2018-2019学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知条件p：，q：，则p是q的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．‎ 解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，‎ 由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，‎ 故选：A．‎ 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎2．已知命题,总有,则为 A．,使得 B．,使得 C．,总有 D．,总有 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由全称性命题的否定是特称性命题，可知选C.‎ ‎3．已知为等差数列的前n项和，，则等于　　‎ A． B．36 C．54 D．108‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列性质，利用等差数列前n项和公式得，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：为等差数列的前n项和，，‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎4．函数在上的最大值和最小值分别是（ ）‎ A．2，-18 B．-18，-25 C．2，-25 D．2，-20‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意得，‎ ‎ 令，解得或，‎ ‎ 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，‎ ‎ 所以函数的最小值为，‎ ‎ 又，则，所以函数的最大值为，故选C.‎ ‎5．中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是　　‎ A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且 B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且 C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且 D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由条件知，，依次成公比为的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n项和，即故答案为D.‎ ‎6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a，b，c成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：，b，c成等比数列，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 则，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7．已知变量满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图：‎ 可得当， 时取得最大值，所以，故选 ‎8．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ ‎，故选A.‎ 考点：抛物线的标准方程及其性质 ‎9．已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，求得k，求出的导数，计算可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 解：由直线是曲线在处的切线，‎ 曲线过可得，，‎ 即有，，，‎ 可得，则，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，函数求导，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎10．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，则点到抛物线的准线的距离也为5，即即抛物线的方程为 易得，即M的坐标为;双曲线的左顶点为，则，且的坐标为其渐近线方程为,而，‎ 又由若双曲线的一条渐近线与直线平行，则有,选A 考点：抛物线，双曲线的有关性质 ‎【名师点睛】本题考查双曲线与抛物线的有关性质，属容易题；解题时需要牢记双曲线的渐近线方程、顶点坐标等知识．同时也要理解记忆抛物线的定义，解题时才能得心应手.‎ ‎11．设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当达到最小值时，t的值为　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数：设，再利用导数求函数的单调性及极值：由，即函数在为减函数，在为增函数，即，得解．‎ ‎【详解】‎ 解：设，‎ 则，‎ 当时，，当时，，‎ 即函数在为减函数，在为增函数，‎ 所以时取极小值即，‎ 即当达到最小值时，t的值为1，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了建立函数解析式，函数求导，利用导数求函数的最值，属中档题．‎ ‎12．已知椭圆C：点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则离心率e的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得：，解不等式求解．‎ ‎【详解】‎ 解：，设，由M在椭圆上，则．‎ 所以，‎ 可得：，解不等式得 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若，则的最小值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知，然后利用基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，（当且仅当取等号）‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．‎ ‎14．函数的单调递增区间是______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求的导函数，利用，可得函数的单调递增区间．‎ ‎【详解】‎ 解：由，得 令，可得 故函数的单调递增区间是 故答案为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数知识的运用，函数求导，考查函数的单调性，属于基础题．‎ ‎15．在数列中，“，又，则数列的前n项和为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用等差数列的求和公式可得，可得，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 则，‎ 可得数列的前n项和 ‎．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的前项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题．‎ ‎16．设、分别为双曲线C：的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足，则该双曲线的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，，由已知条件知圆的方程为由，得，，又，，，，即双曲线的离心率为，故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、离心率及简单性质，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题平面向量夹角的余弦公式，建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．‎ 求角A的大小；‎ 设的面积为，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理，化简整理得，结合解出，从而可得A的值．‎ 由三角形的面积公式，从而解出，再结合基本不等式求最值，即可得到a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：．‎ 由正弦定理可得：，‎ 又，‎ 可得：，又 ‎．‎ ‎，的面积为，‎ 解得：，‎ 由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立．‎ 综上，边a的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用正余弦定理解三角形，三角形的面积公式和三角恒等变换及运用，基本不等式求值域等知识，由函数值求角，要考虑角的范围，属于中档题．‎ ‎18．已知； 函数有两个零点．‎ ‎(1)若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若为真命题， 为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）若为假命题，则两个命题均为假命题，先求出为真时参数的范围再求补集即可；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，则一真一假 试题解析：‎ 若为真，令，问题转化为求函数的最小值，‎ ‎，令，解得，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，故．‎ 若为真，则，或 ．‎ ‎(1)若为假命题，则均为假命题，实数的取值范围为．‎ ‎(2)若为真命题，为假命题，则一真一假．‎ 若真假，则实数满足，即；‎ 若假真，则实数满足，即．‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ ‎19．已知数列前n项和为，且．‎ 求数列的通项公式；‎ 设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用数列的递推式：时，，当时，，结合等比数列的通项公式，可得所求；‎ 求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：，可得，即，‎ 当时，，‎ 化为，所以为等比数列，‎ 则；‎ ‎，‎ 可得前n项和，‎ ‎，‎ 相减可得 ‎，‎ 化简可得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知抛物线C：焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．‎ Ⅰ求此抛物线C的方程；‎ Ⅱ过点做直线交抛物线C于A，B两点，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设抛物线C：，点，代入抛物线方程，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（Ⅱ）讨论当直线l斜率不存在时，求出A，B坐标，可得OA⊥OB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-4），联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证 试题解析：（1）设，点，则有 ‎，所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，此时，解得 满足 当直线斜率存在时，设，‎ 联立方程 设，则 综上，成立．‎ 考点：抛物线的方程和性质 ‎21．已知函数， .‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）当时，若直线： 与曲线没有公共点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，函数无极值；当时， 有极小值为，无极大值.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求得，可分和两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；‎ ‎（2）当时，把直线： 与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，即在上没有实数解，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）定义域为， .‎ ‎①当时， ， 为上的增函数，所以函数无极值.‎ ‎②当时，令，解得.‎ 当， ， 在上单调递减；‎ 当， ， 在上单调递增.‎ 故在处取得极小值，且极小值为，无极小值.‎ 综上，当时，函数无极值；‎ 当时， 有极小值为，无极大值.‎ ‎（2）当时， ，‎ 直线： 与曲线没有公共点，等价于关于的方程 在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，‎ 即在上没有实数解.‎ 令，则有.令，解得，‎ 当变化时， ， 的变化情况如下表：‎ 且当时， ； 时， 的最大值为；当时， ，‎ 从而的取值范围为.‎ 所以当时，方程无实数解，‎ 解得的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.‎ ‎22．已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为．‎ 求椭圆C的方程；‎ 直线l与椭圆C交于，两个不同点，O为坐标原点，若的面积为，证明：为定值．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由离心率为，，，由，解得：，，即可求得椭圆C的方程；‎ 直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，，，由三角形面积公式即可求得和的值，可得的值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用及韦达定理求得和的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得的面积，求得m和k的关系式，即可证明为定值.‎ ‎【详解】‎ 解：椭圆C：的焦点在x轴上，离心率为，，‎ 椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为，即，‎ 由，解得：，，‎ 椭圆的标准方程为：；‎ 证明：当直线轴时，，的面积，‎ 解得：，，‎ 故．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，‎ 联立可得：，‎ ‎，即，‎ 由韦达定理可知，．‎ ‎．‎ 点O到直线l的距离为 则的面积 ‎．‎ 整理得：，满足，代入 综上为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式及三角形面积公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．‎