数学卷·2018届河南省郑州四十七中高二下学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届河南省郑州四十七中高二下学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年河南省郑州四十七中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）‎ ‎1．复数（﹣+i）2对应的点位于复平面的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（　　）‎ A．C4H9 B．C4H10 C．C4H11 D．C6H12‎ ‎3．“z1与z2互为共轭复数”是“z1z2∈R”的（　　）条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎4．下面的图示中，是流程图的是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④‎ ‎5．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（　　）‎ A．合情推理 B．归纳推理 C．类比推理 D．演绎推理 ‎6．若z∈C且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎8．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（　　）‎ A．a，b，c，d全都大于等于0 B．a，b，c，d全为正数 C．a，b，c，d中至少有一个正数 D．a，b，c，d中至多有一个负数 ‎9．已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：‎ ‎①若m∥n，n⊂α，则m∥α；‎ ‎②若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥β；‎ ‎③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．‎ 其中正确的命题个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.5‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 回归方程是=bx+a，其中b=0.95，a=﹣b．则当x=6时，y的预测值为（　　）‎ A．8.1 B．8.2 C．8.3 D．8.4‎ ‎11．设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx），若0≤x≤2014π，则函数f（x）的各极大值之和为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（　　）‎ A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．设x，y为实数，且，则x+y=　　．‎ ‎14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到的数据如下，由最小二乘法求得回归方程，现发有一个数据看不清，请你推断出该 零件个数x ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y分钟 ‎63‎ ‎？‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎88‎ 数据的值为　　．‎ ‎15．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：‎ 现在加密密钥为y=loga（x+2），如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为　　．‎ ‎16．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四体的下列的一些性质，‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；‎ ‎③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．‎ 你认为比较恰当的是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．目前我省高考科目为文科考：语文，数学（文科），英语，文科综合（政治、历史、地理）；理科考：语文，数学（理科），英语，理科综合（物理、化学、生物）．请画出我省高考科目结构图．‎ ‎18．当实数m为何值时，，‎ ‎（1）为实数； ‎ ‎（2）为虚数； ‎ ‎（3）为纯虚数； ‎ ‎（4）复数z对应的点在复平面内的第二象限．‎ ‎19．关于复数z的方程z2﹣（a+i）z﹣（i+2）=0（a∈R），‎ ‎（1）若此方程有实数解，求a的值；‎ ‎（2）用反证法证明：对任意的实数a，原方程不可能有纯虚根．‎ ‎20．已知，且f（2）=1．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若在数列{an}中，a1=1，，计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；‎ ‎（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．‎ ‎21．北京时间4月14日，是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日，当天有大量网友关注此事．某网上论坛有重庆网友200人，四川网友300人．为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名网友，先分别统计他们在论坛的留言条数，再将留言条数分成5组：[40，50），[‎ ‎50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人，求恰好抽到2名重庆市网友的概率；‎ ‎（2）规定留言不少于60条为“强烈关注”，否则为“一般关注”．‎ 网友 强烈关注 一般关注 合计 重庆市 a=　　‎ b=　　‎ ‎　　‎ 四川省 c=　　‎ d=　　‎ ‎　　‎ 合计 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 完成上表，并判断是否有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关？‎ 附：临界值表及参考公式：K2=，n=a+b+c+d．‎ P（K2≥x0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ x0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎22．已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．‎ ‎（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若∀x1∈[e，e2]，∃x2∈[e，e2]，使g（x1）≤f′（x2）+2a成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省郑州四十七中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）‎ ‎1．