高考数学二轮复习第二板块保分题全争取教学案理
第二板块 保分题全争取
高考第 17 题之(一)三角函数与解三角形
[说明] 高考第 17 题主要集中在“三角函数与解三角形”与“数列”两个知识点命
题,每年选其一进行考查.
年 份 卷 别 考题位置 考查内容 命题规律分析
2017 全国卷Ⅰ 解答题第 17 题 正、余弦定理、三角形的面积公
式以及两角和的余弦公式
三角函数与
解三角形在解答
题中一般与三角
恒等变换、平面向
量等知识进行综
合考查.题目难度
中等偏下,多为解
答题第一题.
2017 全国卷Ⅱ 解答题第 17 题 诱导公式、二倍角公式、余弦定
理以及三角形的面积公式
2017 全国卷Ⅲ 解答题第 17 题 余弦定理、三角形的面积公式
2016 全国卷Ⅰ 解答题第 17 题 正、余弦定理及应用
2015 全国卷Ⅱ 解答题第 17 题 正弦定理、余弦定理、三角形的
面积公式
1.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积
为 a2
3sin A
.
(1)求 sin Bsin C;
(2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长.
解:(1)由题设得 1
2
acsin B= a2
3sin A
,
即 1
2
csin B= a
3sin A
.
由正弦定理得 1
2
sin Csin B= sin A
3sin A
.
故 sin Bsin C=2
3
.
(2)由题设及(1)得 cos Bcos C-sin Bsin C=-1
2
,
即 cos(B+C)=-1
2
.
所以 B+C=2π
3
,故 A=π
3
.
由题设得 1
2
bcsin A= a2
3sin A
,即 bc=8.
由余弦定理得 b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,
得 b+c= 33.
故△ABC 的周长为 3+ 33.
2.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C(acos
B+bcos A)=c.
(1)求 C;
(2)若 c= 7,△ABC 的面积为3 3
2
,求△ABC 的周长.
解:(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,
即 2cos Csin(A+B)=sin C,
故 2sin Ccos C=sin C.
因为 C∈(0,π),所以 sin C≠0,
故 cos C=1
2
,所以 C=π
3
.
(2)由已知得 1
2
absin C=3 3
2
.
又 C=π
3
,所以 ab=6.
由已知及余弦定理得 a2+b2-2abcos C=7,
故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25,即 a+b=5.
所以△ABC 的周长为 a+b+c=5+ 7.
题型一 正、余弦定理解三角形
[学规范]
(1)S△ABD=1
2
AB·ADsin∠BAD,…………………………………………1 分
S△ADC=1
2
AC·ADsin∠CAD. …………………………………………2 分
因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD❶,
所以 AB=2AC. …………………………………………3 分
由正弦定理,得sin B
sin C
=AC
AB
=1
2
.…………………………………………4 分
(2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,
所以 BD= 2.…………………………………………6 分
在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理,知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB❷,…………………………………………8 分
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC❸. …………………………………………10 分
故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. …………………………………………11 分
由(1),知 AB=2AC,所以 AC=1. …………………………………………12 分
[防失误]
①处易忽略角平分线性质而失分,注意平面图形的角平分线性质应用.
②③处若未注意到∠ADB+∠ADC=π会导致两式不知如何变形,注意三角形中角的关
系、三角形内角和定理的应用.
[通技法]
利用正弦、余弦定理求解三角形中基本量的方法
[对点练]
1.(2017·云南模拟)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=π
3
,AD∶
AB=2∶3,BD= 7,AB⊥BC.
(1)求 sin ∠ABD 的值;
(2)若∠BCD=2π
3
,求 CD 的长.
解:(1)∵AD∶AB=2∶3,∴可设 AD=2k,AB=3k.
又 BD= 7,∠DAB=π
3
,
∴由余弦定理,得( 7)2=(3k)2+(2k)2-2×3k×2kcosπ
3
,解得 k=1,∴AD=2,AB=
3,
由正弦定理,得 AD
sin∠ABD
= BD
sin∠DAB
,
∴sin∠ABD=ADsin∠DAB
BD
=
2× 3
2
7
= 21
7
.
(2)∵AB⊥BC,∴cos∠DBC=sin∠ABD= 21
7
,
∴sin∠DBC=2 7
7
.
由正弦定理,得 BD
sin∠BCD
= CD
sin∠DBC
,
∴CD=BDsin∠DBC
sin∠BCD
=
7×2 7
7
3
2
=4 3
3
.
题型二 与三角形面积有关的问题
[学规范]
(1)由题设及 A+B+C=π得 sin B=8sin2B
2
,……………………………………………2
分
即 sin B=4(1-cos B)❶,………………………………………………………………3 分
故 17cos2B-32cos B+15=0,………………………………………………………4 分
解得 cos B=15
17
,cos B=1(舍去)❷. ……………………………………………………6
分
(2)由 cos B=15
17
,得 sin B= 8
17
,………………………………………………………7 分
故 S△ABC=1
2
acsin B= 4
17
ac❸. ……………………………………………………………8 分
又 S△ABC=2,则 ac=17
2
.…………………………………………………………………9 分
由余弦定理及 a+c=6 得
b2=a2+c2-2accos B
=(a+c)2-2ac❹(1+cos B) ……………………………………………………………10
分
=36-2×17
2
×
1+15
17
=4. ……………………………………………………………………………………11 分
所以 b=2. ………………………………………………………………………………12 分
[防失误]
①处利用倍角公式时,易把 sin2B
2
=1-cos B
2
记为 sin2B
2
=1+cos B
2
,导致化简结果错误.
②处根据三角形中内角的范围舍去 cos B=1 易忽视.
③处关键是利用(1)的结论,结合平方关系求出 sin B,由此明确面积公式的选择.
④处若出现 a+c 及 ac,则注意余弦定理中配方法的使用,以及整体思想的运用.
[通技法]
与三角形面积有关的问题的解题模型
[对点练]
2.(2017·石家庄模拟)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(a-c)2
=b2-3
4
ac.
(1)求 cos B 的值;
(2)若 b= 13,且 sin A,sin B,sin C 成等差数列,求△ABC 的面积.
解:(1)由(a-c)2=b2-3
4
ac,可得 a2+c2-b2=5
4
ac.
∴cos B=a2+c2-b2
2ac
=5
8
,即 cos B=5
8
.
(2)∵b= 13,cos B=5
8
,
∴b2=13=a2+c2-5
4
ac=(a+c)2-13
4
ac.
又 sin A,sin B,sin C 成等差数列,
由正弦定理,得 a+c=2b=2 13,
∴13=52-13
4
ac,∴ac=12.
由 cos B=5
8
,得 sin B= 39
8
,
∴△ABC 的面积 S△ABC=1
2
acsin B=1
2
×12× 39
8
=3 39
4
.
1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c=8.
(1)若 a=2,b=5
2
,求 cos C 的值;
(2)若 sin A+sin B=3sin C,且△ABC 的面积 S=9
2
sin C,求 a 和 b 的值.
解:(1)由题意可知 c=8-(a+b)=7
2
.
由余弦定理得,
cos C=a2+b2-c2
2ab
=
22+
5
2 2-
7
2 2
2×2×5
2
=-1
5
.
即 cos C=-1
5
.
(2)因为 sin A+sin B=3sin C.
由正弦定理可知 a+b=3c.
又因为 a+b+c=8,故 a+b=6. ①
由于 S=1
2
absin C=9
2
sin C,
所以 ab=9, ②
由①②解得 a=3,b=3.
2.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin A+ 3cos
A=0,a=2 7,b=2.
(1)求 c;
(2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD⊥AC,求△ABD 的面积.
解:(1)由已知可得 tan A=- 3,所以 A=2π
3
.
在△ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos 2π
3
,
即 c2+2c-24=0.解得 c=4(负值舍去).
(2)由题设可得∠CAD=π
2
,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π
6
.
故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为
1
2
AB·AD·sin π
6
1
2
AC·AD
=1.
又△ABC 的面积为1
2
×4×2×sin2π
3
=2 3,
所以△ABD 的面积为 3.
3.(2017·天津模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 sin A+cos
A=1-sinA
2
.
(1)求 sin A 的值;
(2)若 c2-a2=2b,且 sin B=3cos C,求 b.
解:(1)由已知,2sinA
2
cosA
2
+1-2sin2A
2
=1-sinA
2
,
在△ABC 中,sinA
2
≠0,因而 sinA
2
-cosA
2
=1
2
,
则 sin2A
2
-2sinA
2
cosA
2
+cos2A
2
=1
4
,
因而 sin A=3
4
.
(2)由已知 sin B=3cos C,
结合(1),得 sin B=4cos Csin A.
法一:利用正弦定理和余弦定理得
b=4 a2+b2-c2
2ab
×a,整理得 b2=2(c2-a2).
又 c2-a2=2b,∴b2=4b,
在△ABC 中,b≠0,∴b=4.
法二:∵c2=a2+b2-2abcos C,
∴2b=b2-2abcos C,
在△ABC 中,b≠0,
∴b=2+2acos C, ①
又 sin B=4cos Csin A,
由正弦定理,得 b=4acos C, ②
由①②解得 b=4.
4.(2017·天津五区县模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 8
sin2A+B
2
-2cos 2C=7.
(1)求 tan C 的值;
(2)若 c= 3,sin B=2sin A,求 a,b 的值.
解:(1)在△ABC 中,因为 A+B+C=π,
所以A+B
2
=π
2
-C
2
,则 sinA+B
2
=cosC
2
.
由 8sin2A+B
2
-2cos 2C=7,得 8cos2C
2
-2cos 2C=7,
所以 4(1+cos C)-2(2cos2C-1)=7,
即(2cos C-1)2=0,所以 cos C=1
2
.
因为 0<C<π,所以 C=π
3
,
于是 tan C=tanπ
3
= 3.
(2)由 sin B=2sin A,得 b=2a. ①
又 c= 3,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosπ
3
,
即 a2+b2-ab=3. ②
联立①②,解得 a=1,b=2.
5.(2018 届高三·湘中名校联考)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,
c,a=2bsin A.
(1)求 B 的大小;
(2)求 cos A+sin C 的取值范围.
