高考数学二轮复习第二板块保分题全争取教学案理

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高考数学二轮复习第二板块保分题全争取教学案理

第二板块 保分题全争取 高考第 17 题之(一)三角函数与解三角形 [说明] 高考第 17 题主要集中在“三角函数与解三角形”与“数列”两个知识点命 题,每年选其一进行考查. 年 份 卷 别 考题位置 考查内容 命题规律分析 2017 全国卷Ⅰ 解答题第 17 题 正、余弦定理、三角形的面积公 式以及两角和的余弦公式 三角函数与 解三角形在解答 题中一般与三角 恒等变换、平面向 量等知识进行综 合考查.题目难度 中等偏下,多为解 答题第一题. 2017 全国卷Ⅱ 解答题第 17 题 诱导公式、二倍角公式、余弦定 理以及三角形的面积公式 2017 全国卷Ⅲ 解答题第 17 题 余弦定理、三角形的面积公式 2016 全国卷Ⅰ 解答题第 17 题 正、余弦定理及应用 2015 全国卷Ⅱ 解答题第 17 题 正弦定理、余弦定理、三角形的 面积公式 1.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积 为 a2 3sin A . (1)求 sin Bsin C; (2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题设得 1 2 acsin B= a2 3sin A , 即 1 2 csin B= a 3sin A . 由正弦定理得 1 2 sin Csin B= sin A 3sin A . 故 sin Bsin C=2 3 . (2)由题设及(1)得 cos Bcos C-sin Bsin C=-1 2 , 即 cos(B+C)=-1 2 . 所以 B+C=2π 3 ,故 A=π 3 . 由题设得 1 2 bcsin A= a2 3sin A ,即 bc=8. 由余弦定理得 b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9, 得 b+c= 33. 故△ABC 的周长为 3+ 33. 2.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求 C; (2)若 c= 7,△ABC 的面积为3 3 2 ,求△ABC 的周长. 解:(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即 2cos Csin(A+B)=sin C, 故 2sin Ccos C=sin C. 因为 C∈(0,π),所以 sin C≠0, 故 cos C=1 2 ,所以 C=π 3 . (2)由已知得 1 2 absin C=3 3 2 . 又 C=π 3 ,所以 ab=6. 由已知及余弦定理得 a2+b2-2abcos C=7, 故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25,即 a+b=5. 所以△ABC 的周长为 a+b+c=5+ 7. 题型一 正、余弦定理解三角形 [学规范] (1)S△ABD=1 2 AB·ADsin∠BAD,…………………………………………1 分 S△ADC=1 2 AC·ADsin∠CAD. …………………………………………2 分 因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD❶, 所以 AB=2AC. …………………………………………3 分 由正弦定理,得sin B sin C =AC AB =1 2 .…………………………………………4 分 (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC, 所以 BD= 2.…………………………………………6 分 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理,知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB❷,…………………………………………8 分 AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC❸. …………………………………………10 分 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. …………………………………………11 分 由(1),知 AB=2AC,所以 AC=1. …………………………………………12 分 [防失误] ①处易忽略角平分线性质而失分,注意平面图形的角平分线性质应用. ②③处若未注意到∠ADB+∠ADC=π会导致两式不知如何变形,注意三角形中角的关 系、三角形内角和定理的应用. [通技法] 利用正弦、余弦定理求解三角形中基本量的方法 [对点练] 1.(2017·云南模拟)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=π 3 ,AD∶ AB=2∶3,BD= 7,AB⊥BC. (1)求 sin ∠ABD 的值; (2)若∠BCD=2π 3 ,求 CD 的长. 解:(1)∵AD∶AB=2∶3,∴可设 AD=2k,AB=3k. 又 BD= 7,∠DAB=π 3 , ∴由余弦定理,得( 7)2=(3k)2+(2k)2-2×3k×2kcosπ 3 ,解得 k=1,∴AD=2,AB= 3, 由正弦定理,得 AD sin∠ABD = BD sin∠DAB , ∴sin∠ABD=ADsin∠DAB BD = 2× 3 2 7 = 21 7 . (2)∵AB⊥BC,∴cos∠DBC=sin∠ABD= 21 7 , ∴sin∠DBC=2 7 7 . 由正弦定理,得 BD sin∠BCD = CD sin∠DBC , ∴CD=BDsin∠DBC sin∠BCD = 7×2 7 7 3 2 =4 3 3 . 题型二 与三角形面积有关的问题 [学规范] (1)由题设及 A+B+C=π得 sin B=8sin2B 2 ,……………………………………………2 分 即 sin B=4(1-cos B)❶,………………………………………………………………3 分 故 17cos2B-32cos B+15=0,………………………………………………………4 分 解得 cos B=15 17 ,cos B=1(舍去)❷. ……………………………………………………6 分 (2)由 cos B=15 17 ,得 sin B= 8 17 ,………………………………………………………7 分 故 S△ABC=1 2 acsin B= 4 17 ac❸. ……………………………………………………………8 分 又 S△ABC=2,则 ac=17 2 .…………………………………………………………………9 分 由余弦定理及 a+c=6 得 b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac❹(1+cos B) ……………………………………………………………10 分 =36-2×17 2 × 1+15 17 =4. ……………………………………………………………………………………11 分 所以 b=2. ………………………………………………………………………………12 分 [防失误] ①处利用倍角公式时,易把 sin2B 2 =1-cos B 2 记为 sin2B 2 =1+cos B 2 ,导致化简结果错误. ②处根据三角形中内角的范围舍去 cos B=1 易忽视. ③处关键是利用(1)的结论,结合平方关系求出 sin B,由此明确面积公式的选择. ④处若出现 a+c 及 ac,则注意余弦定理中配方法的使用,以及整体思想的运用. [通技法] 与三角形面积有关的问题的解题模型 [对点练] 2.(2017·石家庄模拟)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(a-c)2 =b2-3 4 ac. (1)求 cos B 的值; (2)若 b= 13,且 sin A,sin B,sin C 成等差数列,求△ABC 的面积. 解:(1)由(a-c)2=b2-3 4 ac,可得 a2+c2-b2=5 4 ac. ∴cos B=a2+c2-b2 2ac =5 8 ,即 cos B=5 8 . (2)∵b= 13,cos B=5 8 , ∴b2=13=a2+c2-5 4 ac=(a+c)2-13 4 ac. 又 sin A,sin B,sin C 成等差数列, 由正弦定理,得 a+c=2b=2 13, ∴13=52-13 4 ac,∴ac=12. 由 cos B=5 8 ,得 sin B= 39 8 , ∴△ABC 的面积 S△ABC=1 2 acsin B=1 2 ×12× 39 8 =3 39 4 . 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c=8. (1)若 a=2,b=5 2 ,求 cos C 的值; (2)若 sin A+sin B=3sin C,且△ABC 的面积 S=9 2 sin C,求 a 和 b 的值. 解:(1)由题意可知 c=8-(a+b)=7 2 . 由余弦定理得, cos C=a2+b2-c2 2ab = 22+ 5 2 2- 7 2 2 2×2×5 2 =-1 5 . 即 cos C=-1 5 . (2)因为 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c. 又因为 a+b+c=8,故 a+b=6. ① 由于 S=1 2 absin C=9 2 sin C, 所以 ab=9, ② 由①②解得 a=3,b=3. 2.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin A+ 3cos A=0,a=2 7,b=2. (1)求 c; (2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD⊥AC,求△ABD 的面积. 解:(1)由已知可得 tan A=- 3,所以 A=2π 3 . 在△ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos 2π 3 , 即 c2+2c-24=0.解得 c=4(负值舍去). (2)由题设可得∠CAD=π 2 , 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π 6 . 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 1 2 AB·AD·sin π 6 1 2 AC·AD =1. 又△ABC 的面积为1 2 ×4×2×sin2π 3 =2 3, 所以△ABD 的面积为 3. 3.(2017·天津模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 sin A+cos A=1-sinA 2 . (1)求 sin A 的值; (2)若 c2-a2=2b,且 sin B=3cos C,求 b. 解:(1)由已知,2sinA 2 cosA 2 +1-2sin2A 2 =1-sinA 2 , 在△ABC 中,sinA 2 ≠0,因而 sinA 2 -cosA 2 =1 2 , 则 sin2A 2 -2sinA 2 cosA 2 +cos2A 2 =1 4 , 因而 sin A=3 4 . (2)由已知 sin B=3cos C, 结合(1),得 sin B=4cos Csin A. 法一:利用正弦定理和余弦定理得 b=4 a2+b2-c2 2ab ×a,整理得 b2=2(c2-a2). 又 c2-a2=2b,∴b2=4b, 在△ABC 中,b≠0,∴b=4. 法二:∵c2=a2+b2-2abcos C, ∴2b=b2-2abcos C, 在△ABC 中,b≠0, ∴b=2+2acos C, ① 又 sin B=4cos Csin A, 由正弦定理,得 b=4acos C, ② 由①②解得 b=4. 4.(2017·天津五区县模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 8 sin2A+B 2 -2cos 2C=7. (1)求 tan C 的值; (2)若 c= 3,sin B=2sin A,求 a,b 的值. 解:(1)在△ABC 中,因为 A+B+C=π, 所以A+B 2 =π 2 -C 2 ,则 sinA+B 2 =cosC 2 . 由 8sin2A+B 2 -2cos 2C=7,得 8cos2C 2 -2cos 2C=7, 所以 4(1+cos C)-2(2cos2C-1)=7, 即(2cos C-1)2=0,所以 cos C=1 2 . 因为 0<C<π,所以 C=π 3 , 于是 tan C=tanπ 3 = 3. (2)由 sin B=2sin A,得 b=2a. ① 又 c= 3,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosπ 3 , 即 a2+b2-ab=3. ② 联立①②,解得 a=1,b=2. 5.(2018 届高三·湘中名校联考)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,a=2bsin A. (1)求 B 的大小; (2)求 cos A+sin C 的取值范围. 解:(1)∵a=2bsin A, 根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,∵sin A≠0, ∴sin B=1 2 .又△ABC 为锐角三角形,∴B=π 6 . (2)∵B=π 6 ,∴cos A+sin C=cos A+sin π-π 6 -A =cos A+sin π 6 +A =cos A+1 2 cos A+ 3 2 sin A = 3sin A+π 3 . 由△ABC 为锐角三角形知,A+B>π 2 , ∴π 3 <A<π 2 ,∴2π 3 <A+π 3 <5π 6 , ∴1 2 <sin A+π 3 < 3 2 , ∴ 3 2 < 3sin A+π 3 <3 2 , ∴cos A+sin C 的取值范围为 3 2 ,3 2 . 6.(2017·洛阳模拟)如图,平面四边形 ABDC 中,∠CAD=∠BAD= 30°. (1)若∠ABC=75°,AB=10,且 AC∥BD,求 CD 的长; (2)若 BC=10,求 AC+AB 的取值范围. 解:(1)由已知,易得∠ACB=45°, 在△ABC 中, 10 sin 45° = CB sin 60° ,解得 CB=5 6. 因为 AC∥BD,所以∠ADB=∠CAD=30°,∠CBD=∠ACB=45°, 在△ABD 中,∠ADB=30°=∠BAD, 所以 DB=AB=10. 在△BCD 中,CD= CB2+DB2-2CB·DBcos 45°=5 10-4 3. (2)AC+AB>BC=10, 由余弦定理得 cos 60°=AB2+AC2-100 2AB·AC , 即(AB+AC)2-100=3AB·AC. 又 AB·AC≤ AB+AC 2 2, 所以 AB+AC 2-100 3 ≤ AB+AC 2 2, 解得 AB+AC≤20, 故 AB+AC 的取值范围为(10,20]. 高考第 17 题之(二)数 列 年 份 卷 别 考题位置 考查内容 命题规律分析 2016 全国卷Ⅱ 解答题第 17 题 等差数列的基本运 算 数列在解答题中的考查常以数 列的相关项以及关系式,或数列的 前 n 项和与第 n 项的关系入手,结 合数列的递推关系式与等差数列或 等比数列的定义展开,求解数列的 通项、前 n 项和,有时与参数的求 解、数列不等式的证明等加以综 合.试题难度中等. 2016 全国卷Ⅲ 解答题第 17 题 等比数列的通项公 式、an 与 Sn 的关系 2015 全国卷Ⅰ 解答题第 17 题 等差数列的通项公 式、an 与 Sn 的关系、 裂项相消法求和 1.(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S5=31 32 ,求λ. 