复数（﹣+i）2对应的点位于复平面的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】首先进行复数的乘方运算，把所得的结果整理成复数的代数形式的标准形式，写出复数对应的点的坐标，看出点的位置．‎ ‎【解答】解：∵复数（﹣+i）2=﹣﹣，‎ ‎∴复数在复平面上对应的点的坐标是（﹣）‎ ‎∴对应的点位于复平面的第三象限，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（　　）‎ A．C4H9 B．C4H10 C．C4H11 D．C6H12‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C两个H，即可选出答案．‎ ‎【解答】解：由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C两个H，‎ 故后一种化合物的分子式是C4H10‎ 故选B ‎　‎ ‎3．“z1与z2互为共轭复数”是“z1z2∈R”的（　　）条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】设z1=a+bi（a，b∈R），z1与z2互为共轭复数，z2=a﹣bi，可得z1z2∈R．反之不成立，举例即可说明．‎ ‎【解答】解：设z1=a+bi（a，b∈R），z1与z2互为共轭复数，则z2=a﹣bi，‎ 则z1z2=a2+b2∈R．‎ 反之不成立：例如取z1=i，z2=2i，则z1z2=﹣2∈R．但是z1与z2不互为共轭复数．‎ ‎∴“z1与z2互为共轭复数”是“z1z2∈R”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．下面的图示中，是流程图的是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是程序框图、工序流程图、结构图的定义，根据程序框图、工序流程图、结构图的定义我们对四个框图逐一进行判断，即可得到答案 ‎【解答】解：∵流程图主要用来说明某一过程．‎ 这种过程既可以是生产线上的工艺流程，‎ 也可以是完成一项任务必需的管理过程．‎ 结构图：指以模块的调用关系为线索，‎ 用自上而下的连线表示调用关系并注明参数传递的方向和内容，‎ 从宏观上反映事物层次结构的图形 故①②为流程图，‎ ‎③④为结构图．‎ 故①②是流程图 故选A ‎　‎ ‎5．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（　　）‎ A．合情推理 B．归纳推理 C．类比推理 D．演绎推理 ‎【考点】进行简单的演绎推理．‎ ‎【分析】合情推理是指合乎情理的推理，在得到新结论之前，合情推理可以帮助我们猜测和发现结论，题目中所给的这种推理符合合情推理的形式．‎ ‎【解答】解：合情推理是指合乎情理的推理，‎ 在得到新结论之前，合情推理可以帮助我们猜测和发现结论，‎ 题目中所给的这种推理符合合情推理的形式，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．若z∈C且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】根据两个复数差的几何意义，求得|z﹣1﹣2i|的最小值．‎ ‎【解答】解：∵|z+2﹣2i|=1，∴复数z对应点在以C（﹣2，2）为圆心、以1为半径的圆上．‎ 而|z﹣1﹣2i|表示复数z对应点与点A（1，2）间的距离，‎ 故|z﹣1﹣2i|的最小值是|AC|﹣1=2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．‎ ‎【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．‎ 若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．‎ 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．‎ 故获奖的歌手是丙 故先C ‎　‎ ‎8．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（　　）‎ A．a，b，c，d全都大于等于0 B．a，b，c，d全为正数 C．a，b，c，d中至少有一个正数 D．a，b，c，d中至多有一个负数 ‎【考点】反证法．‎ ‎【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．‎ ‎【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，‎ 由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：‎ ‎①若m∥n，n⊂α，则m∥α；‎ ‎②若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥β；‎ ‎③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；‎ ‎④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．‎ 其中正确的命题个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】①，由线面关系得出m∥α或m⊂α；②‎ ‎，由垂直于同一直线的两个平面平行得到；③由面面平行的判定定理得到；④由面面垂直的性质定理得到．‎ ‎【解答】解：对于①，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，①不正确；‎ 对于②，若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β，显然成立；‎ 对于③，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，‎ 由面面平行的判定定理知它是不正确的；‎ 对于④，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α，‎ 由面面垂直的性质定理知它是正确的；综上所述，正确命题的个数为2，故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.5‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 回归方程是=bx+a，其中b=0.95，a=﹣b．则当x=6时，y的预测值为（　　）‎ A．8.1 B．8.2 C．8.3 D．8.4‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】线性回归方程=0.95x+2.6，必过样本中心点（，），首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程，代入x=6，可得y的预测值．