高考数学人教A版（理）一轮复习：易失分点清零(十二) 解析几何(二)

高考数学人教A版（理）一轮复习：易失分点清零(十二) 解析几何(二)

易失分点清零(十二)　解析几何(二) 1. 已知动点 P(x，y)满足 5 (x－1)2＋(y－2)2＝|3x＋4y－11|，则 P 点的轨迹是 (　　)． A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 解析　由已知，得 (x－1)2＋(y－2)2＝|3x＋4y－11| 5 ，即动点 P(x，y)到定点(1,2) 和定直线 3x＋4y－11＝0 的距离相等，而定点(1,2)在直线 3x＋4y－11＝0 上， 所以P 点的轨迹是过点(1,2)且与直线 3x＋4y－11＝0 垂直的直线． 答案　A 2．“m>n>0”是“方程 mx2＋ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (　　)．[来源:学_科_网 Z_X_X_K] A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　要使 mx2＋ny2＝1，即x2 1 m ＋y2 1 n ＝1 是焦点在 y 轴上的椭圆须有Error!⇔ m>n>0，故互为充要条件． 答案　C 3．已知双曲线的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，双 曲线的一个焦点到一条渐近线 的距离为 5 3 c(c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为 (　　)． A. 5 2 B.3 2 C.3 5 2 D.2 3 解析　双曲线的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为 y＝b ax，即 bx－ay＝0，所 以焦点到渐近线的距离为 |bc| b2＋a2 ＝ 5 3 c，整理得 b2＝5 4a2，所以有 c2－a2＝5 4a2，c2 ＝9 4a2，即 c＝3 2a，离心率 e＝3 2 ，选 B. 答案　B 4．已知动点 P 在曲线 2 x2－y＝0 上移动，则点 A(0，－1)与点 P 连线中点的轨迹 方程是 (　　)． A．y＝2x 2 B．y＝8x2 C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1 解析　设 AP 中点为(x，y)，则 P(2x,2y＋1)在 2x2－y＝0 上，即 2(2x) 2－(2y＋1)＝ 0，∴2y＝8x2－1. 答案　C 5．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 与双曲线x2 12 －y2 4 ＝1 的一个焦点重合，直线 y ＝x－4 与抛物线交于 A，B 两点，则|AB|等于 (　　)． A．28 B．32 C．20 D．40 解析　双曲线 x2 12 －y2 4 ＝1 的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点 F 的坐标为(4,0)， 因此 p＝8，故抛物线方程为 y2＝16x，易知直线y＝x－4 过抛物线的焦点．所 以|AB|＝ 2p sin2α ＝ 2 × 8 ( 2 2 )2 ＝32(α 为直线 AB 的倾斜角)． 答案　B 6．若点 O 和点 F(－2,0)分别为双曲线x2 a2 －y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点 P 为双 曲线右支上的任意一点，则OP→ ·FP→ 的取值范围为 (　　)． A．[3－2 3，＋∞) B．[3＋2 3，＋∞) C.[－7 4 ，＋∞) D.[7 4 ，＋∞) 解析　由题意，得 22＝a2＋1，即 a＝ 3，设 P(x，y)，x≥ 3，FP→ ＝(x＋2，y)， 则OP→ ·FP→ ＝(x ＋2)x ＋y·y ＝x 2 ＋2x ＋x2 3 －1 ＝4 3(x＋3 4)2 －7 4 ，因为 x≥ 3，所以 OP→ ·FP→ 的取值范围为[3＋2 3，＋∞)． 答案　B 7．“点 M 在曲线 y2＝4x 上”是点 M 的坐标满足方程 y＝－2 x的 (　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　点 M 在曲线 y2＝4x 上，其坐标不一定满足方程 y＝－2 x，但当点 M 的 坐标满足方程 y＝－2 x时，则点 M 一定在曲线 y2＝4x 上，如点 M(4,4)时，故 选 B. 答案　B 8．设 θ 是三角形的一个内角，且 sin θ＋cos θ＝1 5 ，则方程 x2 sin θ ＋ y2 cos θ ＝1 所表示 的曲线为 (　　)． A．焦点在 x 轴上的椭圆 B．焦点在 y 轴上的椭圆 C．焦点在 x 轴上的双曲线 D．焦点在 y 轴上的双曲线 解析　由条件知 sin θ·cos θ＝－ 12 25 ，且 θ∈(0，π)，从而 sin θ>0，cos θ<0，故 选 C. 答案　C 9．(2012·山东)已知双曲线 C 1：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 9.