解:(1)证明:由题意得 a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1= 1 1-λ ,故 a1≠0. 由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1 得 an+1=λan+1-λan, 即 an+1(λ-1)=λan. 由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0, 所以an+1 an = λ λ-1 . 因此{an}是首项为 1 1-λ , 公比为 λ λ-1 的等比数列, 于是 an= 1 1-λ λ λ-1 n-1. (2)由(1)得 Sn=1- λ λ-1 n. 由 S5=31 32 得 1- λ λ-1 5=31 32 ,即 λ λ-1 5= 1 32 . 解得λ=-1. 2.(2015·全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,a2 n+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 anan+1 ,求数列{bn}的前 n 项和. 解:(1)由 a2 n+2an=4Sn+3,① 可知 a2 n+1+2an+1=4Sn+1+3.② ②-①,得 a2 n+1-a2 n+2(an+1-an)=4an+1, 即 2(an+1+an)=a2 n+1-a2 n=(an+1+an)(an+1-an). 由 an>0,得 an+1-an=2. 又 a2 1+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3. 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1. (2)由 an=2n+1 可知 bn= 1 anan+1 = 1 2n+1 2n+3 =1 2 1 2n+1 - 1 2n+3 . 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn =1 2 1 3 -1 5 + 1 5 -1 7 +…+ 1 2n+1 - 1 2n+3 = n 3 2n+3 . 题型一 等差、等比数列的判定及应用 [学规范] (1)设{an}的公比为 q. 由 题 设 可 得 a1 1+q =2, a1 1+q+q2 =-6. ❶………………………………………………………3 分 解得 a1=-2, q=-2. 5 分 故{an}的通项公式为 an=(-2)n. …………………………………………………………6 分 (2)由(1)可得 Sn= -2× [1- -2 n] 1- -2 =-2 3 +(-1)n2n+1 3 ❷. ……………………………………………………………………8 分 由于 Sn+2+Sn+1=-4 3 +(-1)n2n+3-2n+2 3 =2 -2 3 + -1 n2n+1 3 =2Sn ❸,………………………………………………………10 分 故 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列. ………………………………………………………12 分 [防失误] ①处注意此类方程组的整体运算方法的运用,可快速求解. ②处化简 Sn 时易出现计算错误. ③处对于 Sn+2+Sn+1 的运算代入后,要针对目标,即化为 2Sn,观察结构,整体运算变形, 可得结论. [通技法] 1.等比数列的 4 种判定方法 (1)定义法:若an+1 an =q(q 为非零常数)或 an an-1 =q(q 为非零常数且 n≥2),则{an}是等比数 列. (2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0 且 a2 n+1=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·qn(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*), 则{an}是等比数列. (4)前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k·qn-k(k 为常数且 k≠0,q≠0,1), 则{an}是等比数列. 2.证明一个数列{an}为等差数列的 2 种基本方法 (1)利用等差数列的定义证明,即证明 an+1-an=d(n∈N*); (2)利用等差中项证明,即证明 an+2+an=2an+1(n∈N*). [对点练] 1.(2017·成都模拟)已知数列{an}满足 a1=-2,an+1=2an+4. (1)证明:数列{an+4}是等比数列; (2)求数列{|an|}的前 n 项和 Sn. 解:(1)证明:∵a1=-2,∴a1+4=2. ∵an+1=2an+4,∴an+1+4=2an+8=2(an+4), ∴an+1+4 an+4 =2, ∴{an+4}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1),可知 an+4=2n,∴an=2n-4. 当 n=1 时,a1=-2<0,∴S1=|a1|=2; 当 n≥2 时,an≥0. ∴Sn =-a1 +a2 +…+an =2+(22 -4)+…+(2n -4)=2+22 +…+2n -4(n-1)= 2 1-2n 1-2 -4(n-1)=2n+1-4n+2. 又当 n=1 时,上式也满足. ∴当 n∈N*时,Sn=2n+1-4n+2. 题型二 等差、等比数列的综合应用 [学规范] (1)设数列{an}的公差为 d,由已知得 7+21d=28, 解得 d=1. 所以数列{an}的通项公式为 an=n. ………………………………………………………2 分 b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2❶. ………………………………………………………………………………………………5 分 (2)因为 bn= 0,1≤n<10, 1,10≤n<100, 2,100≤n<1 000, 3,n=1 000, ❷………………………………………………9 分 所以数列{bn}的前 1 000 项和为 1×90+2×900+3×1=1 893. ………………………12 分 [防失误] ①处易出现不理解[x]的含义而求错值,注意理解题目中给出的例子. ②处不明白 bn=[lg an]的含义而求错 bn,要抓住 lg an 与 an 的关系,分段要明确才能避 免失误. [通技法] 等差、等比数列基本量的计算模型 (1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题.如为求 和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的逻辑次序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则 要看其是否有等于 1 的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示 等. [对点练] 2.(2017·合肥模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S4=24,S7=63. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2an+(-1)n·an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)∵{an}为等差数列, ∴ S4=4a1+4×3 2 d=24, S7=7a1+7×6 2 d=63, 解得 a1=3, d=2, ∴an=2n+1. (2)∵bn=2an+(-1)n·an=22n+1+(-1)n·(2n+1)=2×4n+(-1)n·(2n+1), ∴Tn=2×(41+42+…+4n)+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=8 4n-1 3 +Gn. 当 n=2k(k∈N*)时,Gn=2×n 2 =n, ∴Tn=8 4n-1 3 +n; 当 n=2k-1(k∈N*)时,Gn=2×n-1 2 -(2n+1)=-n-2, ∴Tn=8 4n-1 3 -n-2, ∴Tn= 8 4n-1 3 +n n=2k,k∈N* , 8 4n-1 3 -n-2 n=2k-1,k∈N* . 1.(2017· 长沙模拟)已知数列{an}满足 a1=3 2 ,an+1=3an-1(n∈N*). (1)若数列{bn}满足 bn=an-1 2 ,求证:{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解:(1)证明:由已知得 an+1-1 2 =3 an-1 2 (n∈N*),从而有 bn+1=3bn.又 b1=a1-1 2 =1, 所以{bn}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列. (2)由(1)得 bn=3n-1,从而 an=3n-1+1 2 , 所以 Sn=1+1 2 +3+1 2 +…+3n-1+1 2 =1+3+…+3n-1+n 2 =1-3n 1-3 +n 2 =3n+n-1 2 . 2.(2017·云南模拟)已知数列{an}中,a2 n+2an-n2+2n=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由 a2 n+2an-n2+2n=0, 得(an-n+2)(an+n)=0. ∴an=n-2 或 an=-n. ∴{an}的通项公式为 an=n-2 或 an=-n. (2)①当 an=n-2 时,易知{an}为等差数列,且 a1=-1, ∴Sn=n a1+an 2 =n -1+n-2 2 =n n-3 2 . ②当 an=-n 时,易知{an}也为等差数列,且 a1=-1, ∴Sn=n a1+an 2 =n -1-n 2 =-n n+1 2 . 故 Sn= n n-3 2 an=n-2 , -n n+1 2 an=-n . 3.(2017·南京模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,S3+S4=S5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n-1an,求数列{bn}的前 2n 项和 T2n. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由 S3+S4=S5,可得 a1+a2+a3=a5,即 3a2=a5, 所以 3(1+d)=1+4d,解得 d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1),可得 bn=(-1)n-1·(2n-1). ∴T2n=1-3+5-7+…+(4n-3)-(4n-1) =(1-3)+(5-7)+…+(4n-3-4n+1) =(-2)×n=-2n. 4.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前 n 项和为 Sn.数列{bn}为等比数列,b1 =1,且 b2S2=6,b2+S3=8. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)求1 S1 +1 S2 +…+1 Sn . 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,d>0,等比数列{bn}的公比为 q, 则 an=1+(n-1)d,bn=qn-1. 依题意有 q 2+d =6, q+3+3d=8, 解得 d=1, q=2 或 d=-4 3 , q=9 (舍去). 故 an=n,bn=2n-1. (2)由(1)知 Sn=1+2+…+n=1 2 n(n+1), 即1 Sn = 2 n n+1 =2 1 n - 1 n+1 , 故1 S1 +1 S2 +…+1 Sn =2 1-1 2 + 1 2 -1 3 +…+ 1 n - 1 n+1 =2 1- 1 n+1 = 2n n+1 . 5.(2018 届高三·惠州调研)已知数列{an}中,点(an,an+1)在直线 y=x+2 上,且首项 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,请写出适合条件 Tn≤Sn 的所有 n 的值. 解:(1)根据已知 a1=1,an+1=an+2, 即 an+1-an=2=d, 所以数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, an=a1+(n-1)d=2n-1. (2)数列{an}的前 n 项和 Sn=n2. 等比数列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3, 所以 q=3,bn=3n-1. 数列{bn}的前 n 项和 Tn=1-3n 1-3 =3n-1 2 . Tn≤Sn 即3n-1 2 ≤n2,又 n∈N*, 所以 n=1 或 2. 6.(2017·石家庄模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2 =14(m≥2,且 m∈N*). (1)求 m 的值; (2)若数列{bn}满足an 2 =log2bn(n∈N*),求数列{(an+6)·bn}的前 n 项和. 解:(1)由已知得,am=Sm-Sm-1=4, 且 am+1+am+2=Sm+2-Sm=14, 设数列{an}的公差为 d,则有 2am+3d=14, ∴d=2. 由 Sm=0,得 ma1+m m-1 2 ×2=0, 即 a1=1-m, ∴am=a1+(m-1)×2=m-1=4, ∴m=5. (2)由(1)知 a1=-4,d=2,∴an=2n-6, ∴n-3=log2bn,得 bn=2n-3, ∴(an+6)·bn=2n×2n-3=n×2n-2. 设数列{(an+6)·bn}的前 n 项和为 Tn, 则 Tn=1×2-1+2×20+…+(n-1)×2n-3+n×2n-2,① 2Tn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,② ①-②,得-Tn=2-1+20+…+2n-2-n×2n-1 =2-1 1-2n 1-2 -n×2n-1 =2n-1-1 2 -n×2n-1, ∴Tn=(n-1)×2n-1+1 2 (n∈N*). 高考第 18 题(或 19 题)立体几何 年 份 卷 别 考题位置 考查内容 命题规律分析 2017 全 国 卷Ⅰ 解答题第 18 题 线面垂直、面面垂直的证明 及二面角的求解 高考中此部分命题 较为稳定,以解答题的 形式考查空间平行关系 和垂直关系的证明,空 间几何体表面积和体积 的计算,异面直线所成 的角、线面角和二面角 的求解,简单的空间距 离的求解,难度中等偏 上.其中解答题的基本 模式是既有证明也有计 算,而计算离不开证明, 以考查证明为主. 2017 全 国 卷Ⅱ 解答题第 19 题 线面平行的证明及二面角 的求解 2017 全 国 卷Ⅲ 解答题第 19 题 面面垂直的证明及二面角 的求解 2016 全 国 卷Ⅰ 解答题第 18 题 面面垂直的证明及二面角 的求解 2016 全 国 卷Ⅱ 解答题第 19 题 线面垂直的证明及二面角 的求解 2016 全 国 卷Ⅲ 解答题第 19 题 线面平行的证明及线面角 的求解 2015 全 国 卷Ⅰ 解答题第 18 题 面面垂直的证明、异面直线 所成角的求解 2015 全 国 卷Ⅱ 解答题第 19 题 空间点线面的位置关系及 线面角的求解 1.(2017·全国卷Ⅲ)如图,四面体 ABCD 中,△ABC 是正三角 形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD. (1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成 体积相等的两部分,求二面角 DAEC 的余弦值. 