解:(1)∵a=2bsin A,
根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,∵sin A≠0,
∴sin B=1
2
.又△ABC 为锐角三角形,∴B=π
6
.
(2)∵B=π
6
,∴cos A+sin C=cos A+sin
π-π
6
-A
=cos A+sin
π
6
+A
=cos A+1
2
cos A+ 3
2
sin A
= 3sin
A+π
3 .
由△ABC 为锐角三角形知,A+B>π
2
,
∴π
3
<A<π
2
,∴2π
3
<A+π
3
<5π
6
,
∴1
2
<sin
A+π
3 < 3
2
,
∴ 3
2
< 3sin
A+π
3 <3
2
,
∴cos A+sin C 的取值范围为
3
2
,3
2 .
6.(2017·洛阳模拟)如图,平面四边形 ABDC 中,∠CAD=∠BAD=
30°.
(1)若∠ABC=75°,AB=10,且 AC∥BD,求 CD 的长;
(2)若 BC=10,求 AC+AB 的取值范围.
解:(1)由已知,易得∠ACB=45°,
在△ABC 中, 10
sin 45°
= CB
sin 60°
,解得 CB=5 6.
因为 AC∥BD,所以∠ADB=∠CAD=30°,∠CBD=∠ACB=45°,
在△ABD 中,∠ADB=30°=∠BAD,
所以 DB=AB=10.
在△BCD 中,CD= CB2+DB2-2CB·DBcos 45°=5 10-4 3.
(2)AC+AB>BC=10,
由余弦定理得 cos 60°=AB2+AC2-100
2AB·AC
,
即(AB+AC)2-100=3AB·AC.
又 AB·AC≤
AB+AC
2 2,
所以 AB+AC 2-100
3
≤
AB+AC
2 2,
解得 AB+AC≤20,
故 AB+AC 的取值范围为(10,20].
高考第 17 题之(二)数 列
年 份 卷 别 考题位置 考查内容 命题规律分析
2016 全国卷Ⅱ 解答题第
17 题
等差数列的基本运
算
数列在解答题中的考查常以数
列的相关项以及关系式,或数列的
前 n 项和与第 n 项的关系入手,结
合数列的递推关系式与等差数列或
等比数列的定义展开,求解数列的
通项、前 n 项和,有时与参数的求
解、数列不等式的证明等加以综
合.试题难度中等.
2016 全国卷Ⅲ 解答题第
17 题
等比数列的通项公
式、an 与 Sn 的关系
2015 全国卷Ⅰ 解答题第
17 题
等差数列的通项公
式、an 与 Sn 的关系、
裂项相消法求和
1.(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若 S5=31
32
,求λ.
解:(1)证明:由题意得 a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1= 1
1-λ
,故 a1≠0.
由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1 得 an+1=λan+1-λan,
即 an+1(λ-1)=λan.
由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0,
所以an+1
an
= λ
λ-1
.
因此{an}是首项为 1
1-λ
,
公比为 λ
λ-1
的等比数列,
于是 an= 1
1-λ
λ
λ-1 n-1.
(2)由(1)得 Sn=1-
λ
λ-1 n.
由 S5=31
32
得 1-
λ
λ-1 5=31
32
,即
λ
λ-1 5= 1
32
.
解得λ=-1.
2.(2015·全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,a2
n+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设 bn= 1
anan+1
,求数列{bn}的前 n 项和.
解:(1)由 a2
n+2an=4Sn+3,①
可知 a2
n+1+2an+1=4Sn+1+3.②
②-①,得 a2
n+1-a2
n+2(an+1-an)=4an+1,
即 2(an+1+an)=a2
n+1-a2
n=(an+1+an)(an+1-an).
由 an>0,得 an+1-an=2.
又 a2
1+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.
所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
(2)由 an=2n+1 可知
bn= 1
anan+1
= 1
2n+1 2n+3
=1
2
1
2n+1
- 1
2n+3 .
设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn
=1
2
1
3
-1
5 +
1
5
-1
7 +…+
1
2n+1
- 1
2n+3
= n
3 2n+3
.
题型一 等差、等比数列的判定及应用
[学规范]
(1)设{an}的公比为 q.
由 题 设 可 得
a1 1+q =2,
a1 1+q+q2 =-6.
❶………………………………………………………3 分
解得
a1=-2,
q=-2.
5 分
故{an}的通项公式为 an=(-2)n. …………………………………………………………6
分
(2)由(1)可得 Sn= -2× [1- -2 n]
1- -2
=-2
3
+(-1)n2n+1
3
❷. ……………………………………………………………………8 分
由于 Sn+2+Sn+1=-4
3
+(-1)n2n+3-2n+2
3
=2
-2
3
+ -1 n2n+1
3 =2Sn
❸,………………………………………………………10 分
故 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列. ………………………………………………………12 分
[防失误]
①处注意此类方程组的整体运算方法的运用,可快速求解.
②处化简 Sn 时易出现计算错误.
③处对于 Sn+2+Sn+1 的运算代入后,要针对目标,即化为 2Sn,观察结构,整体运算变形,
可得结论.
[通技法]
1.等比数列的 4 种判定方法
(1)定义法:若an+1
an
=q(q 为非零常数)或 an
an-1
=q(q 为非零常数且 n≥2),则{an}是等比数
列.
(2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0 且 a2
n+1=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·qn(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*),
则{an}是等比数列.
(4)前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k·qn-k(k 为常数且 k≠0,q≠0,1),
则{an}是等比数列.
2.证明一个数列{an}为等差数列的 2 种基本方法
(1)利用等差数列的定义证明,即证明 an+1-an=d(n∈N*);
(2)利用等差中项证明,即证明 an+2+an=2an+1(n∈N*).
[对点练]
1.(2017·成都模拟)已知数列{an}满足 a1=-2,an+1=2an+4.
(1)证明:数列{an+4}是等比数列;
(2)求数列{|an|}的前 n 项和 Sn.
解:(1)证明:∵a1=-2,∴a1+4=2.
∵an+1=2an+4,∴an+1+4=2an+8=2(an+4),
∴an+1+4
an+4
=2,
∴{an+4}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.
(2)由(1),可知 an+4=2n,∴an=2n-4.
当 n=1 时,a1=-2<0,∴S1=|a1|=2;
当 n≥2 时,an≥0.
∴Sn =-a1 +a2 +…+an =2+(22 -4)+…+(2n -4)=2+22 +…+2n -4(n-1)=
2 1-2n
1-2
-4(n-1)=2n+1-4n+2.
又当 n=1 时,上式也满足.
∴当 n∈N*时,Sn=2n+1-4n+2.
题型二 等差、等比数列的综合应用
[学规范]
(1)设数列{an}的公差为 d,由已知得 7+21d=28,
解得 d=1.
所以数列{an}的通项公式为 an=n. ………………………………………………………2
分
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2❶.
………………………………………………………………………………………………5
分
(2)因为 bn=
0,1≤n<10,
1,10≤n<100,
2,100≤n<1 000,
3,n=1 000,
❷………………………………………………9 分
所以数列{bn}的前 1 000 项和为 1×90+2×900+3×1=1 893. ………………………12
分
[防失误]
①处易出现不理解[x]的含义而求错值,注意理解题目中给出的例子.
②处不明白 bn=[lg an]的含义而求错 bn,要抓住 lg an 与 an 的关系,分段要明确才能避
免失误.
[通技法]
等差、等比数列基本量的计算模型
(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题.如为求
和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的逻辑次序.
(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则
要看其是否有等于 1 的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示
等.
[对点练]
2.(2017·合肥模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S4=24,S7=63.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 bn=2an+(-1)n·an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解:(1)∵{an}为等差数列,
∴
S4=4a1+4×3
2
d=24,
S7=7a1+7×6
2
d=63,
解得
a1=3,
d=2,
∴an=2n+1.
(2)∵bn=2an+(-1)n·an=22n+1+(-1)n·(2n+1)=2×4n+(-1)n·(2n+1),
∴Tn=2×(41+42+…+4n)+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=8 4n-1
3
+Gn.
当 n=2k(k∈N*)时,Gn=2×n
2
=n,
∴Tn=8 4n-1
3
+n;
当 n=2k-1(k∈N*)时,Gn=2×n-1
2
-(2n+1)=-n-2,
∴Tn=8 4n-1
3
-n-2,
∴Tn=
8 4n-1
3
+n n=2k,k∈N* ,
8 4n-1
3
-n-2 n=2k-1,k∈N* .
1.(2017· 长沙模拟)已知数列{an}满足 a1=3
2
,an+1=3an-1(n∈N*).
(1)若数列{bn}满足 bn=an-1
2
,求证:{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解:(1)证明:由已知得 an+1-1
2
=3
an-1
2 (n∈N*),从而有 bn+1=3bn.又 b1=a1-1
2
=1,
所以{bn}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列.
(2)由(1)得 bn=3n-1,从而 an=3n-1+1
2
,
所以 Sn=1+1
2
+3+1
2
+…+3n-1+1
2
=1+3+…+3n-1+n
2
=1-3n
1-3
+n
2
=3n+n-1
2
.
2.(2017·云南模拟)已知数列{an}中,a2
n+2an-n2+2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解:(1)由 a2
n+2an-n2+2n=0,
得(an-n+2)(an+n)=0.
∴an=n-2 或 an=-n.
∴{an}的通项公式为 an=n-2 或 an=-n.
(2)①当 an=n-2 时,易知{an}为等差数列,且 a1=-1,
∴Sn=n a1+an
2
=n -1+n-2
2
=n n-3
2
.
②当 an=-n 时,易知{an}也为等差数列,且 a1=-1,
∴Sn=n a1+an
2
=n -1-n
2
=-n n+1
2
.
故 Sn=
n n-3
2
an=n-2 ,
-n n+1
2
an=-n .
3.(2017·南京模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,S3+S4=S5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令 bn=(-1)n-1an,求数列{bn}的前 2n 项和 T2n.
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,
由 S3+S4=S5,可得 a1+a2+a3=a5,即 3a2=a5,
所以 3(1+d)=1+4d,解得 d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1),可得 bn=(-1)n-1·(2n-1).
∴T2n=1-3+5-7+…+(4n-3)-(4n-1)
=(1-3)+(5-7)+…+(4n-3-4n+1)
=(-2)×n=-2n.
