江苏省天一中学2018-2019学年高二（强化班）下学期期末考试数学试题 含解析

江苏省天一中学2018-2019学年高二（强化班）下学期期末考试数学试题 含解析

www.ks5u.com 江苏省天一中学2018-2019学年第二学期 高二强化班数学期末考试试题 一、填空题。‎ ‎1.已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合A的补集，结合，即可确定实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 与B必有公共元素 即 ‎【点睛】本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得 考点：命题真假 ‎【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.‎ ‎3.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________.‎ ‎【答案】－‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知和三角函数的坐标定义得到cos α＝x＝，解方程解答x的值，再利用三角函数的坐标定义求tan α的值.‎ ‎【详解】因为α是第二象限角，‎ 所以cos α＝x<0，即x<0.‎ 又cos α＝x＝，‎ 解得x＝－3，所以tan α＝＝－.‎ 故答案为：－‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos=, tan= .‎ ‎4.若曲线经过T变换作用后纵坐标不变、横坐标变为原来2倍，则T变换所对应的矩阵_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据伸缩变换性质即可得出 ‎【详解】设在这个伸缩变换下，直角坐标系内任意一点对应到点 ‎ 则 ‎ 从而对应的二阶矩阵 ‎【点睛】本题主要考查了伸缩变换对应矩阵，属于基础题.‎ ‎5.已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题进行化简，将转化为等价命题，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 又是的充分条件，即，它的等价命题是 ‎ ，解得 ‎【点睛】本题主要考查了四种命题的关系，注意原命题与逆否命题的真假相同是解题的关键.‎ ‎6.在中，，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊角的三角函数值得到，，再由二倍角公式得到结果.‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴，∴，即.‎ ‎∵，∴，‎ 由二倍角公式得到：，∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】这个题目考查了特殊角的三角函数值的应用，以及二倍角公式的应用属于基础题.‎ ‎7.在极坐标系中，两点间的距离______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的大小，得出A,O,B三点共线，即可求解.‎ ‎【详解】设极点为O，由题意可知 即A,O,B三点在一条直线上 所以 ‎【点睛】本题主要考查了极坐标的性质，要清楚极坐标 的含义，属于基础题.‎ ‎8.外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的运算法则将已知等式化简得到,得到BC为直径,故为直角三角形,求出三边长可得的值,利用两个向量的数量积的定义求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎,.‎ ‎,B,C共线,BC为圆的直径,.‎ ‎ ,故.‎ 则,‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角,求出为直角三角形及三边长,是解题的关键.‎ ‎9.已知函数，则的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论的值，去掉绝对值，作出函数图像，由图象可得原不等式或，分别求出它们，再求并集即可.‎ ‎【详解】根据题意，当时，，当时，‎ 由函数的图象可得在上递增，不等式即为或，化简得或，解得或 ‎，即，故解集为。‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性以及一元二次不等式的解法，利用图像来分析不等式的解是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件得出是函数的最大值或最小值，从而得到，结合，最后得到，再根据正弦函数的单调性得到所求函数的单调增区间.‎ ‎【详解】解:若对恒成立,‎ 则等于函数的最大值或最小值,即, ‎ 则 , ‎ 又 ,即 ‎ 令 ,此时 ,满足条件 令, ‎ 解得.‎ 则的单调递增区间是 .‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查的重点是三角函数的单调区间以及形式变换,需要重点掌握.‎ ‎11.设函数是定义在上可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,构造函数, ,利用导数判断的单调性,再把不等式化为,利用单调性求出不等式的解集.‎ ‎【详解】解:根据题意,令,‎ 其导函数为 时,,‎ ‎,‎ 在上单调递增;‎ 又不等式可化为 ‎,‎ 即,‎ ‎;‎ 解得,‎ 该不等式的解集是为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,‎ 也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题,是综合性题目.