2012年数学高考考前回归基础训练题——函数

2012年数学高考考前回归基础训练题——函数

‎2012届高考数学考前回归基础训练题——函数 一、解答题 ‎1、如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在半圆周上。‎ ‎ （Ⅰ）建立这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并注明定义域；‎ D A C B O ‎（Ⅱ）求梯形周长的最大值。‎ ‎2、北京某公司生产精品陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为 ‎ ，每件产品的售价与产量之间的关系式为 ‎．‎ ‎（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．‎ ‎3、某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或(为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37‎ 万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。‎ ‎4、设是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对,用表示区间,已知当时，.‎ ‎(1)求在上的解析表达式;‎ ‎(2)对大于零的自然数,求集合.‎ ‎5、某村计划建造一个室内面积为‎800m2‎的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留‎1m宽的通道，沿前侧内墙保留‎3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？‎ ‎6、某家庭用14.4万购买一辆汽车，使用中维修费用逐年上升。第n年维修的费用为0.2n万元，每年其他的费用为0.9万元。报废损失最小指的是购车费，维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在多少年后报废损失最小？‎ ‎7、已知定义在 成立，且当x>1时， ‎ ‎（1）求f (1)的值 （2）证明：f (x)在.‎ ‎8、‎ ‎（1） ； （2） ；‎ ‎（3）.‎ ‎9、某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）.‎ ‎ （1）写出y与x的函数关系式;‎ ‎ （2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.‎ ‎10、已知 ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎11、已知函数 ‎ （1）当时，解不等式＞；‎ ‎ （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.‎ ‎12、已知函数的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称。‎ ‎ （Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，且在区间上为减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，证明：恒有 ‎13、已知二次函数.‎ ‎（1）若，试判断函数零点个数；‎ ‎(2) 若对且，，证明方程必有一个实数根属于。‎ ‎ (3)是否存在，使同时满足以下条件①当时， 函数有最小值0；；②对,都有。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。‎ ‎14、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：‎ ‎ 产品 ‎ 消耗量 资源 甲产品 ‎（每吨）‎ 乙产品 ‎（每吨）‎ 资源限额 ‎（每天）‎ 煤（t）‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎360‎ 电力（kw·h）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎200‎ 劳力（个）‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎300‎ 利润（万元）‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎ 问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？‎ ‎15、设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）．若测得该物体在早上8:00的温度为‎8℃‎，中午12:00的温度为‎60℃‎，下午13:00的温度为‎58℃‎，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.‎ ‎（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；‎ ‎（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？‎ ‎16、已知集合是满足下列性质的函数的全体, 存在非零常数, 对任意, 有成立.‎ ‎(1) 函数是否属于集合? 说明理由;‎ ‎(2) 设, 且, 已知当时, , 求当时, 的解析式.‎ ‎17、定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.‎ ‎（Ⅰ）求函数在[1，3]上的最大值与最小值，并判断函数在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；‎ ‎（Ⅱ）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.‎ ‎18、设函数的定义域为，对任意实数、都有，当时且. ‎ ‎(Ⅰ) 求证：函数为奇函数；‎ ‎(Ⅱ) 证明函数在上是增函数；‎ ‎ (Ⅲ) 在区间［－4，4］上，求的最值.‎ ‎19、为庆祝东莞中学105周年，教师足球队与学生足球队进行一场足球对抗赛. 学生甲带着球，以‎9米/秒的速度向正南方向走，看到学生乙正好在他的正南方‎21米处，此时学生乙以‎6米/秒的速度向南偏东方向走，学生甲想离学生乙最近的时候把球传给他.问经过多少时间后，两位学生相距最近，并求出两位学生的最近距离.‎ ‎20、已知函数 ‎ （Ⅰ）判断的奇偶性；‎ ‎（Ⅱ）画出的图象；‎ ‎（Ⅲ）根据图象填空：①的最小值= ‎ ‎②不等式的解集为 ‎ 以下是答案 一、解答题 ‎1、解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎2、解：(Ⅰ)总成本为． ‎ 所以日销售利润 ‎． ‎ ‎(Ⅱ)①当时，． ‎ 令，解得或． ‎ 于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000； ‎ ‎②当时，． ‎ 综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．