若抛物线 C2： x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为 (　　)． A．x2＝8 3 3 y B．x2＝16 3 3 y C．x2＝8y D．x2＝16y 解析　双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax，由于c a ＝ a2＋b2 a2 ＝ 1＋(b a )2＝2， 所以b a ＝ 3，所以双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x.抛物线的焦点坐标为(0，p 2)， 所以 p 2 2 ＝2，所以 p＝8，所以抛物线方程为 x2＝16y. 答案　D 10．已知 F1、F2 为椭圆 E 的左、右焦点，抛物线 C 以 F1 为顶点，F2 为焦点，设 P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为 e，且|PF1|＝e|PF2|，则 e 的值为 (　　)． A. 2 2 B．2－ 3 C. 3 3 D．2－ 2 解析　设椭圆的中心在原点，焦距为 2c，则由题意，知抛物线的准线为 x＝－ 3c，由|PF1|＝e|PF2|，得|PF1| PF2 ＝e，由于 P 为椭圆与抛物线的一个公共点，设点 P 到抛物线的准线的距离为 d，则由抛物线的定义，知|PF1| d ＝e.又点 P 是椭圆 上的点，故抛物线的准线也是椭圆的左准线，所以a2 c ＝3c，解得 e＝ 3 3 . 答案　C 11．已知椭圆x2 4 ＋y2 m ＝1(m>0)的离心率等于 3 2 ，则 m＝________. 解析　(1)当椭圆的焦点在 x 轴上时，则由方程，得 a2＝4，即 a＝2.又 e＝c a ＝ 3 2 ， 所以 c＝ 3，m＝b2＝a2－c2＝22－( 3)2＝1. (2)当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的方程为y2 m ＋x2 4 ＝1. 则由方程，得 b2＝4，即 b＝2. 又 e＝c a ＝ 3 2 ，故 a2－b2 a ＝ 3 2 ，解得b a ＝1 2 ，即 a＝2b， 所以 a＝4.故 m＝a2＝16. 综上，m＝1 或 16.[来源:Z&xx&k.Com] 答案　1 或 16 12．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(b>a>0)，直线 l 过点 A(a,0)和 B(0，b)，且原点到直线 l 的距离为 3 4 c(c 为半焦距)，则双曲线的离心率为________． 解析　因为直线 l 过点 A(a,0)和 B(0，b)，所以其方程为x a ＋y b ＝1，即 bx＋ay－ ab＝0.又原点到直线 l 的距离为 3 4 c，所以 ab a2＋b2 ＝ 3 4 c.又 a2＋b2＝c2，所以 4ab ＝ 3c2，即 16a2(c2－a2)＝3c4.所以 3e4－16e2＋16＝0，解得 e2＝4 或 e2＝4 3.又 b>a>0，e2＝c2 a2 ＝a2＋b2 a2 >a2＋a2 a2 ＝2.所以 e2＝4，故 e＝2. 答案　2 13．已知 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN→ ＝2MP→ ，PM→ ⊥PF→ .当点 P 在 y 轴上运动时，N 点的轨迹 C 的方程为________． 解析　∵ MN→ ＝2 MP→ ，故 P 为 MN 中点．又∵PM→ ⊥PF→ ，P 在 y 轴上，F 为 (1,0)，故 M 在 x 轴的负半轴上，设 N(x，y)，则 M(－x,0)，P(0，y 2)，(x>0)，∴ PM→ ＝(－x，－y 2)，PF→ ＝(1，－y 2)，又∵PM→ ⊥PF→ ，∴PM→ ·PF→ ＝0，即－x＋y2 4 ＝ 0， ∴y2＝4x(x>0)是轨迹 C 的方程．[来源:学|科|网] 答案　y2＝4x(x>0) 14．设 F1、F2 分别是椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线 x＝a2 c 上存在 点 P ， 使 线 段 PF1 的 中 垂 线 过 点 F2 ， 则 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 ________． 解析　设点 P 的坐标为(a2 c ，y)，则 F 1P 的中点 Q 的坐标为(b2 2c ，y 2).当 y≠0 时， 则 kF1P ＝ cy b2＋2c2 ， kQF2 ＝ cy b2－2c2 ， 由 kF1P·kQF2 ＝ － 1 ， 得 y2 ＝ (b2＋2c2)(2c2－b2) c2 ，y2>0，即 2c2－b2>0，即 3c2－a2>0，即 e2>1 3 ，故 3 3 b>0)， Error!⇒Error! 所求椭圆的方程为x2 18 ＋y2 2 ＝1. (2)解　∵直线 l∥OM 且在 y 轴上的截距为 m， ∴直线 l 的方程为 y＝1 3x＋m.[来源:Zxxk.Com] 由Error!⇒2x2＋6mx＋9m2－18＝0. ∵直线 l 交椭圆于 A，B 两点， ∴Δ＝(6m)2－4×2×(9m2－18)>0⇒－2

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