲线的位置关系及圆锥曲线的综合应用 ‎19,15分(理) ‎ ‎19,15分(文)‎ ‎19,15分(理)‎ ‎19,15分(文)‎ ‎21,15分(理) ‎ ‎22,7分(文)‎ ‎22(2),9分(理)‎ ‎22,14分(文)‎ ‎21(2),8分(理) ‎ ‎22,15分(文)‎ ‎[重点关注]‎ 综合近5年浙江卷高考试题,我们发现高考主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用,突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查.‎ 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎1.直线的倾斜角 ‎(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.‎ ‎(2)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).‎ ‎2.斜率公式 ‎(1)直线l的倾斜角为α≠90°,则斜率k=tan_α.‎ ‎(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=.‎ ‎3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0)‎ 不含直线x=x0‎ 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 = 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)‎ 截距式 +=1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0,A2+B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(  )‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(  )‎ ‎(3)过定点P0(x0,y0)的直线都可用方程y-y0=k(x-x0)表示.(  )‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  )‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(教材改编)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为(  )‎ A.  B.- C.- D. B [设P(x,1),Q(7,y),则=1,=-1,‎ ‎∴x=-5,y=-3,即P(-5,1),Q(7,-3),‎ 故直线l的斜率k==-.]‎ ‎3.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是(  )‎ A.x+y-2=0 B.x-y+2=0‎ C.x+y-3=0 D.x-y+3=0‎ D [圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l:y-3=x-0,化简得x-y+3=0.]‎ ‎4.直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a=________. ‎ ‎【导学号:51062257】‎ ‎1或-2 [令x=0,则l在y轴上的截距为2+a;令y=0,得直线l在x轴上的截距为1+.‎ 依题意2+a=1+,解得a=1或a=-2.]‎ ‎5.(2017·湖州模拟)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________.‎ ‎3x-2y=0或x-y+1=0 [当直线过原点时,方程为y=x,即3x-2y=0.‎ 当直线l不过原点时,设直线方程为-=1.‎ 将P(2,3)代入方程,得a=-1,‎ 所以直线l的方程为x-y+1=0. ‎ 综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.]‎ 直线的倾斜角和斜率 ‎ (1)直线x-ycos θ+1=0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________.‎ ‎(2)(2017·舟山模拟)若直线l过点P(-3,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是________.‎ ‎(1) (2) [(1)当θ=kπ+(k∈Z)时,cos θ=0,直线为x+1=0,其倾斜角为.‎ 当θ≠kπ+(k∈Z)时,直线l的斜率为 tan α=∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.‎ 综上,α的取值范围是.‎ ‎(2)因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则kPA==-5,‎ kPB==-.‎ 如图所示,当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率的取值范围为.]‎ ‎[规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在;直线倾斜角的范围是[0,π),斜率的取值范围是R.‎ ‎(2)正切函数在[0,π)上不单调,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.‎ ‎2.第(2)问求解要注意两点:‎ ‎(1)斜率公式的正确计算;‎ ‎(2)数形结合写出斜率的范围,切莫误认为k≤-5或k≥-.‎ ‎[变式训练1] (1)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是(  )‎ A.-1<k< B.k>1或k< C.k>或k<1 D.k>或k<-1‎ ‎(2)直线l经过点A(3,1),B(2,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是________. 【导学号:51062258】‎ ‎(1)D (2) [(1)设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),直线在x轴上的截距为1-.‎ 令-3<1-<3,解不等式得k<-1或k>.‎ ‎(2)直线l的斜率k==1+m2≥1,所以k=tan α≥1.‎ 又y=tan α在上是增函数,因此≤α<.]‎ 求直线的方程 ‎ (1)过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程为________.‎ ‎(2)若A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.‎ ‎(1)4x+3y-13=0 [设所求直线的斜率为k,依题意 k=-4×=-.‎ 又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为 y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.]‎ ‎(2)法一:设直线l在x轴,y轴上的截距均为a.‎ 由题意得M(3,2).2分 若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),‎ 所以直线l的方程为y=x,即2x-3y=0.6分 若a≠0,设直线l的方程为+=1,‎ 因为直线l过点M(3,2),所以+=1,10分 所以a=5,此时直线l的方程为+=1,即x+y-5=0.‎ 综上,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.14分 法二:易知M(3,2),由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0,则直线l的方程为y-2=k(x-3).2分 令y=0,得x=3-;令x=0,得y=2-3k.6分 所以3-=2-3k,解得k=-1或k=.10分 所以直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),‎ 即x+y-5=0或2x-3y=0.14分 ‎[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为‎0”‎的情况,以防漏解.‎ ‎2.求直线方程的方法主要有两种:直接法与待定系数法.运用待定系数法要先设出直线方程,再根据条件求出待定系数.利用此方法,注意各种形式的适用条件,选择适当的直线方程的形式至关重要.‎ ‎[变式训练2] 求过点A(-1,-3)且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍的直线方程.‎ ‎[解] 由已知设直线y=3x的倾斜角为α,2分 则所求直线的倾斜角为2α.6分 ‎∵tan α=3,‎ ‎∴tan 2α==-.10分 又直线经过点A(-1,-3),‎ 因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.14分 直线方程的综合应用 ‎ 已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:‎ ‎(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;‎ ‎(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.‎ ‎[解] (1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).‎ 设直线l的方程为+=1,则+=1,‎ 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,3分 当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.5分 ‎(2)设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),‎ 则A,B(0,1-k),8分 所以|MA|2+|MB|2=2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4.11分 当且仅当k2=,即k=-1时,上式等号成立.