解:(1)证明:由题设可得,△ABD≌△CBD,从而 AD=DC. 又△ACD 是直角三角形,所以∠ADC=90°. 取 AC 的中点 O,连接 DO,BO,则 DO⊥AC,DO=AO. 又因为△ABC 是正三角形,所以 BO⊥AC. 所以∠DOB 为二面角 DACB 的平面角. 在 Rt△AOB 中,BO2+AO2=AB2. 又 AB=BD, 所以 BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2, 故∠DOB=90°. 所以平面 ACD⊥平面 ABC. (2)由题设及(1)知,OA,OB,OD 两两垂直.以 O 为坐标原点, OA―→的方向为 x 轴正方 向,| OA―→|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则 A(1,0,0),B(0, 3, 0),C(-1,0,0),D(0,0,1). 由题设知,四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的1 2 ,从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的1 2 ,即 E 为 DB 的中点,得 E 0, 3 2 ,1 2 .故 AD―→=(-1,0,1),AC―→=(- 2,0,0), AE―→= -1, 3 2 ,1 2 . 设 n=(x1,y1,z1)是平面 DAE 的法向量, 则 n· AD―→=0, n· AE―→=0, 即 -x1+z1=0, -x1+ 3 2 y1+1 2 z1=0. 可取 n= 1, 3 3 ,1 . 设 m=(x2,y2,z2)是平面 AEC 的法向量, 则 m· AC―→=0, m· AE―→=0, 即 -2x2=0, -x2+ 3 2 y2+1 2 z2=0, 可取 m=(0,-1, 3). 则 cos〈n,m〉= n·m |n||m| = - 3 3 + 3 21 3 ×2 = 7 7 . 由图知二面角 DAEC 为锐角, 所以二面角 DAEC 的余弦值为 7 7 . 2.(2016·全国卷Ⅰ)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五 面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60°. (1)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC; (2)求二面角 EBCA 的余弦值. 解:(1)证明:由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE,且 DF∩EF=F, 所以 AF⊥平面 EFDC. 又 AF⊂平面 ABEF, 故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2)过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G. 由(1)知 DG⊥平面 ABEF. 以 G 为坐标原点, GF―→的方向为 x 轴正方向,| GF―→|为单位长,建立如图所示的空间直 角坐标系 G xyz. 由(1)知∠DFE 为二面角 D AFE 的平面角, 故∠DFE=60°,则 DF=2,DG= 3, 可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 3). 由已知得 AB∥EF,所以 AB∥平面 EFDC. 又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD, 故 AB∥CD,CD∥EF. 由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC, 所以∠CEF 为二面角 CBEF 的平面角,∠CEF=60°. 从而可得 C(-2,0, 3). 所以 EC―→=(1,0, 3), EB―→=(0,4,0), AC―→=(-3,-4, 3), AB―→=(-4,0,0). 设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量, 则 n· EC―→=0, n· EB―→=0, 即 x+ 3z=0, 4y=0, 所以可取 n=(3,0,- 3). 设 m 是平面 ABCD 的法向量,则 m· AC―→=0, m· AB―→=0, 同理可取 m=(0, 3,4). 则 cos 〈n,m〉= n·m |n||m| =-2 19 19 . 由图知,二面角 EBCA 为钝角, 故二面角 EBCA 的余弦值为-2 19 19 . 3.(2015·全国卷Ⅰ)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E, F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF, AE⊥EC. (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 解:(1)证明:如图,连接 BD,设 BD∩AC 于点 G,连接 EG, FG,EF.在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1. 由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3.由 BE⊥平面 ABCD,AB =BC, 可知 AE=EC. 又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC. 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 2 2 . 在 Rt△FDG 中,可得 FG= 6 2 . 在直角梯形 BDFE 中, 由 BD=2,BE= 2,DF= 2 2 , 可得 EF=3 2 2 . 从而 EG2+FG2=EF2,所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG=G,所以 EG⊥平面 AFC. 因为 EG⊂平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC. (2)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB―→, GC―→的方向为 x 轴,y 轴正方向,| GB―→|为单 位长度,建立空间直角坐标系 Gxyz.由(1)可得 A(0,- 3,0),E(1,0, 2),F -1,0, 2 2 , C(0, 3,0), 所以 AE―→=(1, 3, 2), CF―→= -1,- 3, 2 2 . 故 cos〈 AE―→,CF―→〉= AE―→· CF―→ | AE―→|| CF―→| =- 3 3 . 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 3 3 . 题型一 平行、垂直关系的证明与线面角求法 [学规范] (1)证明:由已知得 AM=2 3 AD=2. ……………………………………………………1 分 又 AD∥BC,BC=4. 所以 AM 綊 1 2 BC. ………………………………………………2 分 取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC,TN =1 2 BC=2❶. ……………………………………………………3 分 故 TN 綊 AM , 所 以 四 边 形 AMNT 为 平 行 四 边 形 , 于 是 MN ∥ AT. ……………………4 分 因为 MN⊄ 平面 PAB❷,AT⊂平面 PAB,………………………………………………5 分 所以 MN∥平面 PAB.6 分 (2)取 BC 的中点 E,连接 AE. 由 AB=AC 得 AE⊥BC,从而 AE⊥AD,………………………………………………7 分 且 AE= AB2-BE2= AB2- BC 2 2= 5.……………………………………………8 分 以 A 为坐标原点, AE―→的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz❸.9 分 由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C( 5,2,0),N 5 2 ,1,2 , PM―→=(0,2,-4), PN―→= 5 2 ,1,-2 , AN―→= 5 2 ,1,2 . 设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量, 则 n· PM―→=0, n· PN―→=0, 即 2y-4z=0, 5 2 x+y-2z=0, ……………………………………10 分 可取 n=(0,2,1)❹. ……………………………………………………………………11 分 于是|cos〈n,AN―→〉|= |n· AN―→| |n|| AN―→| =8 5 25 . 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值❺为8 5 25 .…………………………12 分 [防失误] ①处易忽视 TN 綊 1 2 BC,导致没有思路建立平行关系,注意平面图形性质的应用. ②处在证明线面平行问题时,易忽视线不在面内这一条件从而失分,注意线面平行条件 使用的规范化. ③处建立恰当坐标系是要选准原点及坐标轴,注意建系的原则是尽可能使几何体的点、 面在坐标平面上. ④处求法向量 n 有无穷多个,但要注意取值时要尽量简单. ⑤处易误认为|cos〈n,AN―→〉|的值是线面角的余弦值,注意 sin θ=|cos〈n,AN―→〉 |. [通技法] 利用空间向量求线面角的解题模型 [对点练] 1.(2017·云南模拟)如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底 面 ABCD,PA=2,∠ABC=90°,AB= 3,BC=1,AD=2 3,∠ACD =60°,E 为 CD 的中点. (1)求证:BC∥平面 PAE; (2)求直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值. 解:(1)证明:∵AB= 3,BC=1,∠ABC=90°, ∴AC=2,∠BCA=60°. 在△ACD 中, ∵AD=2 3,AC=2,∠ACD=60°, ∴由余弦定理可得, AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠ACD, ∴CD=4, ∴AC2+AD2=CD2, ∴△ACD 是直角三角形. 又 E 为 CD 的中点,∴AE=1 2 CD=CE, 又∠ACD=60°,∴△ACE 是等边三角形, ∴∠CAE=60°=∠BCA,∴BC∥AE. 又 BC⊄ 平面 PAE,AE⊂平面 PAE, ∴BC∥平面 PAE. (2)由(1)可知∠BAE=90°,以点 A 为原点,以 AB,AE,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 P(0,0,2),B( 3,0,0),C( 3,1,0),D(- 3,3,0), ∴ PB―→=( 3,0,-2), PC―→=( 3,1,-2), PD―→=(- 3, 3,-2). 设 n=(x,y,z)为平面 PBC 的法向量, 则 n· PB―→=0, n· PC―→=0, 即 3x-2z=0, 3x+y-2z=0, 令 x=1,得 z= 3 2 ,y=0,∴n= 1,0, 3 2 , ∴|cos〈n,PD―→〉|= |n·| PD―→| |n|·| PD―→| = 2 3 7 4 · 16 = 21 7 , ∴直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 21 7 . 题型二 平行、垂直关系的证明与二面角的求法 [学规范] (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°, 得 AB⊥AP,CD⊥PD. ……………………………………………………………………2 分 因为 AB∥CD,所以 AB⊥PD. …………………………………………………………3 分 又 AP∩PD=P❶,所以 AB⊥平面 PAD. …………………………………………………4 分 又 AB⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD. ………………………………………5 分 (2)在平面 PAD 内作 PF⊥AD,垂足为 F. 由(1)可知,AB⊥平面 PAD❷, 故 AB⊥PF, 可得 PF⊥平面 ABCD. 以 F 为坐标原点, FA―→的方向为 x 轴正方向,| AB―→|为单位长度,建立如图所示的空间 直角坐标系 Fxyz. 由(1)及已知可得 A 2 2 ,0,0 ,P 0,0, 2 2 ,B 2 2 ,1,0 , C - 2 2 ,1,0 . 所以 PC―→= - 2 2 ,1,- 2 2 , CB―→=( 2,0,0), PA―→= 2 2 ,0,- 2 2 , AB―→=(0,1,0). …………………………………………………8 分 设 n=(x1,y1,z1)是平面 PCB 的法向量, 则 n· PC―→=0, n· CB―→=0, 即 - 2 2 x1+y1- 2 2 z1=0, 2x1=0. 所以可取 n=(0,-1,- 2)❸. …………………………………………………………9 分 设 m=(x2,y2,z2)是平面 PAB 的法向量, 则 m· PA―→=0, m· AB―→=0, 即 2 2 x2- 2 2 z2=0, y2=0. 所以可取 m=(1,0,1)❹.10 分 则 cos〈n,m〉= n·m |n||m| = - 2 3× 2 =- 3 3 .………………………………………………11 分 由图知二面角 APBC 为钝角❺, 所以二面角 APBC 的余弦值为- 3 3 .…………………………………………………12 分 [防失误] ①处易忽视 AP∩PD=P 是证明线面垂直的关键条件,注意线面垂直判定定理中条件使用 的规范化. ②处易忽视充分利用(1)的结论,导致无法准确得到创设空间直角坐标系的条件. ③④处易求错法向量导致后面结果全部错误,注意法向量的求法. ⑤处易忽视结合图形判断所求二面角是锐角还是钝角,导致给出错误答案. [通技法] 利用空间向量求二面角的解题模型 [对点练] 2.(2017·贵阳模拟)如图所示,该几何体由一个直三棱柱 ADEBCF 和一个正四棱锥 PABCD 组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2. (1)证明:平面 PAD⊥平面 ABFE; (2)若正四棱锥 PABCD 的高为 1,求二面角 CAFP 的余弦值. 解:(1)证明:∵直三棱柱 ADEBCF 中,AB⊥平面 ADE, ∴AB⊥AD,又 AD⊥AF,AB∩AF=A, ∴AD⊥平面 ABFE,∵AD⊂平面 PAD, ∴平面 PAD⊥平面 ABFE. (2)∵AD∥BC,AD⊥平面 ABFE,∴BC⊥平面 ABFE,且 AB⊥BF,以 B 为坐标原点,BA,BF,BC 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系 Bxyz. ∵正四棱锥 PABCD 的高为 1, AE=AD=2, ∴A(2,0,0),F(0,2,0),C(0,0,2),P(1,-1,1), ∴ AF―→=(-2,2,0), CF―→=(0,2,-2), PA―→=(1,1,-1), 设 n1=(x1,1,z1)是平面 ACF 的一个法向量, 则 n1· AF―→=0, n1· CF―→=0, 即 -2x1+2=0, 2-2z1=0, 解得 x1=1,z1=1,即 n1=(1,1,1). 