‎ ‎3、解：设二次函数为： ‎ ‎ 由已知得： ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 当 x = 4时， ‎ ‎ 又对于函数 ‎ ‎ 由已知得： ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 当 x = 4时， ‎ ‎ 由四月份的实际产量为1.37万件, ‎ ‎ ‎ ‎∴选用函数 作模拟函数较好。‎ ‎4、(1)解:∵ 是以2为周期的函数,‎ ‎∴    当时,是的周期.‎ 又∵   当时,,‎ ‎∴   .‎ 即对,当时, . ‎ ‎(2)解:当且时,利用(Ⅰ)的结论可得方程,‎ 整理得  .‎ 它的判别式是 △.‎ 上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条件是满足 ‎ 化简得 ‎ 由①知，或.‎ 当时: 因为，故从②，③可得 即 ，即 即 ‎ 当时: 易知无解 ‎ 综上所述，应满足 ‎ 故所求集合 ‎5、解: 设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，‎ 则， ， ‎ ‎∴蔬菜的种植面积 ‎ ‎ ‎ 令，对求导，，‎ 设，解得（舍去负值）， ‎ 当时，，所以在上是减函数，‎ 当时，，所以在上是增函数，‎ 所以，当时，有最小值，‎ 此时，有最大值为 ‎ 答：当矩形温室的左侧边长为，后侧边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为。 ‎ 另解：设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则.‎ ‎∴蔬菜的种植面积， ‎ ‎∵，‎ ‎∴， ‎ ‎∴（m2）， ‎ 当且仅当，即时， m2. ‎ 答：当矩形温室的左侧边长为‎40m，后侧边长为‎20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为‎648 m2‎.‎ ‎6、解：由题意可得，年平均值 当且仅当 ‎7、解：（1）令x=y=1,得f (1)= f 1）+ f (1)‎ ‎ 所以f (1)=0‎ ‎ (2)设 ‎ ‎ ‎8、解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）由 ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎9、1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x）元 ‎ 月平均销售量为件 ‎ 则月平均利润（元）‎ y与x的函数关系式为 ‎ ‎（2）令 ‎ 当 ‎ 即函数在上单调递减，‎ 所以函数在取得最大值.‎ ‎10、解：（Ⅰ）（略）用定义或导数证明 ‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎11、解：（1）当时，，，‎ ‎ 由 ＞， ‎ ‎ 得＞，＜ ，＜＜ ‎ ‎ ∴原不等式的解为 ＜＜； ‎ ‎ ‎ ‎（2）的定义域为， ‎ ‎ 当时，，，所以是偶函数. ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，， ‎ ‎ 所以既不是奇函数，也不是偶函数.‎ ‎ ‎ ‎12、解：（Ⅰ）在图象上任取一点(x,y)，则(x,y)关于(0,1)的对称点为(-x,2-y)‎ ‎ 由题意得：‎ ‎（Ⅱ）‎ 且在 （Ⅲ）（略）‎ ‎13、解：‎ ‎（1） ‎ 当时，函数有一个零点；‎ 当时，，函数有两个零点。‎ ‎（2）令，则 ‎ ，‎ 在内必有一个实根。即方程必有一个实数根属于。‎ ‎(3)假设存在，由①得 ‎ ‎ 由②知对,都有 令得 由得， ‎ 当时，，其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,都有，满足条件②。‎ ‎∴存在，使同时满足条件①、②。‎ ‎14、解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨y吨，获得利润z万元 依题意可得约束条件：…………………………5分 ‎ （图2分）‎ ‎ 利润目标函数………………………………8分 如图，作出可行域，作直线向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值。‎ 解方程组 所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。‎ ‎15、解：(1) 因为, ‎ 而, 故, ‎ ‎ ‎ ‎ ∴. ‎ ‎ (2) , 由 ‎ 当在上变化时，的变化情况如下表:‎ ‎-2‎ ‎（-2，-1）‎ ‎-1‎ ‎（-1，1）‎ ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ ‎58‎ 增函数 极大值62‎ 减函数 极小值58‎ 增函数 ‎62‎ ‎ ‎ 由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是‎62℃‎.‎ ‎16、解: (1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立, ……………………………………………3分 即: 成立. 令, 则, 与题矛盾. 故. ‎ ‎(2) , 且, 则对任意, 有, ‎ 设, 则, ‎ 当时, , ‎ 故当时, .‎ ‎17、解：（Ⅰ）∵，当时，.‎ ‎ ∴在[1，3]上是增函数 ‎ ∴当时，≤≤，即 -2≤≤26.‎ ‎ 所以当时，当时，‎ ‎ ∴存在常数M=26，使得，都有≤M成立.‎ ‎ 故函数是[1，3]上的有界函数.‎ ‎（Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1-‎ ‎ ∴ ‎ 令，显然在上单调递减，‎ 则当t→+∞时，→1. ∴‎ 令，显然在上单调递减，‎ 则当时， ∴‎ ‎ ∴0≤a≤1； ‎ 故所求a的取值范围为0≤a≤1.‎ ‎18、(Ⅰ) 证明：∵，‎ ‎∴ 令，得 ‎ ‎∴ ‎ 令，得 ‎ 即 ‎ ‎∴函数为奇函数 ‎ ‎(Ⅱ) 证明：设，且 ‎ 则 ‎ 又∵当时 ‎ ∴ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ∴函数在上是增函数 ‎ ‎(Ⅲ) ∵函数在上是增函数 ‎ ∴函数在区间［－4，4］上也是增函数 ‎ ‎∴函数的最大值为，最小值为 ‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎∵函数为奇函数 ‎∴ ‎ 故，函数的最大值为12，最小值为. ‎ ‎19、解：设甲现在所在位置为A，乙现在所在位置为B，运动t秒后分别到达位置C、D,如图可知CD即为甲乙的距离. ――1分 当时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 时， ‎ 当时,C、B重合, ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述：经过2秒后两人距离最近为.‎ ‎20、解：（Ⅰ）偶函数 ‎ ‎（Ⅱ）（略） ‎ ‎（Ⅲ）① 2 ‎ ‎② ‎