高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题四第2讲课时训练提能

高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题四第2讲课时训练提能

专题四 第2讲　空间中的平行与垂直 课时训练提能 ‎[限时45分钟，满分75分]‎ 一、选择题(每小题4分，共24分)‎ ‎1．(2012·沈阳模拟)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 A．α⊥β，且m⊂α　　　　　 B．m∥n，且n⊥β C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β 解析　由线面垂直的性质可知选B.‎ 答案　B ‎2．(2012·杭州模拟)给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；‎ ‎②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；‎ ‎③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；‎ ‎④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．‎ 其中为真命题的是 A．①和② B．②和③‎ C．③和④ D．②和④‎ 解析　由平面与平面平行的判定定理可知，①错；由线面垂直的性质定理可知②正确；由线面垂直的性质定理可知③错误；由面面平行的定义知④正确．‎ 答案　D ‎3．已知l、m是两条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是 A．l∥α，l∥β B．α⊥γ，β⊥γ C．m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β D．l⊥α，m⊥β，l∥m 解析　选项A得不到α∥β；选项B中的平面α，β可能平行也可能相交；选项C中的直线m，l可能平行，则α与β可能相交；选项D中，由l∥m，m⊥β，可得l⊥β，再由l⊥α可得α∥β.故选D.‎ 答案　D ‎4．(2012·日照二模)设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是 ‎①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.‎ A．1　　　　 B．2‎ C．3　　　　 D．4‎ 解析　由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n的相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性．l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，③正确；由m⊥α，n⊥α得m∥n.又l∥m，∴l∥n，④正确．‎ 答案　C ‎5．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则 A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 解析　对于A，若正确，则l∥m.这与已知矛盾，由此排除A.对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故选B.‎ 答案　B ‎6．如图，在三棱锥A－BCD中，点E、H分别是AB、AD的中点，点F、G分别是BC、CD上的点，且＝＝，则 A．直线EF与GH互相平行 B．EF与GH是异面直线 C．直线EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．直线EF与GH的交点M一定在直线AC上 解析　依题意可得EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H四点共面，且EH≠FG，所以四边形EFGH是梯形，所以直线EF与GH必定相交，设交点为M.因为点M在直线EF上，EF⊂平面ACB，故点M在平面ACB上，同理可得点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，因为AC是这两个平面的交线，所以点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上．‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎7．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m∥α，则m平行于α内的无数条直线；‎ ‎②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；‎ ‎③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；‎ ‎④若α∥β，m⊂α，则m∥β.‎ 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．‎ 解析　由线面平行的定义及性质知①正确；对于②，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n可能平行，也可能异面．故②错；对于③，由，可知n⊥α.又n⊥β，所以α∥β，故③正确；由面面平行的性质知④正确．‎ 答案　①③④‎ ‎8．(2012·盐城模拟)已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件：‎ ‎①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；‎ ‎②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；‎ ‎③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；‎ ‎④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.‎ 其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符合要求的序号)．‎ 解析　∵垂直于同一条直线的两个平面平行，故①正确；‎ 垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故②不正确；‎ 当直线a，b都平行于平面α、β的交线时，也满足条件，但α与β不平行，故③不正确；‎ ‎∵a，b异面，故在α内作直线b′∥b，则b′与a相交，易知b′∥β，‎ 又a∥β，由面面平行的判定定理知α∥β，故④正确．‎ 答案　①④‎ ‎9．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P 在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．‎ 解析　如图，设AC∩BD＝O，连接SO，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF、EG、FG，设EF交AC于点H，连接GH，易知AC⊥EF，GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，‎ 故动点P的轨迹是△EFG，‎ 由已知易得EF＝，GE＝GF＝，‎ ‎∴△EFG的周长为＋，故动点P的轨迹长为＋.‎ 答案　＋ 三、解答题(每小题12分，共36分)‎ ‎10．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.‎ ‎(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；‎ ‎(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．‎ 解析　(1)证明　∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.‎ 又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.‎ ‎∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.‎ ‎(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA.‎ ‎∵DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝，‎ 从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，‎ S△ABC＝×××sin 60°＝，‎ ‎∴三棱锥D－ABC的表面积S＝×3＋＝.‎ ‎11．如图所示，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠‎ BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别是B‎1A，CC1，BC的中点．‎ ‎(1)求证：DE∥平面ABC；‎ ‎(2)求证：B‎1F⊥平面AEF；‎ 证明　(1)如图所示，取AB的中点O，连接CO，DO.‎ 因为DO∥AA1，DO＝AA1，所以DO∥CE，DO＝CE.‎ 所以四边形DOCE为平行四边形．故DE∥CO.‎ 又DE⊄平面ABC，CO⊂平面ABC，‎ 所以DE∥平面ABC.‎ ‎(2)在等腰直角三角形ABC中，F为斜边的中点，所以AF⊥BC.‎ 又因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，‎ 所以平面ABC⊥平面BB1C1C.‎ 所以AF⊥平面BB1C1C.‎ 所以AF⊥B1F.‎ 设AB＝AA1＝1，则B1F＝，EF＝，B1E＝，‎ 所以B1F2＋EF2＝B1E2.‎ 所以B1F⊥EF.‎ 又AF∩EF＝F，所以B1F⊥平面AEF.‎ ‎12．在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB 中点．‎ ‎(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.‎ 解析　(1)当M为棱PA中点时，OM∥平面PBC.‎ 证明如下：∵M，O分别为PA，AB中点，‎ ‎∴OM∥PB，又PB⊂平面PBC，OM⊄平面PBC，‎ ‎∴OM∥平面PBC.‎ ‎(2)证明　连接OC，OP，∵AC＝CB＝，O为AB中点，AB＝2，‎ ‎∴OC⊥AB，OC＝1.‎ 同理，PO⊥AB，PO＝1.‎ 又PC＝，‎ ‎∴PC2＝OC2＋PO2＝2，‎ ‎∴∠POC＝90°.∴PO⊥OC.‎ 又AB∩OC＝O，‎ ‎∴PO⊥平面ABC.‎ ‎∵PO⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面ABC.‎