设 n2=(x2,1,z2)是平面 PAF 的一个法向量, 则 n2· AF―→=0, n2· PA―→=0, 即 -2x2+2=0, x2+1-z2=0, 解得 x2=1,z2=2,即 n2=(1,1,2). ∴cos〈n1,n2〉= n1·n2 |n1|·|n2| =1+1+2 3× 6 =2 2 3 , 由图知,二面角 CAFP 是锐角, ∴二面角 CAFP 的余弦值是2 2 3 . 1.(2018 届高三·广西五校联考)如图,菱形 ABCD 中,∠ABC=60°, AC 与 BD 相交于点 O,AE⊥平面 ABCD,CF∥AE,AB=AE=2. (1)求证:BD⊥平面 ACFE; (2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45°时,求异面直线 OF 与 BE 所成的角的余弦值大小. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴BD⊥AC. ∵AE⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD, ∴BD⊥AE. ∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面 ACFE. (2)以 O 为坐标原点,OA―→, OB―→的方向为 x 轴,y 轴正方向,过 O 且平行于 CF 的直线为 z 轴(向上为正方向),建立如图所示的空间直角 坐标系 Oxyz,设 CF=a,则 B(0, 3,0),D(0,- 3,0),E(1,0,2), F(-1,0,a)(a>0), OF―→=(-1,0,a). 设平面 BED 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n· OB―→=0, n· OE―→=0, 即 3y=0, x+2z=0, 令 z=1,则 n=(-2,0,1), 由题意得 sin 45°=|cos〈 OF―→,n〉|= |OF·n| | OF―→||n| = |2+a| a2+1· 5 = 2 2 ,解得 a=3 或 a=-1 3 . 由 a>0,得 a=3, OF―→=(-1,0,3), BE―→=(1,- 3,2), ∴cos〈 OF―→,BE―→〉= -1+6 10× 8 = 5 4 , 故异面直线 OF 与 BE 所成的角的余弦值为 5 4 . 2.(2017·合肥模拟)如图所示,在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中,AA1⊥底 面 ABCD,四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2. (1)若 M 为 CD 中点,求证:AM⊥平面 AA1B1B; (2)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值. 解:(1)证明:连接 AC, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∠BAD=120°, ∴△ACD 为等边三角形, 又 M 为 CD 中点, ∴AM⊥CD,由 CD∥AB 得, AM⊥AB. ∵AA1⊥底面 ABCD,AM⊂平面 ABCD,∴AM⊥AA1. 又 AB∩AA1=A, ∴AM⊥平面 AA1B1B. (2)∵四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2, ∴DM=1,AM= 3,∴∠AMD=∠BAM=90°, 又 AA1⊥底面 ABCD, ∴以 A 为坐标原点,AB,AM,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 Axyz, 则 A1(0,0,2),B(2,0,0),D(-1, 3,0),D1 -1 2 , 3 2 ,2 , ∴ DD1 ―→= 1 2 ,- 3 2 ,2 , BD―→=(-3, 3,0), A1B―→=(2,0,-2). 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n· BD―→=0, n· A1B―→=0, 即 -3x+ 3y=0, 2x-2z=0, 令 x=1,则 n=(1, 3,1), ∴|cos〈n,DD1 ―→〉|= |n· DD1 ―→| |n|·| DD1 ―→| = 1 5× 5 =1 5 . ∴直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为1 5 . 3.(2018 届高三·洛阳四校调研)如图,四边形 ABEF 和四边形 ABCD 均是直角梯形,∠FAB=∠DAB=90°,二面角 FABD 是直二面角,BE ∥AF,BC∥AD,AF=AB=BC=2,AD=1. (1)证明:在平面 BCE 上,一定存在过点 C 的直线 l 与直线 DF 平 行; (2)求二面角 FCDA 的余弦值. 解:(1)证明:由已知得,BE∥AF,BE⊄ 平面 AFD,AF⊂平面 AFD, ∴BE∥平面 AFD. 同理可得,BC∥平面 AFD. 又 BE∩BC=B,∴平面 BCE∥平面 AFD. 设平面 DFC∩平面 BCE=l,则 l 过点 C. ∵平面 BCE∥平面 ADF,平面 DFC∩平面 BCE=l,平面 DFC∩平面 AFD=DF, ∴DF∥l,即在平面 BCE 上一定存在过点 C 的直线 l,使得 DF∥l. (2)∵平面 ABEF⊥平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,FA⊂平面 ABEF, 又∠FAB=90°,∴AF⊥AB,∴AF⊥平面 ABCD. ∵AD⊂平面 ABCD,∴AF⊥AD. ∵∠DAB=90°,∴AD⊥AB. 以 A 为坐标原点,AD,AB,AF 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系,由已知得,D(1,0,0),C(2,2,0), F(0,0,2),∴ DF―→=(-1,0,2), DC―→=(1,2,0). 设平面 DFC 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n· DF―→=0, n· DC―→=0, 即 -x+2z=0, x+2y=0, 令 z=1,则 n=(2,-1,1), 不妨取平面 ACD 的一个法向量为 m=(0,0,1), ∴cos〈m,n〉= m·n |m||n| = 1 6 = 6 6 , 由于二面角 FCDA 为锐角, 因此二面角 FCDA 的余弦值为 6 6 . 4.(2017·全国卷Ⅱ)如图,四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD 为等 边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=1 2 AD,∠BAD=∠ABC=90°, E 是 PD 的中点. (1)证明:直线 CE∥平面 PAB; (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°,求二面角 MABD 的余弦值. 解:(1)证明:取 PA 的中点 F,连接 EF,BF. 因为 E 是 PD 的中点,所以 EF∥AD,EF=1 2 AD. 由∠BAD=∠ABC=90°,得 BC∥AD, 又 BC=1 2 AD,所以 EF 綊 BC, 所以四边形 BCEF 是平行四边形,CE∥BF, 又 CE⊄ 平面 PAB,BF⊂平面 PAB, 故 CE∥平面 PAB. (2)由已知得 BA⊥AD,以 A 为坐标原点, AB―→的方向为 x 轴正 方向,| AB―→|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0), C(1,1,0),P(0,1, 3), PC―→=(1,0,- 3), AB―→=(1,0,0). 设 M(x,y,z)(06.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于 50 kg 的直方图面积为(0.004 +0.020+0.044)×5=0.34<0.5, 箱产量低于 55 kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5, 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+0.5-0.34 0.068 ≈52.35(kg). 2.(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器 有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使 用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易 损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱 状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概 率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的 易损零件数. (1)求 X 的分布列; (2)若要求 P(X≤n)≥0.5,确定 n 的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19 与 n=20 之中选其一,应 选用哪个? 解:(1)由柱状图及以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2. 从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16; P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.4×0.2+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04. 所以 X 的分布列为: X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知 P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68, 故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当 n=19 时, E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200 +3×500)×0.04=4 040; 当 n=20 时, E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080. 可知当 n=19 时所需费用的期望值小于当 n=20 时所需费用的期望值,故应选 n=19. 3.(2014·全国卷Ⅱ)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数 据如下表: 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: b^=错误!,a^= y -b^ t . 解:(1)由所给数据计算得 t =1 7 (1+2+3+4+5+6+7)=4, y =1 7 (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, 错误!(ti- t )2=9+4+1+0+1+4+9=28, 错误!(ti- t )(yi- y )=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1 +1×0.5+2×0.9+3×1.6=14, b^=错误!=14 28 =0.5, a^= y -b^ t =4.3-0.5×4=2.3, 所求回归方程为y^=0.5t+2.3. (2)由(1)知,b^=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加, 平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得y^=0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 题型一 离散型随机变量的期望及综合应用 [典例] (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成 本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根 据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25, 需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20, 需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下面的频数分布表: [学规范] (1)由题意知,X 所有可能取值为 200,300,500❶,……………………………………2 分 由表格数据知 P(X=200)=2+16 90 =0.2,P(X=300)=36 90 =0.4, P(X=500)=25+7+4 90 =0.4. ……………………………………………………………5 分 因此 X 的分布列为: X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 ………………………………………………………………………………………………6 分 (2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为 500,至少为 200,因此只需考虑 200≤n≤500❷. ………………………………………………………………………………7 分 当 300≤n≤500 时, 若最高气温不低于 25,则 Y=6n-4n=2n❸; 若最高气温位于区间[20,25), 则 Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n❹; 若最高气温低于 20,则 Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n❺. 因 此 EY = 2n×0.4 + (1 200 - 2n)×0.4 + (800 - 2n)×0.2 = 640 - 0.4n. …………………9 分 当 200≤n<300 时, 若最高气温不低于 20,则 Y=6n-4n=2n❻; 若最高气温低于 20,则 Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n❼. 因此 EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.11 分 所以 n=300 时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为 520 元. ……………………12 分 [防失误] ①处易出现题意理解错误,导致求错 X 的取值. ②处易忽视题意中需求量 n 的范围. ③④⑤⑥⑦处易忽视酸奶的利润 Y 取决于酸奶的需求量及售不完的也要当天处理完,导 致 Y 值求错. [通技法] 求解离散型随机变量的期望与方差的解题模型 [对点练] 1.(2017·陕西模拟)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活 中我们应该提倡低碳生物,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为 此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度, 随机抽查了 50 人,将调查结果进行整理后制成下表: 年龄/岁 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取 2 人进行追踪调查, 求恰有 2 人不赞成的概率; (2)在(1)的条件下,令选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的 分布列和数学期望. 