‎ ‎12.如图，在平面四边形中，，，，.若点为上的动点，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积公式即可得出，结合，得出的最小值.‎ ‎【详解】因为，所以以点为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以直线的斜率为，易得，‎ 因为，所以直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为，‎ 令，解得，所以，‎ 设点坐标为，则，‎ 则，，‎ 所以 ‎ 又因为，所以当时，取得最小值为。‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程。‎ ‎13.如图，在三角形中，D为边上一点， 且，，则为______.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长AD,过点C作,垂足为E,由,则,设,则,可证明,则,从而求得,即的值.‎ ‎【详解】解:如图,延长AD,过点C作,垂足为E,‎ ‎,,‎ 设,则,‎ ‎, ,‎ ‎,则,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质,基础知识要熟练掌握.‎ ‎14.已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，函数有两个极值点，，则，化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出 ‎，结合将参数分离出来，构造函数，即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 所以，令，所以 ‎ 令 ，则 ‎ 令 ，则 ‎ 所以在上单调递减，所以 ‎ 所以在上单调递减，‎ 所以 ‎ 令 ，则 恒成立 所以在上单调递增，即 ‎【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围.‎ ‎(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值城问题加以解决.‎ ‎(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 二、解答题：解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15.(1)已知可逆矩阵的逆矩阵为，求的特征值.‎ ‎(2)变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是：变换对应用的变换矩阵是 ‎，求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据得出的逆矩阵，结合特征值的性质即可求解;‎ ‎(2)先求出,再求点的变换，从而利用函数求出变换作用下所得曲线的方程.‎ ‎【详解】（1）解：由可知，‎ 所以，，‎ 所以，；‎ 所以，，‎ 由，，.‎ ‎（2）.‎ 设变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，‎ 也就是，即，‎ 所以所求曲线的方程是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了逆矩阵、特征值以及矩阵变换等知识，意在考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎16.(1)已知直线经过点，倾斜角.设与圆相交与两点A，B，求点P到两点的距离之积.‎ ‎(2)在极坐标系中，圆C的方程为，直线的方程为.‎ ‎①若直线过圆C的圆心，求实数的值；‎ ‎②若，求直线被圆C所截得的弦长.‎ ‎【答案】（1）2；（2）①；②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出直线的参数方程，并代入圆的方程，利用直线参数方程的几何意义即可求解；‎ ‎（2）将极坐标方程化为直角坐标方程，①将圆心代入直线即可求出 ‎②先求出圆心到直线的距离，根据弦长公式即可得出直线被圆C所截得的弦长.‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程为，即. ‎ 把直线代入，‎ 得，，，‎ 则点P到A，B两点的距离之积为2. ‎ ‎（2）①以极点为坐标原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系.‎ 由得，‎ 则圆C的直角坐标方程是，‎ 圆心坐标为，半径. ‎ 由，得，‎ 则直线l的直角坐标方程是. ‎ 若直线l通过圆C的圆心，则，所以. ‎ ‎②若，则圆心到直线的距离，‎ 所以直线l被圆C所截得的弦长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线参数方程的几何意义以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，过点,且倾斜角为的直线的参数方程，属于基础题.‎ ‎17.已知的内角A的大小为，面积为.‎ ‎(1)若，求的另外两条边长；‎ ‎(2)设O为的外心，当时，求的值.‎ ‎【答案】（1）,；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角形面积公式得到AC边，再由余弦定理即可得出BC边；‎ ‎（2）由（1）可知，利用余弦定理可求，设的中点为，则，结合为的外心，可得，从而可求得。‎ ‎【详解】（1）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ 于是，所以 因为，所以.