数学理卷·2018届湖南省益阳市箴言中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届湖南省益阳市箴言中学高三上学期期中考试（2017

‎2017年下学期期中考试高三理科数学试卷 时间:120分钟 满分：150分 命题：高三理科数学备课组 ‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.复数的虚部是（ ）‎ A． B．- C． D．‎ ‎2. 集合，则集合=（ ）‎ A． B． C． D． ‎3.把“正整数除以正整数后的余数为”记为，例如．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》. 执行右边的该程序框图后，则输出的值为（ ） ‎ A.14 B.17 C.22 D.23‎ ‎4. 函数的图象大致是（ ）‎ ‎5．已知变量x，y满足，则z=8x•2y的最大值为（　 ）‎ A．33 B．32 C．35 D．34‎ ‎6. 某市的工业生产总值2015年和2016年连续两年持续增加，并且2015年的年增长率为p，2016年的年增长率为q，请你计算该市2015年到2016年这两年工业生产总值的年平均增长率为( )‎ A. B. C. D.－1‎ ‎7.某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )‎ ‎8.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )‎ A. －7 B. 7 C. －28 D. 28‎ ‎9.已知命题：，；命题：，，‎ 则下列命题为真命题的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数的两条相邻对称轴间的距离为，把f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数，则f（x）的单调递增区间为（　 　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•=0（O为坐标原点），且|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（　 　）‎ A． B． +1 C． D．‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围为（　 　）‎ A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13.计算 ；‎ ‎15．如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是 （将符合题意的选项序号填到横线上）．‎ ‎①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.‎ 16. 设函数,若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）设数列{an}(n＝1，2，3…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1、a2＋1、a3成等差数列. ‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎18．（本小题满分12分）某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．‎ ‎（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？‎ 注：，其中.‎ ‎（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为，试求的分布列及数学期望．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，，．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值 ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为．‎ ‎（1）求a，b的值； ‎ ‎（2）椭圆C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=﹣1（b∈R，e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线经过点（2，﹣2）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）+ax（a∈R）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，不等式exf（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，求实数c的取值范围．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中, 以坐标原点为极点, 以轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线,曲线为参数).‎ ‎（1）将直线化成直角坐标方程, 将曲线化成极坐标方程；‎ ‎（2）若平行于直线的直线与曲线相切, 求出的普通方程.‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞0的解集；‎ ‎（2）若不等式|m+1|≥f（x+3）+3|x﹣2|有解，求实数m的取值范围．‎ ‎2017年下学期期中考试高三理科数学参考答案 一． 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B D B D D B C D B D 二． 填空题 13. ‎；14.；15.①③④；16.‎ ‎16解析：若函数在时与轴有一个交点所以,并且当时所以,函数有一个交点所以且所以；若函数与函数没有交点, 有两个交点当,与轴无交点,无交点,所以不满足题意,当时,的两个交点都是满足题意的，综上的取值范围是 三． 解答题 ‎17.（本小题满分12分）设数列{an}(n＝1，2，3…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1、a2＋1、a3成等差数列. ‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ 解：(1)由已知Sn＝2an－a1，‎ 有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．‎ 从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.‎ 又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，‎ 所以a1＋a3＝2(a2＋1)，‎ 即a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n.‎ ‎(2)由(1)得＝，‎ 所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.‎ 由|Tn－1|<，得<，‎ 即2n>1 000.‎ 因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10.