数学（理）卷·2019届广东省江门市第二中学高二下学期3月月考（2018-03）
广东省江门市第二中学 2017-2018 学年 3 月月考
高二数学试卷（理科）
注意事项：本试卷共 4 页，22 小题，满分150，考试用时120分钟.
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。)
1．曲线 2xy 在(1,1)处的切线方程是
A． 2 3 0x y B． 032 yx
C． 2 1 0x y D． 012 yx
2．已知 z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是
A．z1>z2 B．z1
|z2| D．|z1|<|z2|
3．已知函数 f(x)在区间(a，b)内可导，且 x0∈(a，b)，则
h
hxfhxf
x
)()(lim 00
0
＝
A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0
4．面是一段“三段论”推理过程：若函数 f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，
f′(x)>0 恒成立．因为 f(x)＝x3 在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0
恒成立，以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论正确 D．推理形式错误
5．由曲线 xy cos 、 0x 、 3π
2x 、y=o 所围图形的面积为
Ａ． 4 Ｂ． 2 Ｃ． 5
2
Ｄ．3
6．用数学归纳法证明“1＋1
2
＋1
3
＋…＋ 1
2n－1
1)”时，由 n＝k(k>1)不等式成立推
证 n＝k＋1 时，左边应增加的项数是
A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有白色
地面砖的块数是
A． 24 n B． 4 2n C． 2 4n D．3 3n
8．设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数 y＝f ′(x)的图象可能是
9．若θ∈
3π
4
，5π
4 ，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i 在复平面内所对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－x－1 在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是
A．(－∞，－ 3)∪( 3，＋∞) B．(－ 3， 3)
C．(－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞) D．[－ 3， 3]
11 ． 在 平 面 几 何 里 ， 有 勾 股 定 理 ： “ 设 ABC 的 两 边 ACAB, 互 相 垂 直 ， 则
222 BCACAB ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥 BCDA 的三
个侧面 ABC 、 ACD 、 ABD 两两互相垂直”，则可得
A． 222222 BDCDBCADACAB
B． 2222
BCDABDACDABC SSSS
C． 2222
BCDABDACDABC SSSS
D． 222222 BDCDBCADACAB
12．已知函数 f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1 有两个极值点 x1、x2，且 x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则
f(－1)的取值范围是
A．[－3
2
，3] B．[3
2
，6] C．[3,12] D．[－3
2
，12]
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题5 分，满分 20 分)
13．定义运算 a b ad bcc d
,若复数 z 满足 1 1 2z zi
,其中i 为虚数单位,则复数
z 。
14．一物体以速度 v＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在 t＝0s 到 t＝3s 时间段内的位移是
_______。
15．已知 1)2(33)( 23 xaaxxxf 有极大值又有极小值，则 a 得取值范围是
_____________。
16．观察下列式子
2
3
2
11 2 ，
3
5
3
1
2
11 22 ，
4
7
4
1
3
1
2
11 222 , … … ,
则可归纳出第 n 个式子为______________________________。
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证明过程或步骤。
17．（本小题满分 10 分）把复数 z 的共轭复数记作 z ，已知(1＋2i) z ＝4＋3i，
求 z 及
z
z
。
18．（本小题满分 12 分）已知 a ，b 是正实数，求证： ba
a
b
b
a 。
19．（本小题满分 12 分）已知数列 na 中， 12,1 11 nn aaa ，
（1）求 5432 ,,, aaaa ；
（2）猜想 na 的表达式，并用数学归纳法加以证明。
20．（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，若曲线 f(x)在点(1，f(1))处的切线
斜率为 3，且 x＝2
3
时，y＝f(x)有极值。
（1）求函数 f(x)的解析式；
（2）求函数 f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值。
21．（本小题满分 12 分）如图，设点 P 在曲线 y＝x2 上，从原点向 A(2,4)移动，记直线 OP
与曲线 y＝x2 所围成图形的面积为 S1，直线 OP、直线 x＝2 与曲线 y＝x2 所围成图形的
面积为 S2。
（1）当 S1＝S2 时，求点 P 的坐标；
（2）当 S1＋S2 取最小值时，求点 P 的坐标及此最小值。
2xy
22． (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ln(ax＋1)(x≥0，a>0)，g(x)＝x－2
x＋2
.
