2018-2019学年四川省绵阳南山中学高二12月月考数学文科试题 解析版

2018-2019学年四川省绵阳南山中学高二12月月考数学文科试题 解析版

绝密★启用前 四川省绵阳南山中学2018-2019学年高二12月月考数学文科试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角等于( )‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线性质求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线x＝垂直于x轴，‎ ‎∴直线x＝的倾斜角为．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线性质的灵活运用．‎ ‎2．1037和425的最大公约数是( )‎ A．9 B．3 C．51 D．17‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“辗转相除法”即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎1037＝425×2+187，425＝187×2+51，187＝51×3+34，51＝34×1+17，34＝17×2．‎ ‎∴1037和425的最大公约数是17．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的方法，属于基础题．‎ ‎3．直线和的位置关系是（ ）‎ A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：直线的斜率,直线的斜率,,所以 两条直线相交，，故不垂直 考点：两条直线相交、平行、垂直的充要条件 ‎4．直线关于直线对称的直线方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于y＝1的对称点的坐标，代入已知直线方程化简即可．‎ ‎【详解】‎ ‎：设直线2x﹣y+1＝0关于直线y＝1对称的直线上任意点的坐标为（x，y），则（x，y）关于y＝1的对称点的坐标为：（x，2-y）代入直线2x﹣y+1＝0可得所求对称直线方程：2x+y﹣1＝0；‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查直线关于直线对称的直线方程的求法，本题采用相关点法解答，也可以利用两点式、点斜式等直线方程的方法求解．‎ ‎5．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间(142,153)上的运动员人数是( )‎ A．2 B．3 C．4 D．3或4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各数据均分为7段，然后根据系统抽样方法抽样，然后看看区间内有几人即可。‎ ‎【详解】‎ ‎：由已知，将各数据分7段，‎ ‎130,130,133,134,135‎ ‎136,136,138,138,138‎ ‎139,141,141,141,142‎ ‎142,142,143,143,144‎ ‎144,145,145,145,146‎ ‎146,147,148,150,151‎ ‎152,152,153,153,153‎ 根据系统抽样方法从第一段中抽取一人，间隔7个单位依次抽取，得到抽取7人，‎ 不论第一段取到第几个数，成绩在区间中共有3名运动员。‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是确定间距，正确分段。‎ ‎6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为( )(参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，判断为否，，，判断为否，，此时，判断为是，退出循环，输出．‎ 考点：算法与程序框图.‎ ‎7．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的 .若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有( )参考数据及公式如下：‎ A．12 B．11 C．10 D．18‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设男生人数为x，依题意可得列联表；根据所给的表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，即可得出结论．．‎ ‎【详解】‎ 设男生人数为x，依题意可得列联表如下：‎ 喜欢韩剧 不喜欢韩剧 总计 男生 x 女生 总计 x 若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则k＞3.841，‎ 由k＝＝x＞3.841，解得x＞10.24，‎ ‎∵，为整数，‎ ‎∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎8．过椭圆的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是( )‎ A．1 B．3 C．4 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义知|PF|+|PF1|＝2a．由椭圆的对称性知|QF|＝|PF1|，而|PQ|的最小值是2b，即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎：由椭圆，可得a＝1，b＝．设椭圆的另一个焦点为F1．‎ 由椭圆的定义知|PF|+|PF1|＝2a．‎ 由椭圆的对称性知|QF|＝|PF1|，‎ ‎∴|PF|+|QF|＝2a，而|PQ|的最小值是2b，‎ ‎∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b＝2×（1+）＝3．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义，标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9．已知圆C的方程为，直线l的方程为，过圆C上任意一点P作与 夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最大值为( )‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，PA的长是点P到直线距离的倍，求出点P到直线距离的最大值即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎：由题意，设P（cosα，sinα），‎ 则点P到直线的距离为 ，又,‎ ‎∴|PA|的最小值为 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识的运用，属于中档题．‎ ‎10．若双曲线与圆的公共点和双曲线两个焦点构成正六边形，则C的离心率为( )‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作图，如下图，‎ 利用题中条件解，由双曲线定义列方程，再利用双曲线离心率公式求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎：根据题意作图，如下图，‎ ‎ ‎ 由构成正六边形可知：，,,由双曲线定义可知：，所以双曲线的离心率：，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义，简单几何性质，圆的标准方程，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎11．