‎ 于是使|Tn－1|<成立的n的最小值为10.‎ ‎18．某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．‎ ‎（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？‎ 注：，其中.‎ ‎（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为，试求的分布列及数学期望．‎ 解：（1）完成列联表，如下：‎ 代入公式，得观测值：‎ ‎.‎ ‎∴我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”.‎ ‎（2）用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6.‎ 抽中农村户口家长的概率为0.4，‎ 的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，，．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值 解：（1）在上取一点，使，连接，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，，.‎ ‎∴，.‎ ‎∴为平行四边形.‎ 即.‎ 又平面，‎ ‎∴直线平面.‎ ‎（2）取中点，底面是菱形，，∴.‎ ‎∵，∴，即.‎ 又平面，∴.‎ 又，∴直线平面.‎ 故相互垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，，.‎ 易知平面的法向量，‎ 设面的法向量，‎ 由，得.‎ ‎∴.‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为．‎ ‎（1）求a，b的值； ‎ ‎（2）椭圆C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由．‎ 解、（1）、 ………………4分 ‎（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)．由（Ⅰ），知C的方程为＋＝1．由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1．由……….6分 消去x并化简整理，得(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0．由韦达定理，得y1＋y2＝－，‎ ‎∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－＋2＝，‎ ‎∴P(，－)………………9分 ‎∵点P在C上，∴＋＝1，化简得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝．当t＝时，L的方程为x－y－＝0；当t＝－时，L的方程为x＋y－＝0．故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时L的方程为x±y－＝0．………………12分 ‎21．已知函数f（x）=﹣1（b∈R，e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线经过点（2，﹣2）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）+ax（a∈R）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，不等式exf（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，求实数c的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）因为f（0）=b﹣1，所以过点（0，b﹣1），（2，﹣2）的直线的斜率为k=﹣，‎ 而f′（x）=﹣，由导数的几何意义可知，f′（0）=﹣b=﹣，‎ 所以b=1，所以f（x）=﹣1，则F（x）=ax+﹣1，F′（x）=a﹣，‎ 当a≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在R上单调递减；‎ 当a＞0时，由F′（x）=a﹣=0，得x=﹣lna，‎ 当x∈（﹣∞，﹣lna）时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减，‎ 当x∈（﹣lna，+∞）时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．‎ ‎（Ⅱ）不等式exf（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，即不等式ex+cx﹣c≥0恒成立，‎ 设g（x）=ex+cx﹣c，g（x）=ex+c，‎ 若c≥0，则g′（x）＞0，函数g（x）单调递增且不存在最小值，不满足题意；‎ 当c＜0时，由g′（x）=ex+c=0，得x=ln（﹣c），‎ 当x∈（﹣∞，ln（﹣c））时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；‎ 当x∈（ln（﹣c），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ 所以g（x）≥g（ln（﹣c））=﹣2c+cln（﹣c），‎ 要使得g（x）≥0恒成立，只需﹣2c+cln（﹣c）≥0恒成立，‎ 由于c＜0，所以有ln（﹣c）≤2，解得﹣e2≤c＜0，‎ 即当c∈[﹣e2，0）时，g（x）≥0恒成立，即ex+cx﹣c≥0恒成立，‎ 也即不等式exf（x）≤c（x﹣1）+1恒成立，所以实数c的取值范围为[﹣e2，0）．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中, 以坐标原点为极点, 以轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线,曲线为参数).‎ ‎（1）将直线化成直角坐标方程, 将曲线化成极坐标方程；‎ ‎（2）若平行于直线的直线与曲线相切, 求出的普通方程.‎ ‎22、解：（1）、直线：,则 的直角坐标方程为：,曲线：,即,曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）、设直线与曲线相切, 由（1）知曲线的圆心为半径为,则,解得或,所以的方程为或,即或 ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞0的解集；‎ ‎（2）若不等式|m+1|≥f（x+3）+3|x﹣2|有解，求实数m的取值范围．‎ 解：（1）不等式f（x）＞0，即|2x+1|﹣|x﹣2|＞0，‎ 由不等式|2x+1|＞|x﹣2|两边平方化简得：（3x﹣1）（x+3）＞0‎ 解得：x＜﹣3或x＞，‎ 所以不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣3 或 x＞；‎ ‎（2）由不等式|m+1|≥f（x+3）+3|x﹣2|有解，‎ 即|m+1|≥|2x+1|+|2x﹣4|有解，‎ 设g（x）=|2x+1|+|2x﹣4|，而 g（x）=|2x+1|+|2x﹣4|≥|2x+1﹣2x+4|=5，‎ 由|m+1|≥5，可得m≤﹣6 或m≥4．‎