解:(1)由表知,年龄在[15,25)内的有 5 人,不赞成的有 1 人,年龄在[25,35)内的有 10 人,不赞成的有 4 人,恰有 2 人不赞成的概率为 P=C1 1C1 4 C2 5 ·C1 4C1 6 C2 10 +C2 4 C2 5 ·C2 4 C2 10 = 4 10 ×24 45 + 6 10 × 6 45 =22 75 . (2)ξ的所有可能取值为 0,1,2,3. P(ξ=0)=C2 4 C2 5 ·C2 6 C2 10 = 6 10 ×15 45 =1 5 , P(ξ=1)=C1 4 C2 5 ·C2 6 C2 10 +C2 4 C2 5 ·C1 4C1 6 C2 10 = 4 10 ×15 45 + 6 10 ×24 45 =34 75 , P(ξ=2)=22 75 , P(ξ=3)=C1 4 C2 5 ·C2 4 C2 10 = 4 10 × 6 45 = 4 75 , ∴ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P 1 5 34 75 22 75 4 75 ∴ξ的数学期望 E(ξ)=0×1 5 +1×34 75 +2×22 75 +3× 4 75 =6 5 . 题型二 统计案例 [典例] (2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年 宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的 年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统 计量的值. x y w 错误!(xi- x )2 错误!(wi- w )2 错误!(xi- x )· (yi- y ) 错误!(wi- w )· (yi- y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi= xi, w =1 8 错误!i. [学规范] (1)由散点图的变化趋势可以判断,y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型❶. ………………………………………………………………………………3 分 (2)令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于d^=错误!=108.8 1.6 =68, c ^ = y -d ^ w =563-68×6.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y^=100.6+68w, 因此 y 关于 x 的回归方程为y ^ =100.6+68 x ❷. ………………………………………7 分 (3)①由(2)知,当 x=49 时, 年销售量 y 的预报值y ^ =100.6+68 49=576.6, 年利润 z 的预报值z ^ =576.6×0.2-49=66.32❸. ………………………………………… 9 分 ②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 z ^ =0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12. 所以当 x=13.6 2 =6.8❹,即 x=46.24 时,z ^ 取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.………………………………12 分 [防失误] ①处易判断方程类型错误,注意充分利用散点图联想函数图象特征作出判断. ②处求回归方程时易计算失误,注意要强化计算能力. ③处无法表达出利润表达式而失分,注意借助于函数知识解决. ④处未用二次函数求最值导致失分,注意判断函数类型及换元法的使用. [通技法] 求解线性回归方程的 3 步骤 [对点练] 2.传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火 爆荧屏.某机构组织了一场诗词知识竞赛,将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、 良好、一般三个等级,从中随机抽取 100 名选手进行调查,如图是根据调查结果绘制的选手 等级与人数的条形图. (1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为选手成绩优秀与文化程度有关? 优秀 合格 总计 大学组 中学组 总计 (2)若参赛选手共 6 万名,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数; (3)在优秀等级的选手中选取 6 名,在良好等级的选手中选取 6 名,都依次编号为 1,2,3,4,5,6,在选出的 6 名优秀等级的选手中任取一名,记其编号为 a,在选出的 6 名良 好等级的选手中任取一名,记其编号为 b,求使得方程组 ax+by=3, x+2y=2 有唯一一组实数解 (x,y)的概率. 参考公式:K2= n ad-bc 2 a+b c+d a+c b+d ,其中 n=a+b+c+d. 参考数据: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解:(1)由条形图可得 2×2 列联表如下: 优秀 合格 总计 大学组 45 10 55 中学组 30 15 45 总计 75 25 100 所以 K2 的观测值 k=100× 45×15-10×30 2 75×25×45×55 =100 33 ≈3.030<3.841, 所以不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为选手成绩优秀与文化程度有关. (2)由条形图知,所抽取的 100 名选手中,优秀等级有 75 名,所以估计参赛选手中优秀 等级的选手有 60 000× 75 100 =45 000(名). (3)a 可从 1,2,3,4,5,6 中取,有 6 种取法,b 可从 1,2,3,4,5,6 中取,有 6 种取法,共 有 36 组, 要使方程组 ax+by=3, x+2y=2 有唯一一组实数解,则a b ≠1 2 .易知使a b =1 2 成立的 a,b 满足 的实数对有(1,2),(2,4),(3,6),共 3 组,故满足a b ≠1 2 的实数对的组数为 36-3=33.故所 求概率 P=33 36 =11 12 . 1.(2017·广州二测)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表: 价格 x(元/kg) 10 15 20 25 30 日需求量 y(kg) 11 10 8 6 5 (1)求 y 关于 x 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,当价格 x=40 元/kg 时,日需求量 y 的预测值为多少? 参考公式:线性回归方程y^=b^x+a^,其中b^=错误!,a^= y -b^ x . 解:(1)由所给数据计算得 x =1 5 ×(10+15+20+25+30)=20, y =1 5 ×(11+10+8+6+5)=8, 错误!(xi- x )2=(-10)2+(-5)2+02+52+102=250, 错误!(xi- x )(yi- y )=(-10)×3+(-5)×2+0×0+5×(-2)+10×(-3)=- 80. b^=错误!=-80 250 =-0.32. a^= y -b^ x =8+0.32×20=14.4. 所求线性回归方程为y^=-0.32x+14.4. (2)由(1)知当 x=40 时,y^=-0.32×40+14.4=1.6. 故当价格 x=40(元/kg)时,日需求量 y 的预测值为 1.6 kg. 2.(2018 届高三·广西五校联考)下图是某市 11 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图, 空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染, 某人随机选择 11 月 1 日至 11 月 12 日中的某一天到达该市,并停留 3 天. (1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留期间空气重度污染的天数,求 X 的分布列与数学期望. 解:设 Ai 表示事件“此人于 11 月 i 日到达该市”(i=1,2,…,12). 依题意知,P(Ai)= 1 12 ,且 Ai∩Aj=∅ (i≠j). (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”, 则 B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12, 所以 P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A7)+P(A12)= 5 12 . 即此人到达当日空气重度污染的概率为 5 12 . (2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)=P(A4∪A8∪A9)=P(A4)+P(A8)+P(A9)= 3 12 =1 4 , P(X=2)=P(A2∪A11)=P(A2)+P(A11)= 2 12 =1 6 , P(X=3)=P(A1∪A12)=P(A1)+P(A12)= 2 12 =1 6 , P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3)=1-1 4 -1 6 -1 6 = 5 12 , 或 P(X=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)=P(A3)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A10)= 5 12 所以 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 1 4 5 12 1 6 1 6 故 X 的数学期望 E(X)=0×1 4 +1× 5 12 +2×1 6 +3×1 6 =5 4 . 3.(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生 产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条 生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(μ,σ2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ) 之外的零件数,求 P(X≥1)及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性; ②下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 x = 1 16 错误!i=9.97,s=错误!=错误!≈0.212,其中 xi 为抽取的第 i 个零件 的尺寸,i=1,2,…,16. 用样本平均数 x 作为μ的估计值μ^ ,用样本标准差 s 作为σ的估计值σ^ ,利用估计值 判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(μ^ -3σ^ ,μ^ +3σ^ )之外的数据,用剩下的数 据估计μ和σ(精确到 0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ,σ2),则 P(μ-3σ10.828, ∴能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有 关. (2)估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为 P=20 50 =2 5 , X 的可能取值为 0,1,2,3,由题意,得 X~B 3,2 5 , P(X=k)=Ck 3 2 5 k 3 5 3-k(k=0,1,2,3), ∴P(X=0)= 3 5 3= 27 125 , P(X=1)=C1 3×2 5 × 3 5 2= 54 125 , P(X=2)=C2 3× 2 5 2×3 5 = 36 125 , P(X=3)= 2 5 3= 8 125 , 故随机变量 X 分布列为: X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 ∴随机变量 X 的数学期望 E(X)=3×2 5 =6 5 . 5.(2017·昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响,随机记录了该店 1 月份 其中 5 天的日营业额 y(单位:万元)与该地当日最低气温 x(单位:℃)的数据,如下表: x 2 5 8 9 11 y 1.2 1 0.8 0.8 0.7 (1)求 y 关于 x 的线性回归方程y^=b^x+a^; (2)判断 y 与 x 之间是正相关还是负相关,若该地 1 月份某天的最低气温为 6 ℃,用所 求回归方程预测该店当日的营业额; (3)设该地 1 月份的日最低气温 X~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 x ,σ2 近似 为样本方差 s2,求 P(3.8<X≤13.4). 附:①回归方程y^=b^x+a^中,b^=错误!,a^= y -b^ x . ② 10≈3.2, 3.2≈1.8.若 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ -2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5. 解:(1) x =1 5 ×(2+5+8+9+11)=7, y =1 5 ×(1.2+1+0.8+0.8+0.7)=0.9. 错误!2 i=4+25+64+81+121=295, 错误!iyi=2.4+5+6.4+7.2+7.7=28.7, ∴b^=错误!=28.7-5×7×0.9 295-5×72 =-2.8 50 =-0.056, a^= y -b^ x =0.9-(-0.056)×7=1.292. ∴线性回归方程为y^=-0.056x+1.292. (2)∵b^=-0.056<0,∴y 与 x 之间是负相关. 当 x=6 时,y^=-0.056×6+1.292=0.956. ∴该店当日的营业额约为 9 560 元. (3)样本方差 s2=1 5 ×(25+4+1+4+16)=10, ∴最低气温 X~N(7,3.22), ∴P(3.8<X≤10.2)=0.682 7, P(0.6<X≤13.4)=0.954 5, ∴P(10.2<X≤13.4)=1 2 ×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. ∴P(3.8<X≤13.4)=P(3.8<X≤10.2)+P(10.2<X≤13.4)=0.682 7+0.135 9= 0.818 6. 6.(2018 届高三·张掖摸底)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问 题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,责成 人社部进行调研.