已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )‎ A．16 B．8 C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可判断当A与D，B与E关于y轴对称，即直线DE的斜率为，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，‎ 直线l2与C交于D、E两点，‎ 要使|AB|+|DE|最小，‎ 则A与D，B与E关于y轴对称，即直线DE的斜率为，‎ 又直线l2过点（0，），‎ 则直线l2的方程为y＝-x+，‎ 联立方程组，整理得：，‎ ‎∴x1+x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴|DE|＝，‎ ‎∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝1.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍，属于中档题．‎ ‎12．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设正方体的边长为，椭圆的焦点在正方形的内部，，又正方形的四个顶点都在椭圆上，，，，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的焦点在正方形的内部，构造出关于的不等式，最后解出的范围.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据图形的对称性求出黑色图形的面积，即为圆的面积的一半，利用几何概型的概率公式进行计算即可.‎ 详解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，‎ 设圆的半径为1，则正方形的边长为2，‎ 所以黑色部分的面积为，‎ 则所求的概率为，‎ 故答案为.‎ 点睛：该题考查的是有关几何概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要分析得出黑色图形的面积等于圆的面积的一半，之后应用相关的公式求得结果.‎ ‎14．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎：从随机数表第1行的第6列和第7列数字35开始按两位数连续向右读编号小于等于33的号码依次为:02,32,09,16,17,21‎ 故第6个红球的编号21‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎15．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分为100，方差为110，后来发现有3名同学的分数登记错了，甲实际得120分却记成了100分，乙、丙实际均得110分却记成了120分，更正后方差为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数、方差的概念先表示出更正前的平均数、方差和更正后的平均数、方差，比较其异同，然后整体代入即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎：设更正前甲，乙，丙…的成绩依次为a1，a2，…，a50，‎ 则a1+a2+…+a50＝50×100，即100+120+120+…+a50＝50×100，‎ ‎（a1﹣100）2+（a2﹣100）2+…+（a50﹣100）2＝50×110，即02+202+202+…+（a50﹣100）2＝50×110，‎ 更正后平均分＝，‎ 方差s2＝[（120﹣100）2+（110﹣100）2+（110﹣100）2+（a4﹣100）2+…+（a50﹣100）‎ ‎2]‎ ‎＝ [400+100+100+（﹣100）2+…+（a50﹣100）2]‎ ‎＝×[600+50×110﹣202﹣202]‎ ‎＝×5300‎ ‎＝106．‎ 故答案为：106．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数、方差、标准差的概念及其运算，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键，属基础题．‎ ‎16．已知的三顶点坐标分别为，则的垂心的轨迹方程________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P（x，y），欲求△ABC的垂心P的轨迹方程，即求出其坐标x，y的关系式即可，利用垂心特点得出关于x，y的方程整理即可．‎ ‎【详解】‎ ‎：设P（x，y），,‎ ‎，，，‎ 由垂心定义可得：‎ 所以，消元、整理得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意三角形垂心性质的灵活运用，‎ 注意消元，计算量一般．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某校某班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生有14人.‎ ‎(1)求总人数N和分数在120～125的人数n；‎ ‎(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）众数，中位数.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出分数在110﹣120内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在120﹣125内的学生的频率，由此能求出分数在120﹣125内的人数．‎ ‎（2）利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）分数在110~120内的学生的频率为 ‎，‎ 所以该班总人数. ‎ 分数在120~125内的学生的频率为 ‎， ‎ 分数在120~125内的人数.‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，‎ 即为. ‎ 设中位数为，∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∴众数和中位数分别是107.5，110.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图知识，众数及中位数。注意频率分布直方图中各小矩形的面积才是对应范围内的频率，解题时要要认真审题，是中档题．‎ ‎18．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：‎ 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表2：‎ ‎ ‎ ‎(1)求z关于t的线性回归方程；‎ ‎(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；‎ ‎(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？‎ ‎ (附：对于线性回归方程，其中)‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）千亿元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由所给数据看出，算出平均数，利用最小二乘法求出b，a，写出线性回归方程．‎ ‎（2）t＝x﹣2010，z＝y﹣5，代入z＝1.2t﹣1.4得到y关于x的回归方程；‎ ‎（3）把所给的x的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．