‎ ‎【解答】解：由题意可知： ==2， ==4.5，‎ 由a=﹣b=4.5﹣0.95×2=2.6，‎ ‎∴=0.95x+2.6，‎ ‎∴当x=6， =0.95×6+2.6=8.3，‎ ‎∴y的预测值为8.3，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx），若0≤x≤2014π，则函数f（x）的各极大值之和为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e2kπ+π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ex（sinx﹣cosx），‎ ‎∴f′（x）=（ex）′（sinx﹣cosx）+ex（sinx﹣cosx）′=2exsinx，‎ ‎∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）递减，‎ 故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，‎ 其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]‎ ‎=e2kπ+π×（0﹣（﹣1））‎ ‎=e2kπ+π，‎ 又0≤x≤2014π，‎ ‎∴函数f（x）的各极大值之和 S=eπ+e3π+e5π+…+e2013π ‎=‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且 ‎，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（　　）‎ A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 ‎【考点】平面向量坐标表示的应用．‎ ‎【分析】由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．‎ A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．‎ ‎【解答】解：由已知可得（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），‎ 所以λ=c，μ=d，代入得（1）‎ 若C是线段AB的中点，则c=，代入（1）d不存在，故C不可能是线段AB的中点，A错误；同理B错误；‎ 若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．‎ 故选D ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．设x，y为实数，且，则x+y=　4　．‎ ‎【考点】复数相等的充要条件．‎ ‎【分析】利用复数除法的知识，将等式两边均化为a+bi的标准形式，再由复数相等列方程组求解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 而所以，‎ 解得x=﹣1，y=5，‎ 所以x+y=4．‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到的数据如下，由最小二乘法求得回归方程，现发有一个数据看不清，请你推断出该 零件个数x ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y分钟 ‎63‎ ‎？‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎88‎ 数据的值为　67　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9．代入样本中心点求出该数据的值．‎ ‎【解答】解：设表中有一个模糊看不清数据为m．‎ 由表中数据得： =30， =，‎ 由于由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9．‎ 将x=30，y=代入回归直线方程，得m=67．‎ 故答案为：67．‎ ‎　‎ ‎15．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：‎ 现在加密密钥为y=loga（x+‎ ‎2），如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为　14　．‎ ‎【考点】通讯安全中的有关概念；信息的加密与去密．‎ ‎【分析】根据题意中给出的解密密钥为y=loga（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，我们不难求出底数a的值，若接受方接到密文为“4”，不妨解密后得明文为b，构造方程，解方程即可解答．‎ ‎【解答】解：∵加密密钥为y=loga（x+2），‎ 由其加密、解密原理可知，‎ 当x=6时，y=3，从而a=2；‎ 不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b，‎ 则有4=log2（b+2），‎ 从而有b=24﹣2=14．‎ 即解密后得明文为14‎ 故答案为：14‎ ‎　‎ ‎16．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四体的下列的一些性质，‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；‎ ‎③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．‎ 你认为比较恰当的是　①②③　．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是类比推理，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，我们可以推断正四面体的相关性质．‎ ‎【解答】‎ 解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：‎ 由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；‎ 由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；‎ 由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；‎ 或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，‎ 故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；‎ ‎③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．‎ 都是恰当的 故答案为：①②③‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．目前我省高考科目为文科考：语文，数学（文科），英语，文科综合（政治、历史、地理）；理科考：语文，数学（理科），英语，理科综合（物理、化学、生物）．请画出我省高考科目结构图．‎ ‎【考点】结构图．‎ ‎【分析】由已知可得高考科目分文理两科，文科考：语文，数学（文科），英语，文科综合（政治、历史、地理）；理科考：语文，数学（理科），英语，理科综合（物理、化学、生物），可得我省高考科目结构图．‎ ‎【解答】解：我省高考科目结构图，如下所示：‎ ‎　‎ ‎18．当实数m为何值时，，‎ ‎（1）为实数； ‎ ‎（2）为虚数； ‎ ‎（3）为纯虚数； ‎ ‎（4）复数z对应的点在复平面内的第二象限．‎ ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念．‎ ‎【分析】（1）利用复数的虚部为0．求解即可．‎ ‎（2）复数的虚部不为0，求解即可．‎ ‎（3）复数的实部为0，虚部不为0，求解即可．‎ ‎（4）列出不等式组求解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎（1）z为实数； 可得m2+5m+6=0，解得m=﹣2或m=﹣3（舍去）．‎ ‎（2）z为虚数； 可得m2+5m+6≠0，解得m≠﹣2且m≠﹣3．‎ ‎（3）z为纯虚数； =0，m2+5m+6≠0，解得m=3．‎ ‎（4）复数z对应的点在复平面内的第二象限，‎ 可得：，‎ 解得m∈（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，3）．