人社部从网上年龄在 15~65 岁的人群中随机调查 100 人,调查数据的频 率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下: 年龄 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] 支持“延迟退 休”的人数 15 5 15 28 17 (1)由以上统计数据填 2×2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下 认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异; 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 不支持 总计 (2)若以 45 岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加 某项活动.现从这 8 人中随机抽 2 人. ①抽到 1 人是 45 岁以下时,求抽到的另一人是 45 岁以上的概率. ②记抽到 45 岁以上的人数为 X,求随机变量 X 的分布列及数学期望. 参考数据: P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2= n ad-bc 2 a+b c+d a+c b+d ,其中 n=a+b+c+d. 解:(1)由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人,故填充 2×2 列联表如下: 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 35 45 80 不支持 15 5 20 总计 50 50 100 因为 K2 的观测值 k=100× 35×5-45×15 2 50×50×80×20 =6.25>3.841, 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退 休年龄政策”的支持度有差异. (2)①抽到 1 人是 45 岁以下的概率为6 8 =3 4 , 抽到 1 人是 45 岁以下且另一人是 45 岁以上的概率为C1 6C1 2 C2 8 =3 7 , 故所求概率 P= 3 7 3 4 =4 7 . ②从不支持“延迟退休”的人中抽取 8 人,则 45 岁以下的应抽 6 人,45 岁以上的应抽 2 人. 所以 X 的可能取值为 0,1,2. P(X=0)=C2 6 C2 8 =15 28 , P(X=1)=C1 6C1 2 C2 8 =12 28 =3 7 , P(X=2)=C2 2 C2 8 = 1 28 . 故随机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 P 15 28 3 7 1 28 所以 E(X)=1×3 7 +2× 1 28 =1 2 . 高考第 22 题坐标系与参数方程 卷 别 年 份 考查内容 命题规律分析 全国 卷Ⅰ 2017 椭圆与直线的参数方程与普通方程的互化、 直线与椭圆的位置关系 坐标系与参数方程是高 考的选考内容之一,高考考 查的重点主要有两个方面: 简单曲线的极坐标方程;二 是参数方程、极坐标方程与 曲线的综合应用.由于本部 分在高考中考查的知识点较 为稳定,在备考时应重点关 注极坐标系中直线的方程, 或者求解极坐标系中曲线的 某个特征值,及已知直线和 圆的参数方程判断直线和圆 的位置关系,求最值问题 等.本部分内容在备考中应 注意转化思想的应用,抓住 知识,少做难题. 2016 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与 直角坐标方程的互化及应用 2015 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程 的应用 全国 卷Ⅱ 2017 直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的 求法、三角形面积的最值问题 2016 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直 线与圆的位置关系 2015 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性 质 全国 卷Ⅲ 2017 直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方 程的求法 2016 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、 三角函数的最值 1.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x=3cos θ, y=sin θ (θ 为参数),直线 l 的参数方程为 x=a+4t, y=1-t (t 为参数). (1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a. 解:(1)曲线 C 的普通方程为x2 9 +y2=1. 当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0, 由 x+4y-3=0, x2 9 +y2=1 解得 x=3, y=0 或 x=-21 25 , y=24 25 . 从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0), -21 25 ,24 25 . (2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0, 故 C 上的点(3cos θ,sin θ)到 l 的距离为 d=|3cos θ+4sin θ-a-4| 17 . 当 a≥-4 时,d 的最大值为a+9 17 . 由题设得a+9 17 = 17,解得 a=8; 当 a<-4 时,d 的最大值为-a+1 17 . 由题设得-a+1 17 = 17, 解得 a=-16. 综上,a=8 或 a=-16. 2.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的参数方程是 x=tcos α, y=tsin α (t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|= 10, 求 l 的斜率. 解:(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆 C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11 =0. (2)法一:由直线 l 的参数方程 x=tcos α, y=tsin α (t 为参数),消去参数得 y=x·tan α. 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 kx-y=0. 由圆 C 的方程(x+6)2+y2=25 知,圆心坐标为(-6,0),半径为 5. 又|AB|= 10,由垂径定理及点到直线的距离公式得|-6k| 1+k2 = 25- 10 2 2, 即 36k2 1+k2=90 4 , 整理得 k2=5 3 ,解得 k=± 15 3 , 即 l 的斜率为± 15 3 . 法二:在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R). 设 A,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得ρ2+ 12ρcos α+11=0, 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|= ρ1+ρ2 2-4ρ1ρ2 = 144cos2α-44. 由|AB|= 10得 cos2α=3 8 ,tan α=± 15 3 . 所以 l 的斜率为 15 3 或- 15 3 . 3.(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2 =1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; (2)若直线 C3 的极坐标方程为θ=π 4 (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面 积. 解:(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以 C1 的极坐标方程为ρcos θ=-2, C2 的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)将θ=π 4 代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-3 2ρ+4=0,解得ρ1=2 2,ρ2= 2. 故ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为1 2 . 极坐标方程与参数方程的综合应用 [学规范] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1:y=k(x-2);………………………………………1 分 消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2:y=1 k (x+2). …………………………………………2 分 设 P(x,y),由题设得 y=k x-2 , y=1 k x+2 . 消去 k 得 x2-y2=4(y≠0)❶. ………………………………………………………………3 分 所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y≠0). ………………………………………………4 分 (2)C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ2(cos2θ - sin2θ) = 4(0 < θ < 2π , θ≠π). ………………………5 分 联 立 ρ2 cos2θ-sin2θ =4, ρ cos θ+sin θ - 2=0 ❷………………………………………………………6 分 得 cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故 tan θ=-1 3 ,……………………………………………………………………………7 分 从而 cos2θ= 9 10 ,sin2θ= 1 10 .………………………………………………………………8 分 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得ρ2=5,……………………………………………………9 分 所以交点 M 的极径为 5.10 分 [防失误] ①处消去 k 后,注意等价性,易忽视 y≠0 而失误. ②处联立极坐标方程后,注意运算技巧,先求 cos2θ,sin2θ,再求ρ.若直接消去θ 不太容易做到. [通技法] 求解极坐标方程与参数方程综合问题需过“三关” 一是互化关,即会把曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程进行互化; 二是几何意义关,即理解参数方程中的参数的几何意义,在解题中能加快解题速度; 三是运算关,思路流畅,还需运算认真,才能不失分. [对点练] (2017·洛阳模拟)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 x=2cos φ, y=2+2sin φ (φ为参 数).以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的普通方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsin θ+π 6 =5 3,射线 OM:θ=π 6 与圆 C 的交点为 O, P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 解:(1)因为圆 C 的参数方程为 x=2cos φ, y=2+2sin φ (φ为参数),所以圆心 C 的坐标为 (0,2),半径为 2,圆 C 的普通方程为 x2+(y-2)2=4. (2)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入 x2+(y-2)2=4, 得圆 C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. 设 P(ρ1,θ1),则由 ρ=4sin θ, θ=π 6 , 解得ρ1=2,θ1=π 6 . 设 Q(ρ2,θ2),则由 2ρsin θ+π 6 =5 3, θ=π 6 , 解得ρ2=5,θ2=π 6 . 所以|PQ|=3. 1.(2017·宝鸡模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极 坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ). (1)求 C 的直角坐标方程; (2)直线 l: x=1 2 t, y=1+ 3 2 t (t 为参数)与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 E,求 |EA|+|EB|. 解:(1)由ρ=2(cos θ+sin θ)得ρ2=2ρ(cos θ+sin θ), 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y, 即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 化简得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0, 设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=1,t1t2=-1, 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2| = t1+t2 2-4t1t2= 5. 2.(2017·张掖模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: x=cos α, y=sin2α (α为参数), 在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρcos θ-π 4 =- 2 2 ,曲线 C3: ρ=2sin θ. (1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标; (2)设点 A,B 分别为曲线 C2,C3 上的动点,求|AB|的最小值. 解:(1)曲线 C1: x=cos α, y=sin2α 消去参数α, 得 y+x2=1,x∈[-1,1].① 曲线 C2:ρcos θ-π 4 =- 2 2 ⇒x+y+1=0,② 联立①②,消去 y 可得 x2-x-2=0⇒x=-1 或 x=2(舍去),所以 M(-1,0). (2)曲线 C3:ρ=2sin θ的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1,是以(0,1)为圆心,半径 r =1 的圆. 设圆心为 C,则点 C 到直线 x+y+1=0 的距离 d=|0+1+1| 2 = 2,所以|AB|的最小值 为 2-1. 3.(2018 届高三·昆明一中调研)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系.已知点 P 的极坐标为 2 3,π 6 ,曲线 C 的参数方程为 x=2cos α, y=- 3+2sin α (α为参数). (1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 Q 为曲线 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l:ρcos θ+2ρsin θ+1=0 距离 的最小值. 