4.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前 n 项和为 Sn.数列{bn}为等比数列,b1
=1,且 b2S2=6,b2+S3=8.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求1
S1
+1
S2
+…+1
Sn
.
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,d>0,等比数列{bn}的公比为 q,
则 an=1+(n-1)d,bn=qn-1.
依题意有
q 2+d =6,
q+3+3d=8,
解得
d=1,
q=2
或
d=-4
3
,
q=9
(舍去).
故 an=n,bn=2n-1.
(2)由(1)知 Sn=1+2+…+n=1
2
n(n+1),
即1
Sn
= 2
n n+1
=2
1
n
- 1
n+1 ,
故1
S1
+1
S2
+…+1
Sn
=2
1-1
2 +
1
2
-1
3 +…+
1
n
- 1
n+1 =2
1- 1
n+1 = 2n
n+1
.
5.(2018 届高三·惠州调研)已知数列{an}中,点(an,an+1)在直线 y=x+2 上,且首项
a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前 n 项和为
Tn,请写出适合条件 Tn≤Sn 的所有 n 的值.
解:(1)根据已知 a1=1,an+1=an+2,
即 an+1-an=2=d,
所以数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,
an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)数列{an}的前 n 项和 Sn=n2.
等比数列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,
所以 q=3,bn=3n-1.
数列{bn}的前 n 项和 Tn=1-3n
1-3
=3n-1
2
.
Tn≤Sn 即3n-1
2
≤n2,又 n∈N*,
所以 n=1 或 2.
6.(2017·石家庄模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2
=14(m≥2,且 m∈N*).
(1)求 m 的值;
(2)若数列{bn}满足an
2
=log2bn(n∈N*),求数列{(an+6)·bn}的前 n 项和.
解:(1)由已知得,am=Sm-Sm-1=4,
且 am+1+am+2=Sm+2-Sm=14,
设数列{an}的公差为 d,则有 2am+3d=14,
∴d=2.
由 Sm=0,得 ma1+m m-1
2
×2=0,
即 a1=1-m,
∴am=a1+(m-1)×2=m-1=4,
∴m=5.
(2)由(1)知 a1=-4,d=2,∴an=2n-6,
∴n-3=log2bn,得 bn=2n-3,
∴(an+6)·bn=2n×2n-3=n×2n-2.
设数列{(an+6)·bn}的前 n 项和为 Tn,
则 Tn=1×2-1+2×20+…+(n-1)×2n-3+n×2n-2,①
2Tn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,②
①-②,得-Tn=2-1+20+…+2n-2-n×2n-1
=2-1 1-2n
1-2
-n×2n-1
=2n-1-1
2
-n×2n-1,
∴Tn=(n-1)×2n-1+1
2
(n∈N*).
高考第 18 题(或 19 题)立体几何
年 份
卷
别
考题位置 考查内容 命题规律分析
2017 全 国
卷Ⅰ
解答题第 18 题 线面垂直、面面垂直的证明
及二面角的求解
高考中此部分命题
较为稳定,以解答题的
形式考查空间平行关系
和垂直关系的证明,空
间几何体表面积和体积
的计算,异面直线所成
的角、线面角和二面角
的求解,简单的空间距
离的求解,难度中等偏
上.其中解答题的基本
模式是既有证明也有计
算,而计算离不开证明,
以考查证明为主.
2017 全 国
卷Ⅱ
解答题第 19 题 线面平行的证明及二面角
的求解
2017 全 国
卷Ⅲ
解答题第 19 题 面面垂直的证明及二面角
的求解
2016 全 国
卷Ⅰ
解答题第 18 题 面面垂直的证明及二面角
的求解
2016 全 国
卷Ⅱ
解答题第 19 题 线面垂直的证明及二面角
的求解
2016 全 国
卷Ⅲ
解答题第 19 题 线面平行的证明及线面角
的求解
2015 全 国
卷Ⅰ
解答题第 18 题 面面垂直的证明、异面直线
所成角的求解
2015 全 国
卷Ⅱ
解答题第 19 题 空间点线面的位置关系及
线面角的求解
1.(2017·全国卷Ⅲ)如图,四面体 ABCD 中,△ABC 是正三角
形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC;
(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成
体积相等的两部分,求二面角 DAEC 的余弦值.
解:(1)证明:由题设可得,△ABD≌△CBD,从而 AD=DC.
又△ACD 是直角三角形,所以∠ADC=90°.
取 AC 的中点 O,连接 DO,BO,则 DO⊥AC,DO=AO.
又因为△ABC 是正三角形,所以 BO⊥AC.
所以∠DOB 为二面角 DACB 的平面角.
在 Rt△AOB 中,BO2+AO2=AB2.
又 AB=BD,
所以 BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,
故∠DOB=90°.
所以平面 ACD⊥平面 ABC.
(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD 两两垂直.以 O 为坐标原点, OA―→的方向为 x 轴正方
向,| OA―→|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,
0),C(-1,0,0),D(0,0,1).
由题设知,四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的1
2
,从而 E 到平面 ABC 的距离为
D 到平面 ABC 的距离的1
2
,即 E 为 DB 的中点,得 E
0, 3
2
,1
2 .故 AD―→=(-1,0,1),AC―→=(-
2,0,0), AE―→=
-1, 3
2
,1
2 .
设 n=(x1,y1,z1)是平面 DAE 的法向量,
则
n· AD―→=0,
n· AE―→=0,
即
-x1+z1=0,
-x1+ 3
2
y1+1
2
z1=0.
可取 n=
1, 3
3
,1
.
设 m=(x2,y2,z2)是平面 AEC 的法向量,
则
m· AC―→=0,
m· AE―→=0,
即
-2x2=0,
-x2+ 3
2
y2+1
2
z2=0,
可取 m=(0,-1, 3).
则 cos〈n,m〉= n·m
|n||m|
=
- 3
3
+ 3
21
3
×2
= 7
7
.
由图知二面角 DAEC 为锐角,
所以二面角 DAEC 的余弦值为 7
7
.
2.(2016·全国卷Ⅰ)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五
面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 DAFE
与二面角 CBEF 都是 60°.
(1)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC;
(2)求二面角 EBCA 的余弦值.
解:(1)证明:由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE,且 DF∩EF=F,
所以 AF⊥平面 EFDC.
又 AF⊂平面 ABEF,
故平面 ABEF⊥平面 EFDC.
(2)过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G.
由(1)知 DG⊥平面 ABEF.
以 G 为坐标原点, GF―→的方向为 x 轴正方向,| GF―→|为单位长,建立如图所示的空间直
角坐标系 G xyz.
由(1)知∠DFE 为二面角 D AFE 的平面角,
故∠DFE=60°,则 DF=2,DG= 3,
可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 3).
由已知得 AB∥EF,所以 AB∥平面 EFDC.
又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD,
故 AB∥CD,CD∥EF.
由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC,
所以∠CEF 为二面角 CBEF 的平面角,∠CEF=60°.
从而可得 C(-2,0, 3).
所以 EC―→=(1,0, 3), EB―→=(0,4,0), AC―→=(-3,-4, 3), AB―→=(-4,0,0).
设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量,
则
n· EC―→=0,
n· EB―→=0,
即 x+ 3z=0,
4y=0,
所以可取 n=(3,0,- 3).
设 m 是平面 ABCD 的法向量,则
m· AC―→=0,
m· AB―→=0,
同理可取 m=(0, 3,4).
则 cos 〈n,m〉= n·m
|n||m|
=-2 19
19
.
由图知,二面角 EBCA 为钝角,
故二面角 EBCA 的余弦值为-2 19
19
.
3.(2015·全国卷Ⅰ)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,
F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,
AE⊥EC.
(1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC;
(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.
解:(1)证明:如图,连接 BD,设 BD∩AC 于点 G,连接 EG,
FG,EF.在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1.
由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3.由 BE⊥平面 ABCD,AB
=BC,
可知 AE=EC.
又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC.
在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 2
2
.
在 Rt△FDG 中,可得 FG= 6
2
.
在直角梯形 BDFE 中,
由 BD=2,BE= 2,DF= 2
2
,
可得 EF=3 2
2
.
从而 EG2+FG2=EF2,所以 EG⊥FG.
又 AC∩FG=G,所以 EG⊥平面 AFC.
因为 EG⊂平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC.
(2)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB―→, GC―→的方向为 x 轴,y 轴正方向,| GB―→|为单
位长度,建立空间直角坐标系 Gxyz.由(1)可得 A(0,- 3,0),E(1,0, 2),F
-1,0, 2
2 ,
C(0, 3,0),
所以 AE―→=(1, 3, 2), CF―→=
-1,- 3, 2
2 .
故 cos〈 AE―→,CF―→〉=
AE―→· CF―→
| AE―→|| CF―→|
=- 3
3
.
所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 3
3
.
题型一 平行、垂直关系的证明与线面角求法
[学规范]
(1)证明:由已知得 AM=2
3
AD=2. ……………………………………………………1 分
又 AD∥BC,BC=4.
所以 AM 綊 1
2
BC. ………………………………………………2 分
取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC,TN
=1
2
BC=2❶. ……………………………………………………3 分
故 TN 綊 AM , 所 以 四 边 形 AMNT 为 平 行 四 边 形 , 于 是 MN ∥
AT. ……………………4 分
因为 MN⊄ 平面 PAB❷,AT⊂平面 PAB,………………………………………………5 分
所以 MN∥平面 PAB.6 分
(2)取 BC 的中点 E,连接 AE.
由 AB=AC 得 AE⊥BC,从而 AE⊥AD,………………………………………………7 分
且 AE= AB2-BE2= AB2-
BC
2 2= 5.……………………………………………8 分
以 A 为坐标原点, AE―→的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz❸.9
分
由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C( 5,2,0),N
5
2
,1,2
,
PM―→=(0,2,-4), PN―→=
5
2
,1,-2
, AN―→=
5
2
,1,2
.
设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,
则
n· PM―→=0,
n· PN―→=0,
即
2y-4z=0,
5
2
x+y-2z=0, ……………………………………10 分
可取 n=(0,2,1)❹. ……………………………………………………………………11 分
于是|cos〈n,AN―→〉|=
|n· AN―→|
|n|| AN―→|
=8 5
25
.