‎ 由余弦定理得.‎ ‎（2）由得，即，解得或4. ‎ 设的中点为D，则，‎ 因为O为的外心，所以，‎ 于是. ‎ 所以当时，，； ‎ 当时，，.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形的面积公式及余弦定理的应用以及向量的基本运算和性质的应用。属于中档题.‎ ‎18.给出如下两个命题：命题，；命题已知函数，且对任意，，，都有，求实数的取值范围，使命题为假，为真.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 判断命题的否定为真时，实数的取值范围，从而得到命题为真时实数的取值范围，化简不等式可知只需在上是减函数。取绝对值讨论在不同区间内的解集即可。‎ ‎【详解】由已知，若命题，，是真命题 令 则在区间没有零点 令，可得，其对称轴为 要使得区间没有零点 ‎ 即 解得实数的取值范围为 则当命题p为真时， ‎ 因为，所以，。‎ 设，依题意，在上是减函数，。‎ ‎①当时， ，。‎ 令，得：对恒成立。设，则。‎ 因为，所以。‎ 所以在上是增函数，则当时，有最大值为，所以。‎ ‎②当时， ，。‎ 令，得：。‎ 设，则，所以在上是增函数。所以，所以。‎ 综合①②，又因为在上是图形连续不断的，‎ 所以。‎ 故若q为真，则 ‎ 则p真q假为 ‎ 则q真p假 ‎ 综上 ‎【点睛】本题主要考查了转化化归的思想以及导数的应用，存在性的命题可将其转化为否定命题，进而得到原命题的真假，属于难题.‎ ‎19.为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径，上，C，D在圆弧上，‎ ‎；上，；区域为文化展区，长为，其余空地为绿化区域，且长不得超过200m.‎ ‎(1)试确定A，B的位置，使的周长最大？‎ ‎(2)当的周长最长时，设，试将运动休闲区的面积S表示为的函数，并求出S的最大值.‎ ‎【答案】（1）、都为50m；（2）；；最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于（1），设，，m，，在△OAB中，利用余弦定理可得，整理得，结合基本不等式即可得出结论；‎ 对于（2），当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形，过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知， ，，令，‎ ‎，，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值。‎ ‎【详解】解：（1）设，，m，，‎ 在中，，‎ 即.‎ 所以.‎ 所以，当且仅当时，取得最大值，‎ 此时周长取得最大值.‎ 答：当、都为50m时，的周长最大. ‎ ‎（2）当的周长最大时，梯形为等腰梯形.‎ ‎ ‎ 如上图所示，过O作交于F，交于E，则E、F分别为、的中点，‎ 所以.由，得.‎ 在中，，.‎ 又在中，，故.‎ 所以 ‎，.‎ 令，，‎ ‎，.‎ 又及在上均为单调递减函数，‎ 故在上为单调递减函数.‎ 因，故在上恒成立，‎ 于是，在上为单调递增函数.‎ 所以当时，有最大值，此时S有最大值为.‎ 答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到后，利用导数得到求出，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定在上为单调递减函数.属于难题.‎ ‎20.已知为实数，函数，函数．‎ ‎（1）当时，令，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）的极小值为，无极大值．（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，定义域为，由得．列表分析得的极小值为 ‎，无极大值．（2）恒成立问题及存在问题，一般利用最值进行转化：在上恒成立．由于不易求，因此再进行转化：当时，可化为，令，问题转化为：对任意恒成立；同理当时，可化为，令，问题转化为：对任意的恒成立；以下根据导函数零点情况进行讨论即可.‎ 试题解析：（1），‎ ‎，令，得． 1分 列表：‎ x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ 极小值 ‎ ‎↗ ‎ ‎ ‎ 所以的极小值为，无极大值． 4分 ‎（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成立． 5分 ‎1）当时，可化为，‎ 令，问题转化为：对任意恒成立；（*）‎ 则，，．‎ 令，则．‎ ‎①时，因为，‎ 故，所以函数在时单调递减，，‎ 即，从而函数在时单调递增，故，所以（*）‎ 成立，满足题意； 7分 ‎②当时，，‎ 因为，所以，记，则当时，，‎ 故，所以函数在时单调递增，，‎ 即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立；‎ 所以当，恒成立时，； 9分 ‎2）当时，可化为，‎ 令，问题转化为：对任意恒成立；（**）‎ 则，，．‎ 令，则．‎ ‎①时，，‎ 故，所以函数在时单调递增，，‎ 即，从而函数在时单调递增，所以，此时（**）成立；11分 ‎②当时，‎ ⅰ）若，必有，故函数在上单调递减，所以 ‎，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立； 13分 ⅱ）若，则，所以当时，‎ ‎，‎ 故函数在上单调递减，，即，所以函数在时单调递减，所以，此时（**）不成立；‎ 所以当，恒成立时，； 15分 综上所述，当，恒成立时，，从而实数的取值集合为． 16分 考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性 ‎ ‎