解 : (1) 由 x = ρcos θ , y = ρsin θ 可 得 点 P 的 直 角 坐 标 为 (3 , 3 ) , 由 x=2cos α, y=- 3+2sin α (α为参数) 得 x2+(y+ 3)2=4, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+(y+ 3)2=4. (2)直线 l 的普通方程为 x+2y+1=0, 曲线 C 的参数方程为 x=2cos α, y=- 3+2sin α (α为参数), 设 Q(2cos α,- 3+2sin α),则 M 3 2 +cos α,sin α , 故点 M 到直线 l 的距离 d= |3 2 +cos α+2sin α+1| 12+22 = | 5sin α+φ +5 2| 5 ≥ - 5+5 2 5 = 5 2 -1 tan φ=1 2 , ∴点 M 到直线 l 的距离的最小值为 5 2 -1. 4.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为ρcos θ=4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 2,π 3 ,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值. 解:(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1= 4 cos θ . 由|OM|·|OP|=16,得 C2 的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB>0), 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB 的面积 S=1 2 |OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·|sin α-π 3 | =2|sin 2α-π 3 - 3 2 |≤2+ 3. 当α=-π 12 时,S 取得最大值 2+ 3. 所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3. 5.(2017·成都模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,倾斜角为α α≠π 2 的直线 l 的参数 方程为 x=1+tcos α, y=tsin α (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线 C 的极坐标方程是ρcos2θ-4sin θ=0. (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)已知点 P(1,0).若点 M 的极坐标为 1,π 2 ,直线 l 经过点 M 且与曲线 C 相交于 A, B 两点,设线段 AB 的中点为 Q,求|PQ|的值. 解:(1)∵直线 l 的参数方程为 x=1+tcos α, y=tsin α (t 为参数),∴直线 l 的普通方程 为 y=tan α·(x-1). 由ρcos2θ-4sin θ=0 得ρ2cos2θ-4ρsin θ=0, 即 x2-4y=0. ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2=4y. (2)∵点 M 的极坐标为 1,π 2 , ∴点 M 的直角坐标为(0,1). ∴tan α=-1,直线 l 的倾斜角α=3π 4 . ∴直线 l 的参数方程为 x=1- 2 2 t, y= 2 2 t (t 为参数). 代入 x2=4y,得 t2-6 2t+2=0. 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2. ∵Q 为线段 AB 的中点, ∴点 Q 对应的参数值为t1+t2 2 =6 2 2 =3 2. 又点 P(1,0),则|PQ|=|t1+t2 2 |=3 2. 6 . (2017· 石 家 庄 模 拟 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 x=a+acos β, y=asin β (a>0,β为参数).以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为ρcos θ-π 3 =3 2 . (1)若曲线 C 与 l 只有一个公共点,求 a 的值; (2)A,B 为曲线 C 上的两点,且∠AOB=π 3 ,求△OAB 面积的最大值. 解:(1)由题意知,曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆,直线 l 的直角坐标方程 为 x+ 3y-3=0. 由直线 l 与圆 C 只有一个公共点,可得|a-3| 2 =a, 解得 a=1 或 a=-3(舍去), 所以 a=1. (2)曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆,且∠AOB=π 3 ,由正弦定理得 |AB| sinπ 3 =2a, 所以|AB|= 3a. 又|AB|2=3a2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|·cos π 3 ≥|OA|·|OB|,当且仅当|OA|= |OB|时取等号, 所以 S△OAB=1 2 |OA|·|OB|sin π 3 ≤1 2 ×3a2× 3 2 =3 3a2 4 ,所以△OAB 面积的最大值为 3 3a2 4 . 高考第 23 题不等式选讲 卷 别 年 份 考查内容 命题规律分析 全国 卷Ⅰ 2017 含绝对值的不等式的解法、求参数的取值范围 不等式选讲是高 考的选考内容之一, 考查的重点是不等式 的证明、绝对值不等 式的解法等,命题的 热点是绝对值不等式 的解法,以及绝对值 不等式与函数的综合 问题的求解. 2016 绝对值不等式的解法及图象 2015 绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积公 式 全国 卷Ⅱ 2017 基本不等式的应用、一些常用的变形以及证明不 等式的方法 2016 含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式 2015 不等式的证明、充要条件的判断 全国 卷Ⅲ 2017 绝对值不等式的解法以及函数最值的求解 2016 绝对值不等式解法 1.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)≥1 的解集; (2)若不等式 f(x)≥x2-x+m 的解集非空,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)= -3,x<-1, 2x-1,-1≤x≤2, 3,x>2. 当 x<-1 时,f(x)≥1 无解; 当-1≤x≤2 时,由 f(x)≥1,得 2x-1≥1, 解得 1≤x≤2; 当 x>2 时,由 f(x)≥1,解得 x>2. 所以 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}. (2)由 f(x)≥x2-x+m,得 m≤|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=- |x|-3 2 2+5 4 ≤5 4 , 且当 x=3 2 时,|x+1|-|x-2|-x2+x=5 4 . 故 m 的取值范围为 -∞,5 4 . 2.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出 y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1 的解集. 解:(1)由题意得 f(x)= x-4,x≤-1, 3x-2,-13 2 , 故 y=f(x)的图象如图所示. (2)由 f(x)的函数表达式及图象可知, 当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3; 当 f(x)=-1 时,可得 x=1 3 或 x=5. 故 f(x)>1 的解集为{x|15 . 所以|f(x)|>1 的解集为 x|x<1 3 或 15 . 3.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-10,解得2 3 0,解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1 的解集为 x|2 3 2 . (2)由题设可得 f(x)= x-1-2a,x<-1, 3x+1-2a,-1≤x≤a, -x+1+2a,x>a. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A 2a-1 3 ,0 ,B(2a+1,0), C(a,a+1),△ABC 的面积为2 3 (a+1)2. 由题设得2 3 (a+1)2>6,故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2,+∞). 题型一 含绝对值的不等式解法及应用 [学规范] (1)当 a=1 时,不等式 f(x)≥g(x)等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①………………………………………………………1 分 当 x<-1 时,①式化为 x2-3x-4≤0❶,无解;………………………………………2 分 当-1≤x≤1 时,①式化为 x2-x-2≤0❷, 从而-1≤x≤1;3 分 当 x>1 时,①式化为 x2+x-4≤0❸, 从而 1<x ≤-1+ 17 2 .……………………………………………………………………4 分 所以 f(x)≥g(x)的解集为 x|-1≤x≤-1+ 17 2 .…………………………………5 分 (2)当 x∈[-1,1]时,g(x)=2❹. 所以 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1], 等价于当 x∈[-1,1]时,f(x)≥2. ………………………………………………………… 7 分 又 f(x)在[-1,1]的最小值必为 f(-1)与 f(1)❺之一, 所以 f(-1)≥2 且 f(1)≥2,得-1≤a≤1. ………………………………………………… 9 分 所以 a 的取值范围为[-1,1]. ……………………………………………………………10 分 [防失误] ①②③处易出现利用绝对值定义去绝对值号时计算化简失误. ④处易忽视 x∈[-1,1],g(x)=2,这是转化关键. ⑤处不理解且不会判断 f(x)在[-1,1]时最小值必为 f(-1),f(1)之一,而导致滞做失 分. [通技法] 1.零点分段求解绝对值不等式的模型 (1)求零点; (2)划区间,去绝对值号; (3)分别解去掉绝对值号的不等式; (4)取每个结果的并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值. 2.绝对值不等式的成立问题的求解模型 (1)分离参数:根据不等式将参数分离化为 a≥f(x)或 a≤f(x)形式; (2)转化最值:f(x)>a 恒成立⇔f(x)min>a;f(x)a 有解⇔ f(x)max>a;f(x)a 无解⇔f(x)max≤a;f(x)0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. 证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)≤2+3 a+b 2 4 (a+b) =2+3 a+b 3 4 , 所以(a+b)3≤8,因此 a+b≤2. 4.(2017·沈阳模拟)已知函数 f(x)=|x-a|-1 2 x(a>0). (1)若 a=3,解关于 x 的不等式 f(x)<0; (2)若对于任意的实数 x,不等式 f(x)-f(x+a)<a2+a 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=3 时,f(x)=|x-3|-1 2 x,即|x-3|-1 2 x<0,原不等式等价于-x 2 <x-3 <x 2 ,解得 2<x<6,故不等式的解集为{x|2<x<6}. (2)f(x)-f(x+a)=|x-a|-|x|+a 2 , 原不等式等价于|x-a|-|x|<a2, 由绝对值三角不等式的性质, 得|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|, 原不等式等价于|a|<a2, 又 a>0,∴a<a2,解得 a>1. ∴实数 a 的取值范围为(1,+∞). 5.(2017·开封模拟)设函数 f(x)=|x-a|,a<0. (1)证明:f(x)+f -1 x ≥2; (2)若不等式 f(x)+f(2x)<1 2 的解集非空,求 a 的取值范围. 解:(1)证明:函数 f(x)=|x-a|,a<0, 设 f(x)+f -1 x =|x-a|+|-1 x -a| =|x-a|+|1 x +a|≥| x-a + 1 x +a | =|x+1 x|=|x|+ 1 |x| ≥2 |x|· 1 |x| =2(当且仅当|x|=1 时取等号). (2)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,a<0. 当 x≤a 时,f(x)+f(2x)=a-x+a-2x=2a-3x, 则 f(x)+f(2x)≥-a; 当 a-a 2 , 解得 a>-1,又 a<0,所以-1<a<0, 故 a 的取值范围是(-1,0). 6.(2017·洛阳模拟)已知 f(x)=|2x-1|-|x+1|. (1)将 f(x)的解析式写成分段函数的形式,并作出其图象; (2)若 a+b=1,对∀a,b∈(0,+∞),1 a +4 b ≥3f(x)恒成立,求 x 的取值范围. 解:(1)由已知,得 f(x)= -x+2,x<-1, -3x,-1≤x≤1 2 , x-2,x>1 2 , 函数 f(x)的图象如图所示. (2)∵a,b∈(0,+∞),且 a+b=1, ∴1 a +4 b = 1 a +4 b (a+b)=5+ b a +4a b ≥5+2 b a ·4a b =9,当且仅当b a =4a b ,即 a=1 3 ,b =2 3 时等号成立. ∵1 a +4 b ≥3(|2x-1|-|x+1|)恒成立, ∴|2x-1|-|x+1|≤3, 结合图象知-1≤x≤5, ∴x 的取值范围是[-1,5]. 板块提能 二 高考 17~19 题快速入题的破解策略 面对高考解答题,考生往往未做先惧三分.其实,高考解答题并不可怕,它无非就是几 个基础小题的融汇综合考查.平常我们常说的“大题小做”,就是告诫我们,面对大题,其 最有效、最快捷的办法就是化大为小、分而破之,这就涉及一个如何快速入题的问题.针对 17、18、19 题,在前面已全面突破题型的基础上,本讲分类点拨快速入题之妙招、之通法, 让考生面对各类题目有法可依,有口可入! 一、三角函数问题重在“变”——变角、变式 [思维流程] [技法点拨] 1.常用的变角技巧: (1)已知角与特殊角的变换; (2)已知角与目标角的变换; (3)角与其倍角的变换; (4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如:α=(α+β)-β =(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β= 2·α+β 2 ,α+β 2 = α-β 2 - α 2 -β . 2.