所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值❺为8 5
25
.…………………………12 分
[防失误]
①处易忽视 TN 綊 1
2
BC,导致没有思路建立平行关系,注意平面图形性质的应用.
②处在证明线面平行问题时,易忽视线不在面内这一条件从而失分,注意线面平行条件
使用的规范化.
③处建立恰当坐标系是要选准原点及坐标轴,注意建系的原则是尽可能使几何体的点、
面在坐标平面上.
④处求法向量 n 有无穷多个,但要注意取值时要尽量简单.
⑤处易误认为|cos〈n,AN―→〉|的值是线面角的余弦值,注意 sin θ=|cos〈n,AN―→〉
|.
[通技法]
利用空间向量求线面角的解题模型
[对点练]
1.(2017·云南模拟)如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底
面 ABCD,PA=2,∠ABC=90°,AB= 3,BC=1,AD=2 3,∠ACD
=60°,E 为 CD 的中点.
(1)求证:BC∥平面 PAE;
(2)求直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值.
解:(1)证明:∵AB= 3,BC=1,∠ABC=90°,
∴AC=2,∠BCA=60°.
在△ACD 中,
∵AD=2 3,AC=2,∠ACD=60°,
∴由余弦定理可得,
AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠ACD,
∴CD=4,
∴AC2+AD2=CD2,
∴△ACD 是直角三角形.
又 E 为 CD 的中点,∴AE=1
2
CD=CE,
又∠ACD=60°,∴△ACE 是等边三角形,
∴∠CAE=60°=∠BCA,∴BC∥AE.
又 BC⊄ 平面 PAE,AE⊂平面 PAE,
∴BC∥平面 PAE.
(2)由(1)可知∠BAE=90°,以点 A 为原点,以 AB,AE,AP
所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 P(0,0,2),B( 3,0,0),C( 3,1,0),D(- 3,3,0),
∴ PB―→=( 3,0,-2), PC―→=( 3,1,-2), PD―→=(- 3,
3,-2).
设 n=(x,y,z)为平面 PBC 的法向量,
则
n· PB―→=0,
n· PC―→=0,
即
3x-2z=0,
3x+y-2z=0,
令 x=1,得 z= 3
2
,y=0,∴n=
1,0, 3
2 ,
∴|cos〈n,PD―→〉|=
|n·| PD―→|
|n|·| PD―→|
=
2 3
7
4
· 16
= 21
7
,
∴直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 21
7
.
题型二 平行、垂直关系的证明与二面角的求法
[学规范]
(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,
得 AB⊥AP,CD⊥PD. ……………………………………………………………………2 分
因为 AB∥CD,所以 AB⊥PD. …………………………………………………………3 分
又 AP∩PD=P❶,所以 AB⊥平面 PAD. …………………………………………………4 分
又 AB⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD. ………………………………………5 分
(2)在平面 PAD 内作 PF⊥AD,垂足为 F.
由(1)可知,AB⊥平面 PAD❷,
故 AB⊥PF,
可得 PF⊥平面 ABCD.
以 F 为坐标原点, FA―→的方向为 x 轴正方向,| AB―→|为单位长度,建立如图所示的空间
直角坐标系 Fxyz.
由(1)及已知可得 A
2
2
,0,0
,P
0,0, 2
2 ,B
2
2
,1,0
,
C
- 2
2
,1,0
.
所以 PC―→=
- 2
2
,1,- 2
2 , CB―→=( 2,0,0),
PA―→=
2
2
,0,- 2
2 , AB―→=(0,1,0). …………………………………………………8
分
设 n=(x1,y1,z1)是平面 PCB 的法向量,
则
n· PC―→=0,
n· CB―→=0,
即
- 2
2
x1+y1- 2
2
z1=0,
2x1=0.
所以可取 n=(0,-1,- 2)❸. …………………………………………………………9
分
设 m=(x2,y2,z2)是平面 PAB 的法向量,
则
m· PA―→=0,
m· AB―→=0,
即
2
2
x2- 2
2
z2=0,
y2=0.
所以可取 m=(1,0,1)❹.10 分
则 cos〈n,m〉= n·m
|n||m|
= - 2
3× 2
=- 3
3
.………………………………………………11
分
由图知二面角 APBC 为钝角❺,
所以二面角 APBC 的余弦值为- 3
3
.…………………………………………………12 分
[防失误]
①处易忽视 AP∩PD=P 是证明线面垂直的关键条件,注意线面垂直判定定理中条件使用
的规范化.
②处易忽视充分利用(1)的结论,导致无法准确得到创设空间直角坐标系的条件.
③④处易求错法向量导致后面结果全部错误,注意法向量的求法.
⑤处易忽视结合图形判断所求二面角是锐角还是钝角,导致给出错误答案.
[通技法]
利用空间向量求二面角的解题模型
[对点练]
2.(2017·贵阳模拟)如图所示,该几何体由一个直三棱柱
ADEBCF 和一个正四棱锥 PABCD 组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.
(1)证明:平面 PAD⊥平面 ABFE;
(2)若正四棱锥 PABCD 的高为 1,求二面角 CAFP 的余弦值.
解:(1)证明:∵直三棱柱 ADEBCF 中,AB⊥平面 ADE,
∴AB⊥AD,又 AD⊥AF,AB∩AF=A,
∴AD⊥平面 ABFE,∵AD⊂平面 PAD,
∴平面 PAD⊥平面 ABFE.
(2)∵AD∥BC,AD⊥平面 ABFE,∴BC⊥平面 ABFE,且 AB⊥BF,以 B
为坐标原点,BA,BF,BC 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所
示的空间直角坐标系 Bxyz.
∵正四棱锥 PABCD 的高为 1,
AE=AD=2,
∴A(2,0,0),F(0,2,0),C(0,0,2),P(1,-1,1),
∴ AF―→=(-2,2,0), CF―→=(0,2,-2), PA―→=(1,1,-1),
设 n1=(x1,1,z1)是平面 ACF 的一个法向量,
则
n1· AF―→=0,
n1· CF―→=0,
即
-2x1+2=0,
2-2z1=0,
解得 x1=1,z1=1,即 n1=(1,1,1).
设 n2=(x2,1,z2)是平面 PAF 的一个法向量,
则
n2· AF―→=0,
n2· PA―→=0,
即
-2x2+2=0,
x2+1-z2=0,
解得 x2=1,z2=2,即 n2=(1,1,2).
∴cos〈n1,n2〉= n1·n2
|n1|·|n2|
=1+1+2
3× 6
=2 2
3
,
由图知,二面角 CAFP 是锐角,
∴二面角 CAFP 的余弦值是2 2
3
.
1.(2018 届高三·广西五校联考)如图,菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,
AC 与 BD 相交于点 O,AE⊥平面 ABCD,CF∥AE,AB=AE=2.
(1)求证:BD⊥平面 ACFE;
(2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45°时,求异面直线 OF 与 BE
所成的角的余弦值大小.
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是菱形,
∴BD⊥AC.
∵AE⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD,
∴BD⊥AE.
∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面 ACFE.
(2)以 O 为坐标原点,OA―→, OB―→的方向为 x 轴,y 轴正方向,过 O
且平行于 CF 的直线为 z 轴(向上为正方向),建立如图所示的空间直角
坐标系 Oxyz,设 CF=a,则 B(0, 3,0),D(0,- 3,0),E(1,0,2),
F(-1,0,a)(a>0), OF―→=(-1,0,a).
设平面 BED 的法向量为 n=(x,y,z),
则
n· OB―→=0,
n· OE―→=0,
即 3y=0,
x+2z=0,
令 z=1,则 n=(-2,0,1),
由题意得 sin 45°=|cos〈 OF―→,n〉|=
|OF·n|
| OF―→||n|
= |2+a|
a2+1· 5
= 2
2
,解得 a=3 或
a=-1
3
.
由 a>0,得 a=3,
OF―→=(-1,0,3), BE―→=(1,- 3,2),
∴cos〈 OF―→,BE―→〉= -1+6
10× 8
= 5
4
,
故异面直线 OF 与 BE 所成的角的余弦值为 5
4
.
2.(2017·合肥模拟)如图所示,在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中,AA1⊥底
面 ABCD,四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
(1)若 M 为 CD 中点,求证:AM⊥平面 AA1B1B;
(2)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值.
解:(1)证明:连接 AC,
∵四边形 ABCD 为菱形,
∠BAD=120°,
∴△ACD 为等边三角形,
又 M 为 CD 中点,
∴AM⊥CD,由 CD∥AB 得,
AM⊥AB.
∵AA1⊥底面 ABCD,AM⊂平面 ABCD,∴AM⊥AA1.
又 AB∩AA1=A,
∴AM⊥平面 AA1B1B.
(2)∵四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,
∴DM=1,AM= 3,∴∠AMD=∠BAM=90°,
又 AA1⊥底面 ABCD,
∴以 A 为坐标原点,AB,AM,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系 Axyz,
则 A1(0,0,2),B(2,0,0),D(-1, 3,0),D1
-1
2
, 3
2
,2
,
∴ DD1
―→=
1
2
,- 3
2
,2
, BD―→=(-3, 3,0), A1B―→=(2,0,-2).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
则
n· BD―→=0,
n· A1B―→=0,
即 -3x+ 3y=0,
2x-2z=0,
令 x=1,则 n=(1, 3,1),
∴|cos〈n,DD1
―→〉|=
|n· DD1
―→|
|n|·| DD1
―→|
= 1
5× 5
=1
5
.
∴直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为1
5
.
3.(2018 届高三·洛阳四校调研)如图,四边形 ABEF 和四边形 ABCD
均是直角梯形,∠FAB=∠DAB=90°,二面角 FABD 是直二面角,BE
∥AF,BC∥AD,AF=AB=BC=2,AD=1.
(1)证明:在平面 BCE 上,一定存在过点 C 的直线 l 与直线 DF 平
行;
(2)求二面角 FCDA 的余弦值.
解:(1)证明:由已知得,BE∥AF,BE⊄ 平面 AFD,AF⊂平面 AFD,
∴BE∥平面 AFD.
同理可得,BC∥平面 AFD.
又 BE∩BC=B,∴平面 BCE∥平面 AFD.