（1）讨论函数 y＝f(x)－g(x)的单调性；
（2）若不等式 f(x)≥g(x)＋1 在 x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）当 a＝1 时，证明：1
3
＋1
5
＋1
7
＋…＋ 1
2n＋1<1
2f(n)(n∈N*)。
第二学期第一次考试高二年级
数学试卷（理科答案）
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 D D B A D C A A B D C c
二.填空题：
13、1-i 14、36m
15、 ),2()1,( 16、 2 2 2
1 1 1 2 11 2 3 ( 1) 1
n
n n
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证明过程或步骤。
17．（本小题满分 10 分）
解:设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，
a＋2b＝4，
2a－b＝3.
得 a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i.
∴
z
z
＝2＋i
2－i
＝ 2＋i2
2－i2＋i
＝3＋4i
5
＝3
5
＋4
5i.
18、（本小题满分 12 分）
证明：要证 ba
a
b
b
a ，
只需证 )( baabbbaa
即证 )())(( baabbaabba
即证 ababba
即证 abba 2 ，即 0)( 2 ba
该式显然成立，所以 ba
a
b
b
a
19、（本小题满分 12 分）
解：（1） 31,15,7,3 5432 aaaa
（2） 12 n
na ，证明略
20、(本题满分 12 分)
解： f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
(1)由题意得，
f ′2
3
＝3×2
3
2＋2a×2
3
＋b＝0，
f ′1＝3×12＋2a×1＋b＝3.
解得 a＝2，
b＝－4.
经检验得 x＝2
3
时，y＝f(x)有极小值，
所以 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)由(1)知，f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．
令 f ′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2
3
，
f ′(x)，f(x)的值随 x 的变化情况如下表：
x －4 (－4，－2) －2 (－2，2
3) 2
3
(2
3
，1) 1
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数值 －11 13 95
27 4
∵f(2
3)＝95
27
，f(－2)＝13，f(－4)＝－11，f(1)＝4，
∴f(x)在[－4,1]上的最大值为 13，最小值为－11.
21．(本题满分 12 分)
解： (1)设点 P 的横坐标为 t(00；
故当 t＝ 2时，S1＋S2 有最小值，最小值为8
3
－4 2
3
，此时点 P 的坐标为( 2，2)．
22、 (本题满分 12 分)
解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－x－2
x＋2
，
y′＝ a
ax＋1
－ 4
x＋22
＝ ax2＋4a－4
ax＋1x＋22
，
当 a≥1 时，y′≥0，所以函数 y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；
当 00 得 x>2 1
a
－1，所以函数 y＝f(x)－g(x)在 2 1
a
－1，＋∞ 上是
单调递增函数，函数 y＝f(x)－g(x)在 0，2 1
a
－1 上是单调递减函数；
(2)当 a≥1 时，函数 y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．
所以 f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，
即不等式 f(x)≥g(x)＋1 在 x∈[0，＋∞)时恒成立，
当 0g(x)＋1 在 x∈(0，＋∞)时恒成立，
即 ln(x＋1)> 2x
x＋2
，所以 ln
1
k
＋1 > 2
1＋2k
(k∈N*)，
即 1
2k＋1
<1
2[ln(k＋1)－lnk]．
所以1
3<1
2(ln2－ln1)，
1
5<1
2(ln3－ln2)，
1
7<1
2(ln4－ln3)，…，
1
2n＋1<1
2[ln(n＋1)－lnn]．
将上面各式相加得到，1
3
＋1
5
＋1
7
＋…＋ 1
2n＋1<1
2[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋
(ln(n＋1)－lnn)]＝1
2ln(n＋1)＝1
2f(n)．
∴原不等式成立．