常用的变式技巧: 主要从函数名、次数、系数方面入手,常见有: (1)讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论; (2)涉及 sin x±cos x、sin x·cos x 的问题,常做换元处理,如令 t=sin x±cos x ∈[- 2, 2],将原问题转化为关于 t 的函数来处理; (3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等. [典例示法] [典例] (2018 届高三·湖南五校联考)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个 内角 A,B,C 的对边,且 acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 AD 为 BC 边上的中线,cos B=1 7 ,AD= 129 2 ,求△ABC 的面积. [解] (1)acos C+ 3asin C-b-c=0,由正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C=sin B+sin C, 即 sin Acos C+ 3sin Asin C=sin(A+C)+sin C, 即 3sin Asin C-cos Asin C=sin C. 又 sin C≠0,所以化简得 3sin A-cos A=1, 所 以 sin A-π 6 = 1 2 . ……………………………………………………… 在△ABC 中,0<A<π,所以 A-π 6 =π 6 ,得 A=π 3 . (2)在△ABC 中,因为 cos B=1 7 ,所以 sin B=4 3 7 . 所以 sin C=sin(A+B)= 3 2 ×1 7 +1 2 ×4 3 7 =5 3 14 . 由正弦定理得,a c =sin A sin C =7 5 . 设 a=7x,c=5x(x>0),则在△ABD 中, AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B, 即129 4 =25x2+1 4 ×49x2-2×5x×1 2 ×7x×1 7 , 解得 x=1,所以 a=7,c=5, 故 S△ABC=1 2 acsin B=10 3. [应用体验] 1.(2017·兰州模拟)已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asin B+ bcos A=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2 5,b=2,求△ABC 的面积 S. 解:(1)∵asin B+bcos A=0, ∴sin Asin B+sin Bcos A=0, 即 sin B(sin A+cos A)=0, 由于 B 为三角形的内角, ∴sin A+cos A=0, ∴ 2sin A+π 4 =0, 而 A 为三角形的内角, ∴A=3π 4 . (2)在△ABC 中,由余弦定理, 得 a2=c2+b2-2cbcos A, 即 20=c2+4-4c· - 2 2 , 解得 c=-4 2(舍去)或 c=2 2, ∴S=1 2 bcsin A=1 2 ×2×2 2× 2 2 =2. 二、数列问题重在“归”——化归、归纳 [思维流程] , [技法点拨] 化归、归纳的常用策略 (1)由于数列是一个特殊的函数,也可根据题目特点,将其化归为函数问题,或通过对 式子的改造,使其化归为可运用数列问题的基本方法. (2)对于不是等差或等比的数列,可从简单的个别的特殊的情景出发,从中归纳出一般 性的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜 想、证明. [典例示法] [典例] (2017·张掖模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an=-3Sn+4,bn=-log2an+1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn= bn 2n+1+ 1 n n+1 ,其中 n∈N*,若数列{cn}的前 n 项和 为 Tn,求 Tn. [解] (1)由 a1=-3a1+4,得 a1=1, 由 an=-3Sn+4, 知 an+1=-3Sn+1+4, 两式相减并化简得 an+1=1 4 an,…………………………………… 故数列{an}是首项为 1,公比为1 4 的等比数列, ∴an= 1 4 n-1, bn=-log2an+1=-log2 1 4 n=2n. (2)由题意知,cn=n 2n+ 1 n n+1 . 令 Hn=1 2 +2 22+3 23+…+n 2n, ① 则 1 2 Hn=1 22+2 23+…+n-1 2n + n 2n+1, ② ①-②得,1 2 Hn=1 2 +1 22+1 23+…+1 2n- n 2n+1 =1-n+2 2n+1 .………………………………………………………… ∴Hn=2-n+2 2n . 令 Mn=1-1 2 +1 2 -1 3 +…+1 n - 1 n+1 =1- 1 n+1 = n n+1 , ∴Tn=Hn+Mn=2-n+2 2n + n n+1 . [应用体验] 2.(2017·宝鸡模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列 n+1 an 的前 n 项和为 Tn ,求证:1≤Tn<3. 解:(1)当 n=1 时,a1=2. 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-2, 所以 an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2), 即 an an-1 =2(n≥2,n∈N*), 所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an=2n(n∈N*). (2)证明:令 bn=n+1 an =n+1 2n , 则 Tn=2 21+3 22+4 23+…+n+1 2n ,① 得 1 2 Tn=2 22+3 23+4 24+…+n 2n+n+1 2n+1 ,② ①-②,整理得 1 2 Tn=3 2 -n+3 2n+1 , 所以 Tn=3-n+3 2n , 由于 n∈N*,显然 Tn<3. 又令 cn=n+3 2n ,则cn+1 cn = n+4 2n+6 <1, 所以 cn>cn+1, 所以n+3 2n ≤c1=2,所以 Tn≥1. 故 1≤Tn<3. 三、立体几何问题重在“建”——建模、建系 [思维流程] [技法点拨] 立体几何解答题建模、建系策略 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问, 逐层加深.解决这类题目的原则是建模、建系. 建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型. 建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解. [典例示法] [典例] (2017·宝鸡模拟)如图,四棱 锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 是 PD 的中点,点 F 是 PC 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)若底面 ABCD 为正方形,探究在什 么条件下,二面角 CAFD 的大小为 60°? [解] (1)证明:如图,连接 BD,设 AC∩BD=O,连接 OE,因为四边形 ABCD 为 矩形,所以 O 是 BD 的中点,因为点 E 是 PD 的中点,所以 PB∥EO. ………………………… 又 PB⊄ 平面 AEC,EO⊂平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. (2)易知 AB,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点, AB,AD,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系 Axyz. ………………………………………… 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AB=AD.故可设 AB=AD= 2a,AP=2b,则 A(0,0,0),C(2a,2a,0),P(0,0,2b),F(a,a, b),D(0,2a,0), AC―→=(2a,2a,0), AF―→=(a,a,b), AD―→= (0,2a,0). 设平面 CAF 的一个法向量 m=(x1,y1,z1), 则 m· AC―→=0, m· AF―→=0, 即 2ax1+2ay1=0, ax1+ay1+bz1=0, 令 x1=1,得 y1=-1,z1=0, 所以平面 CAF 的一个法向量 m=(1,-1,0). 设平面 DAF 的一个法向量 n=(x2,y2,z2), 则 n· AD―→=0, n· AF―→=0, 即 2ay2=0, ax2+ay2+bz2=0, 令 x2=b,得 y2=0,z2=-a, 所以平面 DAF 的一个法向量 n=(b,0,-a). 所以|cos 〈m,n〉|= |m·n| |m|·|n| = b 2· b2+a2 =cos 60°, 解得 a=b. 故当 AP 与正方形 ABCD 的边长相等时,二面角 CAFD 的大 小为 60°. [应用体验] 3.(2017·兰州市实战考试)如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PAB ⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PA=PB,O 为 AB 的中点,OD⊥PC. (1)求证:OC⊥PD; (2)若 PD 与平面 PAB 所成的角为 30°,求二面角 DPCB 的余弦值. 解:(1)证明:连接 OP,∵PA=PB,O 为 AB 的中点,∴OP⊥AB.∵侧面 PAB⊥底面 ABCD, ∴OP⊥平面 ABCD,∴OP⊥OD,OP⊥OC. ∵OD⊥PC,OP∩PC=P,∴OD⊥平面 OPC, ∴OD⊥OC,又 OP⊥OC,OP∩OD=O, ∴OC⊥平面 OPD,∴OC⊥PD. (2)取 CD 的中点 E,以 O 为原点,OE,OB,OP 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.在矩形 ABCD 中,由(1) 知 OD⊥OC, ∴AB=2AD,不妨设 AD=1,则 AB=2. ∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,∴DA⊥平面 PAB, CB⊥平面 PAB,△DPA≌△CPB,∴∠DPA 为直线 PD 与平面 PAB 所成的角,∴∠DPA=30°, ∠CPB=30°,PA=PB= 3,∴B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,-1,0),P(0,0, 2),从而 PC―→ =(1,1,- 2), CD―→=(0,-2,0), PB―→=(0,1,- 2).设平面 PCD 的法向量为 n1=(x1, y1,z1), 由 PC―→·n1=0, CD―→·n1=0 得 x1+y1- 2z1=0, -2y1=0, 可取 n1=( 2,0,1).设平面 PCB 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2), 由 PC―→·n2=0, PB―→·n2=0 得 x2+y2- 2z2=0, y2- 2z2=0. 可取 n2=(0,- 2,-1). 于是 cos 〈n1,n2〉= n1·n2 |n1|·|n2| =-1 3 , ∴二面角 DPCB 的余弦值为-1 3 . 四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型 [思维流程] [技法点拨] 概率与统计问题辨析、辨型的策略 (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独 立等; (2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有 几个发生等; (3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等; (4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式 和性质来计算事件的概率; (5)确定随机变量取值并求其对应的概率,写出分布列后再求期望. [典例示法] [典例] (2018 届高三·西安八校联考)从某企业生产的某种产 品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图 所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75), [75,85]内的频率之比为 4∶2∶1. (1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率; (2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件,记这 3 件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为 X, 求 X 的分布列与数学期望. [解] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为 x, 则落在区间[55,65),[65,75)内的频率分别为 4x,2x. 依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x+2x+x=1, 解得 x=0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的 频率为 0.05. (2)从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件, 相当于进行了 3 次独立重复试验,…………………………… 所以 X 服从二项分布 B(n,p),其中 n=3. 由(1)得,这些产品质量指标值落在区间[45,75]内的频率为 0.3 +0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得 p=0.6. 因为 X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 且 P X=0 =C0 3×0.60×0.43=0.064, P X=1 =C1 3×0.61×0.42=0.288, P X=2 =C2 3×0.62×0.41=0.432, P X=3 =C3 3×0.63×0.40=0.216, ………………………… 所以 X 的分布列为: 所以 X 的数学期望 E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+ 3×0.216=1.8.(或直接根据二项分布的均值公式得到 E(X)=np= 3×0.6=1.8) [应用体验] 4.某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学 学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机 选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=C1 3C2 7+C0 3C3 7 C3 10 =49 60 . 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为49 60 . (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. P(X=k)=Ck 4·C3-k 6 C3 10 (k=0,1,2,3). 所以 P(X=0)=C0 4·C3 6 C3 10 =1 6 , P(X=1)=C1 4·C2 6 C3 10 =1 2 , P(X=2)=C2 4·C1 6 C3 10 = 3 10 , P(X=3)=C3 4·C0 6 C3 10 = 1 30 . 所以随机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×1 6 +1×1 2 +2× 3 10 +3× 1 30 =6 5 .
查看更多

相关文章

您可能关注的文档