设平面 DFC∩平面 BCE=l,则 l 过点 C.
∵平面 BCE∥平面 ADF,平面 DFC∩平面 BCE=l,平面 DFC∩平面 AFD=DF,
∴DF∥l,即在平面 BCE 上一定存在过点 C 的直线 l,使得 DF∥l.
(2)∵平面 ABEF⊥平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,FA⊂平面 ABEF,
又∠FAB=90°,∴AF⊥AB,∴AF⊥平面 ABCD.
∵AD⊂平面 ABCD,∴AF⊥AD.
∵∠DAB=90°,∴AD⊥AB.
以 A 为坐标原点,AD,AB,AF 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建
立如图所示的空间直角坐标系,由已知得,D(1,0,0),C(2,2,0),
F(0,0,2),∴ DF―→=(-1,0,2), DC―→=(1,2,0).
设平面 DFC 的法向量为 n=(x,y,z),
则
n· DF―→=0,
n· DC―→=0,
即
-x+2z=0,
x+2y=0,
令 z=1,则 n=(2,-1,1),
不妨取平面 ACD 的一个法向量为 m=(0,0,1),
∴cos〈m,n〉= m·n
|m||n|
= 1
6
= 6
6
,
由于二面角 FCDA 为锐角,
因此二面角 FCDA 的余弦值为 6
6
.
4.(2017·全国卷Ⅱ)如图,四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD 为等
边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=1
2
AD,∠BAD=∠ABC=90°,
E 是 PD 的中点.
(1)证明:直线 CE∥平面 PAB;
(2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°,求二面角 MABD 的余弦值.
解:(1)证明:取 PA 的中点 F,连接 EF,BF.
因为 E 是 PD 的中点,所以 EF∥AD,EF=1
2
AD.
由∠BAD=∠ABC=90°,得 BC∥AD,
又 BC=1
2
AD,所以 EF 綊 BC,
所以四边形 BCEF 是平行四边形,CE∥BF,
又 CE⊄ 平面 PAB,BF⊂平面 PAB,
故 CE∥平面 PAB.
(2)由已知得 BA⊥AD,以 A 为坐标原点, AB―→的方向为 x 轴正
方向,| AB―→|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),
C(1,1,0),P(0,1, 3), PC―→=(1,0,- 3), AB―→=(1,0,0).
设 M(x,y,z)(0
6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于 50 kg 的直方图面积为(0.004
+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,
箱产量低于 55 kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+0.5-0.34
0.068
≈52.35(kg).
2.(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器
有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使
用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易
损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱
状图:
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概
率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的
易损零件数.
(1)求 X 的分布列;
(2)若要求 P(X≤n)≥0.5,确定 n 的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19 与 n=20 之中选其一,应
选用哪个?
解:(1)由柱状图及以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为
8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2.
从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.4×0.2+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以 X 的分布列为:
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知 P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,
故 n 的最小值为 19.
(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当 n=19 时,
E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200
+3×500)×0.04=4 040;
当 n=20 时,
E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当 n=19 时所需费用的期望值小于当 n=20 时所需费用的期望值,故应选 n=19.
3.(2014·全国卷Ⅱ)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数
据如下表:
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求 y 关于 t 的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变
化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
b^=错误!,a^= y -b^ t .
解:(1)由所给数据计算得
t =1
7
(1+2+3+4+5+6+7)=4,
y =1
7
(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
错误!(ti- t )2=9+4+1+0+1+4+9=28,
错误!(ti- t )(yi- y )=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1
+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
b^=错误!=14
28
=0.5,
a^= y -b^ t =4.3-0.5×4=2.3,
所求回归方程为y^=0.5t+2.3.
(2)由(1)知,b^=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,
平均每年增加 0.5 千元.
将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得y^=0.5×9+2.3=6.8,
故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.
题型一 离散型随机变量的期望及综合应用
[典例] (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成
本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根
据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25,
需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,
需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,
得下面的频数分布表:
[学规范]
(1)由题意知,X 所有可能取值为 200,300,500❶,……………………………………2 分
由表格数据知
P(X=200)=2+16
90
=0.2,P(X=300)=36
90
=0.4,
P(X=500)=25+7+4
90
=0.4. ……………………………………………………………5
分
因此 X 的分布列为:
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
………………………………………………………………………………………………6
分
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为 500,至少为 200,因此只需考虑
200≤n≤500❷. ………………………………………………………………………………7 分
当 300≤n≤500 时,
若最高气温不低于 25,则 Y=6n-4n=2n❸;
若最高气温位于区间[20,25),
则 Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n❹;
若最高气温低于 20,则 Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n❺.
因 此 EY = 2n×0.4 + (1 200 - 2n)×0.4 + (800 - 2n)×0.2 = 640 -
0.4n. …………………9 分
当 200≤n<300 时,
若最高气温不低于 20,则 Y=6n-4n=2n❻;
若最高气温低于 20,则 Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n❼.
因此 EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.11 分
所以 n=300 时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为 520 元. ……………………12 分
[防失误]
①处易出现题意理解错误,导致求错 X 的取值.
②处易忽视题意中需求量 n 的范围.
③④⑤⑥⑦处易忽视酸奶的利润 Y 取决于酸奶的需求量及售不完的也要当天处理完,导
致 Y 值求错.
[通技法]
求解离散型随机变量的期望与方差的解题模型
[对点练]
1.(2017·陕西模拟)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活
中我们应该提倡低碳生物,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为
此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,
随机抽查了 50 人,将调查结果进行整理后制成下表:
年龄/岁 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 6 9 6 3 4
(1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取 2 人进行追踪调查,
求恰有 2 人不赞成的概率;
(2)在(1)的条件下,令选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的
分布列和数学期望.
解:(1)由表知,年龄在[15,25)内的有 5 人,不赞成的有 1 人,年龄在[25,35)内的有
10 人,不赞成的有 4 人,恰有 2 人不赞成的概率为
P=C1
1C1
4
C2
5
·C1
4C1
6
C2
10
+C2
4
C2
5
·C2
4
C2
10
= 4
10
×24
45
+ 6
10
× 6
45
=22
75
.
(2)ξ的所有可能取值为 0,1,2,3.
P(ξ=0)=C2
4
C2
5
·C2
6
C2
10
= 6
10
×15
45
=1
5
,
P(ξ=1)=C1
4
C2
5
·C2
6
C2
10
+C2
4
C2
5
·C1
4C1
6
C2
10
= 4
10
×15
45
+ 6
10
×24
45
=34
75
,
P(ξ=2)=22
75
,
P(ξ=3)=C1
4
C2
5
·C2
4
C2
10
= 4
10
× 6
45
= 4
75
,
∴ξ的分布列为:
ξ 0 1 2 3
P 1
5
34
75
22
75
4
75
∴ξ的数学期望 E(ξ)=0×1
5
+1×34
75
+2×22
75
+3× 4
75
=6
5
.
题型二 统计案例
[典例] (2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年
宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的
年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统
计量的值.
x y w
错误!(xi-
x )2
错误!(wi-
w )2
错误!(xi-
x )·
(yi- y )
错误!(wi-
w )·
(yi- y )
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中 wi= xi, w =1
8
错误!i.
[学规范]
(1)由散点图的变化趋势可以判断,y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的
回归方程类型❶. ………………………………………………………………………………3 分
(2)令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.
由于d^=错误!=108.8
1.6
=68,
c
^
= y -d
^
w =563-68×6.8=100.6,
所以 y 关于 w 的线性回归方程为y^=100.6+68w,
因此 y 关于 x 的回归方程为y
^
=100.6+68 x ❷. ………………………………………7
分
(3)①由(2)知,当 x=49 时,
年销售量 y 的预报值y
^
=100.6+68 49=576.6,
年利润 z 的预报值z
^
=576.6×0.2-49=66.32❸. …………………………………………
9 分
②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值
z
^
=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12.
所以当 x=13.6
2
=6.8❹,即 x=46.24 时,z
^
取得最大值.
故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.………………………………12 分
[防失误]
①处易判断方程类型错误,注意充分利用散点图联想函数图象特征作出判断.
②处求回归方程时易计算失误,注意要强化计算能力.
③处无法表达出利润表达式而失分,注意借助于函数知识解决.
④处未用二次函数求最值导致失分,注意判断函数类型及换元法的使用.
[通技法]
求解线性回归方程的 3 步骤
[对点练]
2.传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火
爆荧屏.某机构组织了一场诗词知识竞赛,将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、
良好、一般三个等级,从中随机抽取 100 名选手进行调查,如图是根据调查结果绘制的选手
等级与人数的条形图.
(1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,
并据此判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为选手成绩优秀与文化程度有关?
优秀 合格 总计
大学组
中学组
总计
(2)若参赛选手共 6 万名,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;
(3)在优秀等级的选手中选取 6 名,在良好等级的选手中选取 6 名,都依次编号为
1,2,3,4,5,6,在选出的 6 名优秀等级的选手中任取一名,记其编号为 a,在选出的 6 名良
好等级的选手中任取一名,记其编号为 b,求使得方程组
ax+by=3,
x+2y=2
有唯一一组实数解
(x,y)的概率.
参考公式:K2= n ad-bc 2
a+b c+d a+c b+d
,其中 n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
解:(1)由条形图可得 2×2 列联表如下:
优秀 合格 总计
大学组 45 10 55
中学组 30 15 45
总计 75 25 100
所以 K2 的观测值 k=100× 45×15-10×30 2
75×25×45×55
=100
33
≈3.030<3.841,
所以不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为选手成绩优秀与文化程度有关.
(2)由条形图知,所抽取的 100 名选手中,优秀等级有 75 名,所以估计参赛选手中优秀
等级的选手有 60 000× 75
100
=45 000(名).
(3)a 可从 1,2,3,4,5,6 中取,有 6 种取法,b 可从 1,2,3,4,5,6 中取,有 6 种取法,共
有 36 组,
要使方程组
ax+by=3,
x+2y=2
有唯一一组实数解,则a
b
≠1
2
.易知使a
b
=1
2
成立的 a,b 满足
的实数对有(1,2),(2,4),(3,6),共 3 组,故满足a
b
≠1
2
的实数对的组数为 36-3=33.故所
求概率 P=33
36
=11
12
.