‎ ‎　‎ ‎19．关于复数z的方程z2﹣（a+i）z﹣（i+2）=0（a∈R），‎ ‎（1）若此方程有实数解，求a的值；‎ ‎（2）用反证法证明：对任意的实数a，原方程不可能有纯虚根．‎ ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程利用两个复数相等的充要条件，解方程求得a的值．‎ ‎（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，整理可得﹣n2+n﹣2+（﹣an﹣1）i=0，利用两个复数相等的充要条件 ‎ 可得，由于①的判别式△＜0，方程①无解，故方程组无解，从而得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）若此方程有实数解，设z=m∈R，代入方程可得 m2﹣（a+i）m﹣（i+2）=0，‎ 即m2﹣am﹣2+（﹣m﹣1）i=0，∴m2﹣am﹣2=0，且﹣m﹣1=0，‎ ‎∴m=﹣1，a=1．‎ ‎（2）假设原方程有纯虚根，令z=ni，n≠0，则有 （ni）2﹣（a+i）ni﹣（i+‎ ‎2）=0，‎ 整理可得﹣n2+n+（﹣an﹣a﹣2）i=0，∴．‎ ‎∴对于①，由于判别式△＜0，∴方程①无解，故方程组无解，故假设不成立，‎ 故原方程不可能有纯虚根．‎ ‎　‎ ‎20．已知，且f（2）=1．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若在数列{an}中，a1=1，，计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；‎ ‎（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．‎ ‎【考点】分析法和综合法；归纳推理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）因为，f（2）=1，可得=1，由此解得a的值．‎ ‎（Ⅱ）根据在{an}中，a1=1，，令n=1、2、3，即可求得a2，a3，a4的值，由此猜想通项公式an．‎ ‎（Ⅲ）由题意可得，即，根据等差数列的通项公式求出的通项公式，即可得到{an}的通项公式．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为，f（2）=1，‎ 所以=1，解得 a=2． …‎ ‎（Ⅱ）在{an}中，因为a1=1，．‎ 所以，，‎ ‎，‎ 所以猜想{an}的通项公式为．…‎ ‎（Ⅲ）证明：因为a1=1，，‎ 所以，即．‎ 所以是以为首项，公差为的等差数列．‎ 所以，所以通项公式．…‎ ‎　‎ ‎21．北京时间4月14日，是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日，当天有大量网友关注此事．某网上论坛有重庆网友200人，四川网友300人．为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名网友，先分别统计他们在论坛的留言条数，再将留言条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人，求恰好抽到2名重庆市网友的概率；‎ ‎（2）规定留言不少于60条为“强烈关注”，否则为“一般关注”．‎ 网友 强烈关注 一般关注 合计 重庆市 a=　32　‎ b=　8　‎ ‎　40　‎ 四川省 c=　39　‎ d=　21　‎ ‎　60　‎ 合计 ‎　71　‎ ‎　29　‎ ‎　100　‎ 完成上表，并判断是否有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关？‎ 附：临界值表及参考公式：K2=，n=a+b+c+d．‎ P（K2≥x0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ x0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（1）根据分层抽样原理，计算重庆、四川抽取的人数，求出样本中留言不足50条的网友中重庆、四川的人数，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；‎ ‎（2）根据题意，填写列联表，计算观测值K2，对照临界值表得出正确的结论．‎ ‎【解答】解：（1）根据分层抽样原理，重庆抽取100×=40人，‎ 所以四川抽取60人；‎ 样本中留言不足50条的网友中重庆有40×0.005×10=2人，记为A、B，‎ 四川有60×0.01×10=6人，可记为c、d、e、f、g、h，‎ 从中随机抽取2人，基本事件数为；‎ AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、‎ cd、ce、cf、cg、ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28种，‎ 恰好抽到2名重庆市网友的基本事件是AB，有1种，‎ 故所求的概率为P=；‎ ‎（2）规定留言不少于60条为“强烈关注”，否则为“一般关注”，填写列联表如下；‎ 网友 强烈关注 一般关注 合计 重庆市 a=32 ‎ b=8 ‎ ‎40‎ 四川省 c=39 ‎ d=21 ‎ ‎60‎ 合计 ‎71‎ ‎29‎ ‎100‎ 根据列联表，计算观测值K2==≈2.623＜2.706，‎ 对照临界值表知，没有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．‎ ‎（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若∀x1∈[e，e2]，∃x2∈[e，e2]，使g（x1）≤f′（x2）+2a成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（I）利用导数的运算法则可得g′（x），分别解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出其单调区间；‎ ‎（II）函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，可得f′（x）≤0恒成立，即≤0恒成立．通过分离参数转化为．，再利用二次函数的单调性即可得出；‎ ‎（III））由于∀x1∈[e，e2]，∃x2∈[e，e2]，使g（x1）≤f′（x2）+2a成立，可得 ‎．分别利用导数和二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）（x＞0且x≠1）．‎ 令g′（x）＞0，解得，x＞e，因此函数g（x）在区间（e，+∞）单调递增；‎ 令g′（x）＜0，解得0＜x＜e且x≠1，因此函数g（x）在区间（0，1），（1，e）单调递减．‎ ‎（II）f（x）=g（x）﹣ax=（x＞1）．f′（x）=．‎ ‎∵函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴f′（x）≤0恒成立，即≤0恒成立．‎ ‎∴．‎ ‎∵x＞1，∴lnx＞0，‎ ‎∴=≤，当lnx=2，即x=e2时取等号．‎ ‎∴．‎ ‎∴实数a的最小值是．‎ ‎（III）∵∀x1∈[e，e2]，∃x2∈[e，e2]，使g（x1）≤f′（x2）+2a成立，‎ ‎∴．‎ 由（I）可知：g（x1）在[e，e2]上单调递增，∴g（x1）max=g（e2）=．‎ ‎∵x∈[e，e2]，∴1≤lnx≤2，∴．‎ 令h（x）=f′（x）+2a=﹣a+2a==+≤a+．‎ ‎∴+．‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎2017年4月19日