‎ ‎【详解】‎ ‎：（1），，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）将，，代入，‎ 得，即. ‎ ‎（3）因为，‎ 所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方法和能力，考查利用统计思想解决实际问题的能力．‎ ‎19．一个袋子里装有三个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3；随机有放回地抽取3次，每次抽取1个小球；规定：第一次抽得小球数字记为a,第二次抽得小球数字记为b,第三次抽得小球数字记为c.‎ ‎(1)一共多少个基本事件并一一列出(基本事件用(a,b,c)方式表示)；‎ ‎(2)①求“抽取的小球表示的数字满足”的概率；‎ ‎ ②求“抽取的小球表示的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）①；②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3＝27种，一一列举即可；‎ ‎（Ⅱ）满足a+b＝c的（a，b，c有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率．‎ ‎（Ⅲ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知，所有的可能为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共27种. ‎ ‎（2）①设“抽取的小球表示的数字满足”为事件，‎ 则事件包括，，，共3种.‎ 所以.‎ 因此，“抽取的小球表示的数字满足”的概率为. ‎ ‎②设“抽取的小球表示的数字完全相同”为事件，则事件包括，，，共3种.‎ 所以.‎ 因此，“抽取的小球表示的数字不完全相同”的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型概率公式的应用，应清楚基本事件总数及满足要求的基本事件个数，属于中档题．‎ ‎20．已知圆C与直线和直线都相切，且圆心在直线上.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)当圆C半径大于1时，直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意设出圆心C的坐标，由圆与直线相切的关系列出方程，求出圆C 的圆心坐标和半径，即可求出圆的方程；‎ ‎（2）设直线m的方程为y＝kx，根据弦长公式列出方程求出k即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心的坐标为，‎ 则.‎ 解得或. ‎ 所以，半径或 故圆的方程为：或. ‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为:，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件. ‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由题意得，解得，‎ 则直线的方程为. ‎ 综上所述，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，考查方程思想和待定系数法求圆的方程，属于中档题．‎ ‎21．已知抛物线：的焦点为，若过点且斜率为的直线与抛物线相交于两点,且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线为抛物线的切线，且∥,为上一点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）-14.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、向量的数量积等基础知识，考查学生的数学结合思想、分析问题解决问题的能力、转化能力.第一问，由抛物线的标准方程得焦点F的坐标，再利用点斜式写出直线方程，由于它与抛物线相交，所以直线方程与抛物线方程联立，消参，利用韦达定理、得到M、N的两个横坐标的和，解出P的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先设出直线的方程，由于是抛物线的切线，所以2个方程联立，得到x的方程后，方程的判别式等于0，解出b的值，从而得到直线方程，设出p点坐标，结合第一问得出和坐标，利用向量的数量积化简表达式，使之转化为关于m的式子，再利用配方法求最值.‎ 试题解析：（1）由题可知，则该直线方程为：， 1分 代入 得：，设，则有3分 ‎∵，∴，即，解得 ‎ ‎∴抛物线的方程为：． 5分 ‎(2)设方程为，代入 ‎，得，‎ 因为为抛物线的切线，∴，‎ 解得，∴ 7分 由（1）可知：，‎ 设，则 所以 ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，∴‎ ‎10分 当且仅当时，即点的坐标为时，的最小值为． 12分 考点：抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、向量的数量积 ‎22．已知椭圆 的左、右焦点分别为，若椭圆C经过点，离心率为，直线l过点与椭圆C交于A、B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点N为的内心，求与面积的比值；‎ ‎（3）设点A，F2，B在直线上的射影依次为点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知b＝．由＝，可得＝，解得a即可得出椭圆C的方程．‎ ‎（2）由点N为△F1AF2的内心，可得点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，可得＝，整理即可。‎ ‎（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于F2G 的中点．下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点．设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与椭圆方程联立化简得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，得D（4，y1），E（4，y2），则直线AE的方程为y﹣y2＝（x﹣4）．令，此时y＝y2+（），把根与系数关系代入可得y＝0，因此点在直线AE上．同理可证，点在直线BD上．即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，又因为，所以，解得，‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎（2）因为点为的内心，‎ 所以点为的内切圆的圆心，设该圆的半径为.‎ 则. ‎ ‎（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，‎ 此时与交于的中点， ‎ 下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点.‎ 设直线的方程为，‎ 化简得，‎ 因为直线经过椭圆内的点，所以，‎ 设，，‎ 则，. ‎ 由题意，，，‎ 直线的方程为，‎ 令，此时 ‎，‎ 所以点在直线上， ‎ 同理可证，点在直线上.‎ 所以当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线相交问题、三角形的内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