1.(2017·广州二测)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:
价格 x(元/kg) 10 15 20 25 30
日需求量 y(kg) 11 10 8 6 5
(1)求 y 关于 x 的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,当价格 x=40 元/kg 时,日需求量 y 的预测值为多少?
参考公式:线性回归方程y^=b^x+a^,其中b^=错误!,a^= y -b^ x .
解:(1)由所给数据计算得
x =1
5
×(10+15+20+25+30)=20,
y =1
5
×(11+10+8+6+5)=8,
错误!(xi- x )2=(-10)2+(-5)2+02+52+102=250,
错误!(xi- x )(yi- y )=(-10)×3+(-5)×2+0×0+5×(-2)+10×(-3)=-
80.
b^=错误!=-80
250
=-0.32.
a^= y -b^ x =8+0.32×20=14.4.
所求线性回归方程为y^=-0.32x+14.4.
(2)由(1)知当 x=40 时,y^=-0.32×40+14.4=1.6.
故当价格 x=40(元/kg)时,日需求量 y 的预测值为 1.6 kg.
2.(2018 届高三·广西五校联考)下图是某市 11 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,
空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,
某人随机选择 11 月 1 日至 11 月 12 日中的某一天到达该市,并停留 3 天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(2)设 X 是此人停留期间空气重度污染的天数,求 X 的分布列与数学期望.
解:设 Ai 表示事件“此人于 11 月 i 日到达该市”(i=1,2,…,12).
依题意知,P(Ai)= 1
12
,且 Ai∩Aj=∅ (i≠j).
(1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,
则 B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12,
所以 P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A7)+P(A12)= 5
12
.
即此人到达当日空气重度污染的概率为 5
12
.
(2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,
P(X=0)=P(A4∪A8∪A9)=P(A4)+P(A8)+P(A9)= 3
12
=1
4
,
P(X=2)=P(A2∪A11)=P(A2)+P(A11)= 2
12
=1
6
,
P(X=3)=P(A1∪A12)=P(A1)+P(A12)= 2
12
=1
6
,
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3)=1-1
4
-1
6
-1
6
= 5
12
,
或 P(X=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)=P(A3)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A10)= 5
12
所以 X 的分布列为:
X 0 1 2 3
P 1
4
5
12
1
6
1
6
故 X 的数学期望 E(X)=0×1
4
+1× 5
12
+2×1
6
+3×1
6
=5
4
.
3.(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生
产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条
生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)
之外的零件数,求 P(X≥1)及 X 的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 x = 1
16
错误!i=9.97,s=错误!=错误!≈0.212,其中 xi 为抽取的第 i 个零件
的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数 x 作为μ的估计值μ^ ,用样本标准差 s 作为σ的估计值σ^ ,利用估计值
判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(μ^ -3σ^ ,μ^ +3σ^ )之外的数据,用剩下的数
据估计μ和σ(精确到 0.01).
附:若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ,σ2),则 P(μ-3σ10.828,
∴能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有
关.
(2)估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为 P=20
50
=2
5
,
X 的可能取值为 0,1,2,3,由题意,得 X~B
3,2
5 ,
P(X=k)=Ck
3
2
5 k
3
5 3-k(k=0,1,2,3),
∴P(X=0)=
3
5 3= 27
125
,
P(X=1)=C1
3×2
5
×
3
5 2= 54
125
,
P(X=2)=C2
3×
2
5 2×3
5
= 36
125
,
P(X=3)=
2
5 3= 8
125
,
故随机变量 X 分布列为:
X 0 1 2 3
P 27
125
54
125
36
125
8
125
∴随机变量 X 的数学期望 E(X)=3×2
5
=6
5
.
5.(2017·昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响,随机记录了该店 1 月份
其中 5 天的日营业额 y(单位:万元)与该地当日最低气温 x(单位:℃)的数据,如下表:
x 2 5 8 9 11
y 1.2 1 0.8 0.8 0.7
(1)求 y 关于 x 的线性回归方程y^=b^x+a^;
(2)判断 y 与 x 之间是正相关还是负相关,若该地 1 月份某天的最低气温为 6 ℃,用所
求回归方程预测该店当日的营业额;
(3)设该地 1 月份的日最低气温 X~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 x ,σ2 近似
为样本方差 s2,求 P(3.8<X≤13.4).
附:①回归方程y^=b^x+a^中,b^=错误!,a^= y -b^ x .
② 10≈3.2, 3.2≈1.8.若 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ
-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5.
解:(1) x =1
5
×(2+5+8+9+11)=7,
y =1
5
×(1.2+1+0.8+0.8+0.7)=0.9.
错误!2
i=4+25+64+81+121=295,
错误!iyi=2.4+5+6.4+7.2+7.7=28.7,
∴b^=错误!=28.7-5×7×0.9
295-5×72 =-2.8
50
=-0.056,
a^= y -b^ x =0.9-(-0.056)×7=1.292.
∴线性回归方程为y^=-0.056x+1.292.
(2)∵b^=-0.056<0,∴y 与 x 之间是负相关.
当 x=6 时,y^=-0.056×6+1.292=0.956.
∴该店当日的营业额约为 9 560 元.
(3)样本方差 s2=1
5
×(25+4+1+4+16)=10,
∴最低气温 X~N(7,3.22),
∴P(3.8<X≤10.2)=0.682 7,
P(0.6<X≤13.4)=0.954 5,
∴P(10.2<X≤13.4)=1
2
×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
∴P(3.8<X≤13.4)=P(3.8<X≤10.2)+P(10.2<X≤13.4)=0.682 7+0.135 9=
0.818 6.
6.(2018 届高三·张掖摸底)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问
题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,责成
人社部进行调研.人社部从网上年龄在 15~65 岁的人群中随机调查 100 人,调查数据的频
率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:
年龄 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65]
支持“延迟退
休”的人数
15 5 15 28 17
(1)由以上统计数据填 2×2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下
认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;
45 岁以下 45 岁以上 总计
支持
不支持
总计
(2)若以 45 岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加
某项活动.现从这 8 人中随机抽 2 人.
①抽到 1 人是 45 岁以下时,求抽到的另一人是 45 岁以上的概率.
②记抽到 45 岁以上的人数为 X,求随机变量 X 的分布列及数学期望.
参考数据:
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
K2= n ad-bc 2
a+b c+d a+c b+d
,其中 n=a+b+c+d.
解:(1)由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人,故填充 2×2 列联表如下:
45 岁以下 45 岁以上 总计
支持 35 45 80
不支持 15 5 20
总计 50 50 100
因为 K2 的观测值 k=100× 35×5-45×15 2
50×50×80×20
=6.25>3.841,
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退
休年龄政策”的支持度有差异.
(2)①抽到 1 人是 45 岁以下的概率为6
8
=3
4
,
抽到 1 人是 45 岁以下且另一人是 45 岁以上的概率为C1
6C1
2
C2
8
=3
7
,
故所求概率 P=
3
7
3
4
=4
7
.
②从不支持“延迟退休”的人中抽取 8 人,则 45 岁以下的应抽 6 人,45 岁以上的应抽
2 人.
所以 X 的可能取值为 0,1,2.
P(X=0)=C2
6
C2
8
=15
28
,
P(X=1)=C1
6C1
2
C2
8
=12
28
=3
7
,
P(X=2)=C2
2
C2
8
= 1
28
.
故随机变量 X 的分布列为:
X 0 1 2
P 15
28
3
7
1
28
所以 E(X)=1×3
7
+2× 1
28
=1
2
.
高考第 22 题坐标系与参数方程
卷 别 年 份 考查内容 命题规律分析
全国
卷Ⅰ
2017
椭圆与直线的参数方程与普通方程的互化、
直线与椭圆的位置关系
坐标系与参数方程是高
考的选考内容之一,高考考
查的重点主要有两个方面:
简单曲线的极坐标方程;二
是参数方程、极坐标方程与
曲线的综合应用.由于本部
分在高考中考查的知识点较
为稳定,在备考时应重点关
注极坐标系中直线的方程,
或者求解极坐标系中曲线的
某个特征值,及已知直线和
圆的参数方程判断直线和圆
的位置关系,求最值问题
等.本部分内容在备考中应
注意转化思想的应用,抓住
知识,少做难题.
2016
参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与
直角坐标方程的互化及应用
2015
极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程
的应用
全国
卷Ⅱ
2017
直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的
求法、三角形面积的最值问题
2016
极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直
线与圆的位置关系
2015
参数方程和普通方程的互化、三角函数的性
质
全国
卷Ⅲ
2017
直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方
程的求法
2016
参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、
三角函数的最值
1.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
x=3cos θ,
y=sin θ
(θ
为参数),直线 l 的参数方程为
x=a+4t,
y=1-t
(t 为参数).
(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a.
解:(1)曲线 C 的普通方程为x2
9
+y2=1.
当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0,
由
x+4y-3=0,
x2
9
+y2=1 解得
x=3,
y=0
或
x=-21
25
,
y=24
25
.
从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),
-21
25
,24
25 .
(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,
故 C 上的点(3cos θ,sin θ)到 l 的距离为
d=|3cos θ+4sin θ-a-4|
17
.
当 a≥-4 时,d 的最大值为a+9
17
.
由题设得a+9
17
= 17,解得 a=8;
当 a<-4 时,d 的最大值为-a+1
17
.
由题设得-a+1
17
= 17,
解得 a=-16.
综上,a=8 或 a=-16.
2.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
(2)直线 l 的参数方程是
x=tcos α,
y=tsin α
(t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|= 10,
求 l 的斜率.
解:(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆 C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11
=0.
(2)法一:由直线 l 的参数方程
x=tcos α,
y=tsin α
(t 为参数),消去参数得 y=x·tan α.
设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 kx-y=0.
由圆 C 的方程(x+6)2+y2=25 知,圆心坐标为(-6,0),半径为 5.
又|AB|= 10,由垂径定理及点到直线的距离公式得|-6k|
1+k2
= 25-
10
2 2,
即 36k2
1+k2=90
4
,
整理得 k2=5
3
,解得 k=± 15
3
,
即 l 的斜率为± 15
3
.
法二:在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设 A,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得ρ2+
12ρcos α+11=0,
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|= ρ1+ρ2
2-4ρ1ρ2
= 144cos2α-44.