‎ 所以当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程为x+y-2=0.14分 ‎[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA|+|OB|与|MA|2+|MB|2取得最小值的求法,恰当设出方程的形式,利用均值不等式求解,但一定要注意等号成立的条件.‎ ‎2.利用直线方程解决问题,为简化运算可灵活选用直线方程的形式.一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式.‎ ‎[变式训练3] 已知直线l1:ax-2y=‎2a-4,l2:2x+a2y=‎2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形,则当a为何值时,四边形的面积最小?‎ ‎[解] 由得x=y=2,2分 ‎∴直线l1与l2交于点A(2,2)(如图).‎ 易知|OB|=a2+2,|OC|=2-a,6分 则S四边形OBAC=S△AOB+S△AOC=×2(a2+2)+×2(2-a)=a2-a+4=2+,a∈(0,2),12分 ‎∴当a=时,四边形OBAC的面积最小.14分 ‎[思想与方法]‎ ‎1.求直线方程的两种常见方法:‎ ‎(1)直接法:根据已知条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方程.‎ ‎(2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组),求出待定系数,从而求出直线方程.‎ ‎2.5种形式的直线方程都有不同的适用条件,当条件不具备时,要注意分类讨论思想的应用.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.‎ ‎2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性.‎ ‎3.应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0.‎ ‎4.由一般式Ax+By+C=0确定斜率k时,易忽视判定B是否为0.当B=0时,k不存在;当B≠0时,k=-.‎ 课时分层训练(四十三) ‎ 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是(  )‎ A.x-y+1=0  B.x-y-1=0‎ C.x+y-1=0 D.x+y+1=0‎ D [直线的斜率为k=tan 135°=-1,所以直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0.]‎ ‎2.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足(  )‎ A.a+b=1 B.a-b=1‎ C.a+b=0 D.a-b=0‎ D [由sin α+cos α=0,得=-1,即tan α=-1.‎ 又因为tan α=-,所以-=-1,则a=b.]‎ ‎3.若方程(‎2m2‎+m-3)x+(m2-m)y-‎4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是(  ) 【导学号:51062259】‎ A.m≠- B.m≠0‎ C.m≠0且m≠1 D.m≠1‎ D [由解得m=1,‎ 故m≠1时方程表示一条直线.]‎ ‎4.在等腰三角形AOB中,OA=AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为(  )‎ A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)‎ C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)‎ D [设点B的坐标为(a,0)(a>0),‎ 由OA=AB,得12+32=(1-a)2+(3-0)2,则a=2,‎ ‎∴点B(2,0),易得kAB=-3,‎ 由两点式,得AB的方程为y-3=-3(x-1).]‎ ‎5.过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是(  )‎ A.x=2 B.y=1‎ C.x=1 D.y=2‎ A [∵直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为π.‎ 依题意,所求直线的倾斜角为-=,斜率不存在,‎ ‎∴过点(2,1)的所求直线方程为x=2.]‎ 二、填空题 ‎6.直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于P,Q两点,线段PQ中点是(1,-1),则l的斜率是________. 【导学号:51062260】‎ ‎- [设P(m,1),则Q(2-m,-3),‎ ‎∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,‎ ‎∴P(-2,1),‎ ‎∴k==-.]‎ ‎7.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.‎ ‎[-2,2] [b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,‎ 如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值,‎ ‎∴b的取值范围是[-2,2].]‎ ‎8.直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,则直线l的方程为________.‎ ‎4x-y+16=0或x+3y-9=0 [由题意知,截距不为0,设直线l的方程为+=1.‎ 又直线l过点(-3,4),‎ 从而+=1,‎ 解得a=-4或a=9.故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.]‎ 三、解答题 ‎9.(2017·温州模拟)直线l过点(-2,2)且与x轴,y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,求l的方程.‎ ‎[解] 若a=b=0,则直线l过点(0,0)与(-2,2),2分 直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0.6分 若a≠0,b≠0,则直线l的方程为+=1,‎ 由题意知解得12分 此时,直线l的方程为x-y+4=0.‎ 综上,直线l的方程为x+y=0或x-y+4=0.14分 ‎10.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;‎ ‎(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 【导学号:51062261】‎ ‎[解] (1)当直线过原点时,在x轴和y轴上的截距为零,‎ ‎∴a=2,方程即为3x+y=0.‎ 当直线不过原点时,截距存在且均不为0,‎ ‎∴=a-2,即a+1=1,3分 ‎∴a=0,方程即为x+y+2=0.‎ 因此直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.6分 ‎(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,8分 ‎∴或∴a≤-1.12分 综上可知,a的取值范围是a≤-1.14分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为(  )‎ A.2x+y-7=0 B.x+y-5=0‎ C.2y-x-4=0 D.2x-y-1=0‎ B [由条件得点A的坐标为(-1,0),点P的坐标为(2,3),因为|PA|=|PB|,根据对称性可知,点B的坐标为(5,0),从而直线PB的方程为=,整理得x+y-5=0.]‎ ‎2.(2017·浙江杭州第二次质检)设集合{(x,y)|(x-1)2+(y-2)2≤10}所表示的区域为A,过原点O的直线l将A分成两部分.当这两部分面积之差最大时,直线l的方程为________,此时直线l落在区域A内的线段长为________.‎ y=-x 2 [易知区域A表示一个圆面,圆心为M(1,2).若要两部分面积差最大,则直线l与直线MO垂直,则l:y=-x,由圆的半径为,圆心M到原点O的距离为=得l落在区域A内的线段长度为2=2.]‎ ‎3.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).‎ ‎(1)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;‎ ‎(2)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程. 【导学号:51062262】‎ ‎[解] (1)由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0;3分 当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k≥0.6分 ‎(2)由l的方程,得A,B(0,1+2k).‎ 依题意得 解得k>0.9分 ‎∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|‎ ‎=·=≥×(2×2+4)=4,‎ ‎“=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,12分 ‎∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.14分
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