由|AB|= 10得 cos2α=3
8
,tan α=± 15
3
.
所以 l 的斜率为 15
3
或- 15
3
.
3.(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2
=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求 C1,C2 的极坐标方程;
(2)若直线 C3 的极坐标方程为θ=π
4
(ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面
积.
解:(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以 C1 的极坐标方程为ρcos θ=-2,
C2 的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=π
4
代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得
ρ2-3 2ρ+4=0,解得ρ1=2 2,ρ2= 2.
故ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2.
由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为1
2
.
极坐标方程与参数方程的综合应用
[学规范]
(1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1:y=k(x-2);………………………………………1
分
消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2:y=1
k
(x+2). …………………………………………2 分
设 P(x,y),由题设得
y=k x-2 ,
y=1
k
x+2 .
消去 k 得 x2-y2=4(y≠0)❶. ………………………………………………………………3
分
所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y≠0). ………………………………………………4 分
(2)C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ2(cos2θ - sin2θ) = 4(0 < θ < 2π ,
θ≠π). ………………………5 分
联 立
ρ2 cos2θ-sin2θ =4,
ρ cos θ+sin θ - 2=0
❷………………………………………………………6 分
得 cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故 tan θ=-1
3
,……………………………………………………………………………7
分
从而 cos2θ= 9
10
,sin2θ= 1
10
.………………………………………………………………8
分
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得ρ2=5,……………………………………………………9
分
所以交点 M 的极径为 5.10 分
[防失误]
①处消去 k 后,注意等价性,易忽视 y≠0 而失误.
②处联立极坐标方程后,注意运算技巧,先求 cos2θ,sin2θ,再求ρ.若直接消去θ
不太容易做到.
[通技法]
求解极坐标方程与参数方程综合问题需过“三关”
一是互化关,即会把曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程进行互化;
二是几何意义关,即理解参数方程中的参数的几何意义,在解题中能加快解题速度;
三是运算关,思路流畅,还需运算认真,才能不失分.
[对点练]
(2017·洛阳模拟)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为
x=2cos φ,
y=2+2sin φ
(φ为参
数).以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆 C 的普通方程;
(2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsin
θ+π
6 =5 3,射线 OM:θ=π
6
与圆 C 的交点为 O,
P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.
解:(1)因为圆 C 的参数方程为
x=2cos φ,
y=2+2sin φ
(φ为参数),所以圆心 C 的坐标为
(0,2),半径为 2,圆 C 的普通方程为 x2+(y-2)2=4.
(2)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入 x2+(y-2)2=4,
得圆 C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.
设 P(ρ1,θ1),则由
ρ=4sin θ,
θ=π
6
,
解得ρ1=2,θ1=π
6
.
设 Q(ρ2,θ2),则由
2ρsin
θ+π
6 =5 3,
θ=π
6
,
解得ρ2=5,θ2=π
6
.
所以|PQ|=3.
1.(2017·宝鸡模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极
坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ).
(1)求 C 的直角坐标方程;
(2)直线 l:
x=1
2
t,
y=1+ 3
2
t
(t 为参数)与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 E,求
|EA|+|EB|.
解:(1)由ρ=2(cos θ+sin θ)得ρ2=2ρ(cos θ+sin θ),
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y,
即(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,
化简得 t2-t-1=0,
点 E 对应的参数 t=0,
设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,
则 t1+t2=1,t1t2=-1,
所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|
= t1+t2
2-4t1t2= 5.
2.(2017·张掖模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:
x=cos α,
y=sin2α
(α为参数),
在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρcos
θ-π
4 =- 2
2
,曲线 C3:
ρ=2sin θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标;
(2)设点 A,B 分别为曲线 C2,C3 上的动点,求|AB|的最小值.
解:(1)曲线 C1:
x=cos α,
y=sin2α
消去参数α,
得 y+x2=1,x∈[-1,1].①
曲线 C2:ρcos
θ-π
4 =- 2
2
⇒x+y+1=0,②
联立①②,消去 y 可得 x2-x-2=0⇒x=-1 或 x=2(舍去),所以 M(-1,0).
(2)曲线 C3:ρ=2sin θ的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1,是以(0,1)为圆心,半径 r
=1 的圆.
设圆心为 C,则点 C 到直线 x+y+1=0 的距离 d=|0+1+1|
2
= 2,所以|AB|的最小值
为 2-1.
3.(2018 届高三·昆明一中调研)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系.已知点 P 的极坐标为
2 3,π
6 ,曲线 C 的参数方程为
x=2cos α,
y=- 3+2sin α
(α为参数).
(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程;
(2)若 Q 为曲线 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l:ρcos θ+2ρsin θ+1=0 距离
的最小值.
解 : (1) 由 x = ρcos θ , y = ρsin θ 可 得 点 P 的 直 角 坐 标 为 (3 , 3 ) , 由
x=2cos α,
y=- 3+2sin α
(α为参数)
得 x2+(y+ 3)2=4,
∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+(y+ 3)2=4.
(2)直线 l 的普通方程为 x+2y+1=0,
曲线 C 的参数方程为
x=2cos α,
y=- 3+2sin α
(α为参数),
设 Q(2cos α,- 3+2sin α),则 M
3
2
+cos α,sin α
,
故点 M 到直线 l 的距离
d=
|3
2
+cos α+2sin α+1|
12+22
=
| 5sin α+φ +5
2|
5
≥
- 5+5
2
5
= 5
2
-1
tan φ=1
2 ,
∴点 M 到直线 l 的距离的最小值为 5
2
-1.
4.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点 P 的轨迹
C2 的直角坐标方程;
(2)设点 A 的极坐标为
2,π
3 ,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值.
解:(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1= 4
cos θ
.
由|OM|·|OP|=16,得 C2 的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).
因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB 的面积
S=1
2
|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·|sin
α-π
3 |
=2|sin
2α-π
3 - 3
2 |≤2+ 3.
当α=-π
12
时,S 取得最大值 2+ 3.
所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3.
5.(2017·成都模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,倾斜角为α
α≠π
2 的直线 l 的参数
方程为
x=1+tcos α,
y=tsin α
(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系,曲线 C 的极坐标方程是ρcos2θ-4sin θ=0.
(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;
(2)已知点 P(1,0).若点 M 的极坐标为
1,π
2 ,直线 l 经过点 M 且与曲线 C 相交于 A,
B 两点,设线段 AB 的中点为 Q,求|PQ|的值.
解:(1)∵直线 l 的参数方程为
x=1+tcos α,
y=tsin α
(t 为参数),∴直线 l 的普通方程
为 y=tan α·(x-1).
由ρcos2θ-4sin θ=0 得ρ2cos2θ-4ρsin θ=0,
即 x2-4y=0.
∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2=4y.
(2)∵点 M 的极坐标为
1,π
2 ,
∴点 M 的直角坐标为(0,1).
∴tan α=-1,直线 l 的倾斜角α=3π
4
.
∴直线 l 的参数方程为
x=1- 2
2
t,
y= 2
2
t
(t 为参数).
代入 x2=4y,得 t2-6 2t+2=0.
设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2.
∵Q 为线段 AB 的中点,
∴点 Q 对应的参数值为t1+t2
2
=6 2
2
=3 2.
又点 P(1,0),则|PQ|=|t1+t2
2 |=3 2.
6 . (2017· 石 家 庄 模 拟 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
x=a+acos β,
y=asin β
(a>0,β为参数).以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
直线 l 的极坐标方程为ρcos
θ-π
3 =3
2
.
(1)若曲线 C 与 l 只有一个公共点,求 a 的值;
(2)A,B 为曲线 C 上的两点,且∠AOB=π
3
,求△OAB 面积的最大值.
解:(1)由题意知,曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆,直线 l 的直角坐标方程
为 x+ 3y-3=0.
由直线 l 与圆 C 只有一个公共点,可得|a-3|
2
=a,
解得 a=1 或 a=-3(舍去),
所以 a=1.
(2)曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆,且∠AOB=π
3
,由正弦定理得
|AB|
sinπ
3
=2a,
所以|AB|= 3a.
又|AB|2=3a2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|·cos π
3
≥|OA|·|OB|,当且仅当|OA|=
|OB|时取等号,
所以 S△OAB=1
2
|OA|·|OB|sin π
3
≤1
2
×3a2× 3
2
=3 3a2
4
,所以△OAB 面积的最大值为
3 3a2
4
.
高考第 23 题不等式选讲
卷 别 年 份 考查内容 命题规律分析
全国
卷Ⅰ
2017 含绝对值的不等式的解法、求参数的取值范围
不等式选讲是高
考的选考内容之一,
考查的重点是不等式
的证明、绝对值不等
式的解法等,命题的
热点是绝对值不等式
的解法,以及绝对值
不等式与函数的综合
问题的求解.
2016 绝对值不等式的解法及图象
2015
绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积公
式
全国
卷Ⅱ
2017
基本不等式的应用、一些常用的变形以及证明不
等式的方法
2016 含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式
2015 不等式的证明、充要条件的判断
全国
卷Ⅲ
2017 绝对值不等式的解法以及函数最值的求解
2016 绝对值不等式解法
1.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式 f(x)≥1 的解集;
(2)若不等式 f(x)≥x2-x+m 的解集非空,求 m 的取值范围.
解:(1)f(x)=
-3,x<-1,
2x-1,-1≤x≤2,
3,x>2.
当 x<-1 时,f(x)≥1 无解;
当-1≤x≤2 时,由 f(x)≥1,得 2x-1≥1,
解得 1≤x≤2;
当 x>2 时,由 f(x)≥1,解得 x>2.
所以 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}.
(2)由 f(x)≥x2-x+m,得 m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-
|x|-3
2 2+5
4
≤5
4
,
且当 x=3
2
时,|x+1|-|x-2|-x2+x=5
4
.
故 m 的取值范围为
-∞,5
4 .
2.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出 y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1 的解集.
解:(1)由题意得 f(x)=
x-4,x≤-1,
3x-2,-13
2
,
故 y=f(x)的图象如图所示.
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知,
当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3;
当 f(x)=-1 时,可得 x=1
3
或 x=5.
故 f(x)>1 的解集为{x|15
.
所以|f(x)|>1 的解集为
x|x<1
3
或 15
.
3.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集;
(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.
解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解;
当-10,解得2
3
0,解得 1≤x<2.
所以 f(x)>1 的解集为 x|2
3
2
.
(2)由题设可得 f(x)=
x-1-2a,x<-1,
3x+1-2a,-1≤x≤a,
-x+1+2a,x>a.
所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A
2a-1
3
,0
,B(2a+1,0),
C(a,a+1),△ABC 的面积为2
3
(a+1)2.
由题设得2
3
(a+1)2>6,故 a>2.
所以 a 的取值范围为(2,+∞).
题型一 含绝对值的不等式解法及应用
[学规范]
(1)当 a=1 时,不等式 f(x)≥g(x)等价于
x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①………………………………………………………1
分
当 x<-1 时,①式化为 x2-3x-4≤0❶,无解;………………………………………2 分
当-1≤x≤1 时,①式化为 x2-x-2≤0❷,
从而-1≤x≤1;3 分
当 x>1 时,①式化为 x2+x-4≤0❸,
从而 1<x ≤-1+ 17
2
.……………………………………………………………………4
分
所以 f(x)≥g(x)的解集为 x|-1≤x≤-1+ 17
2 .…………………………………5 分
(2)当 x∈[-1,1]时,g(x)=2❹.
所以 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],
等价于当 x∈[-1,1]时,f(x)≥2. …………………………………………………………
7 分
又 f(x)在[-1,1]的最小值必为 f(-1)与 f(1)❺之一,
所以 f(-1)≥2 且 f(1)≥2,得-1≤a≤1. …………………………………………………
9 分
所以 a 的取值范围为[-1,1]. ……………………………………………………………10
分
[防失误]
①②③处易出现利用绝对值定义去绝对值号时计算化简失误.
④处易忽视 x∈[-1,1],g(x)=2,这是转化关键.
⑤处不理解且不会判断 f(x)在[-1,1]时最小值必为 f(-1),f(1)之一,而导致滞做失
分.
[通技法]
1.零点分段求解绝对值不等式的模型
(1)求零点;
(2)划区间,去绝对值号;
(3)分别解去掉绝对值号的不等式;
(4)取每个结果的并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值.
2.绝对值不等式的成立问题的求解模型
(1)分离参数:根据不等式将参数分离化为 a≥f(x)或 a≤f(x)形式;
(2)转化最值:f(x)>a 恒成立⇔f(x)min>a;f(x)a 有解⇔
f(x)max>a;f(x)a 无解⇔f(x)max≤a;f(x)0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+3 a+b 2
4
(a+b)
=2+3 a+b 3
4
,
所以(a+b)3≤8,因此 a+b≤2.
4.(2017·沈阳模拟)已知函数 f(x)=|x-a|-1
2
x(a>0).
(1)若 a=3,解关于 x 的不等式 f(x)<0;
(2)若对于任意的实数 x,不等式 f(x)-f(x+a)<a2+a
2
恒成立,求实数 a 的取值范围.
解:(1)当 a=3 时,f(x)=|x-3|-1
2
x,即|x-3|-1
2
x<0,原不等式等价于-x
2
<x-3
<x
2
,解得 2<x<6,故不等式的解集为{x|2<x<6}.
(2)f(x)-f(x+a)=|x-a|-|x|+a
2
,
原不等式等价于|x-a|-|x|<a2,
由绝对值三角不等式的性质,
得|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|,
原不等式等价于|a|<a2,
又 a>0,∴a<a2,解得 a>1.
∴实数 a 的取值范围为(1,+∞).
5.(2017·开封模拟)设函数 f(x)=|x-a|,a<0.
(1)证明:f(x)+f
-1
x ≥2;
(2)若不等式 f(x)+f(2x)<1
2
的解集非空,求 a 的取值范围.
解:(1)证明:函数 f(x)=|x-a|,a<0,
设 f(x)+f
-1
x =|x-a|+|-1
x
-a|
=|x-a|+|1
x
+a|≥| x-a +
1
x
+a |
=|x+1
x|=|x|+ 1
|x|
≥2 |x|· 1
|x|
=2(当且仅当|x|=1 时取等号).
(2)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,a<0.
当 x≤a 时,f(x)+f(2x)=a-x+a-2x=2a-3x,
则 f(x)+f(2x)≥-a;
当 a-a
2
,
解得 a>-1,又 a<0,所以-1<a<0,
故 a 的取值范围是(-1,0).
6.(2017·洛阳模拟)已知 f(x)=|2x-1|-|x+1|.
(1)将 f(x)的解析式写成分段函数的形式,并作出其图象;
(2)若 a+b=1,对∀a,b∈(0,+∞),1
a
+4
b
≥3f(x)恒成立,求 x 的取值范围.
解:(1)由已知,得 f(x)=
-x+2,x<-1,
-3x,-1≤x≤1
2
,
x-2,x>1
2
,
函数 f(x)的图象如图所示.
(2)∵a,b∈(0,+∞),且 a+b=1,
∴1
a
+4
b
=
1
a
+4
b (a+b)=5+
b
a
+4a
b ≥5+2 b
a
·4a
b
=9,当且仅当b
a
=4a
b
,即 a=1
3
,b
=2
3
时等号成立.
∵1
a
+4
b
≥3(|2x-1|-|x+1|)恒成立,
∴|2x-1|-|x+1|≤3,
结合图象知-1≤x≤5,
∴x 的取值范围是[-1,5].
板块提能 二 高考 17~19 题快速入题的破解策略
面对高考解答题,考生往往未做先惧三分.其实,高考解答题并不可怕,它无非就是几
个基础小题的融汇综合考查.平常我们常说的“大题小做”,就是告诫我们,面对大题,其
最有效、最快捷的办法就是化大为小、分而破之,这就涉及一个如何快速入题的问题.针对
17、18、19 题,在前面已全面突破题型的基础上,本讲分类点拨快速入题之妙招、之通法,
让考生面对各类题目有法可依,有口可入!
一、三角函数问题重在“变”——变角、变式
[思维流程]
[技法点拨]
1.常用的变角技巧:
(1)已知角与特殊角的变换;
(2)已知角与目标角的变换;
(3)角与其倍角的变换;
(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如:α=(α+β)-β
=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=
2·α+β
2
,α+β
2
=
α-β
2 -
α
2
-β
.
2.常用的变式技巧:
主要从函数名、次数、系数方面入手,常见有:
(1)讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论;
(2)涉及 sin x±cos x、sin x·cos x 的问题,常做换元处理,如令 t=sin x±cos x
∈[- 2, 2],将原问题转化为关于 t 的函数来处理;
(3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.
[典例示法]
[典例] (2018 届高三·湖南五校联考)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个
内角 A,B,C 的对边,且 acos C+ 3asin C-b-c=0.
(1)求 A;
(2)若 AD 为 BC 边上的中线,cos B=1
7
,AD= 129
2
,求△ABC 的面积.
[解] (1)acos C+ 3asin C-b-c=0,由正弦定理得
sin Acos C+ 3sin Asin C=sin B+sin C,
即 sin Acos C+ 3sin Asin C=sin(A+C)+sin C,
即 3sin Asin C-cos Asin C=sin C.
又 sin C≠0,所以化简得 3sin A-cos A=1,
所 以 sin
A-π
6 =
1
2
. ………………………………………………………
在△ABC 中,0<A<π,所以 A-π
6
=π
6
,得 A=π
3
.
(2)在△ABC 中,因为 cos B=1
7
,所以 sin B=4 3
7
.
所以 sin C=sin(A+B)= 3
2
×1
7
+1
2
×4 3
7
=5 3
14
.
由正弦定理得,a
c
=sin A
sin C
=7
5
.
设 a=7x,c=5x(x>0),则在△ABD 中,
AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,
即129
4
=25x2+1
4
×49x2-2×5x×1
2
×7x×1
7
,
解得 x=1,所以 a=7,c=5,
故 S△ABC=1
2
acsin B=10 3.
[应用体验]
1.(2017·兰州模拟)已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asin B+
bcos A=0.
(1)求角 A 的大小;
(2)若 a=2 5,b=2,求△ABC 的面积 S.
解:(1)∵asin B+bcos A=0,
∴sin Asin B+sin Bcos A=0,
即 sin B(sin A+cos A)=0,
由于 B 为三角形的内角,
∴sin A+cos A=0,
∴ 2sin
A+π
4 =0,
而 A 为三角形的内角,
∴A=3π
4
.
(2)在△ABC 中,由余弦定理,
得 a2=c2+b2-2cbcos A,
即 20=c2+4-4c·
- 2
2 ,
解得 c=-4 2(舍去)或 c=2 2,
∴S=1
2
bcsin A=1
2
×2×2 2× 2
2
=2.
二、数列问题重在“归”——化归、归纳
[思维流程]
,
[技法点拨]
化归、归纳的常用策略
(1)由于数列是一个特殊的函数,也可根据题目特点,将其化归为函数问题,或通过对
式子的改造,使其化归为可运用数列问题的基本方法.
(2)对于不是等差或等比的数列,可从简单的个别的特殊的情景出发,从中归纳出一般
性的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜
想、证明.
[典例示法]
[典例] (2017·张掖模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
an=-3Sn+4,bn=-log2an+1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令 cn= bn
2n+1+ 1
n n+1
,其中 n∈N*,若数列{cn}的前 n 项和
为 Tn,求 Tn.
[解] (1)由 a1=-3a1+4,得 a1=1,
由 an=-3Sn+4,
知 an+1=-3Sn+1+4,
两式相减并化简得 an+1=1
4
an,……………………………………
故数列{an}是首项为 1,公比为1
4
的等比数列,
∴an=
1
4 n-1,
bn=-log2an+1=-log2
1
4 n=2n.
(2)由题意知,cn=n
2n+ 1
n n+1
.
令 Hn=1
2
+2
22+3
23+…+n
2n, ①
则 1
2
Hn=1
22+2
23+…+n-1
2n + n
2n+1, ②
①-②得,1
2
Hn=1
2
+1
22+1
23+…+1
2n- n
2n+1
=1-n+2
2n+1 .…………………………………………………………
∴Hn=2-n+2
2n .
令 Mn=1-1
2
+1
2
-1
3
+…+1
n
- 1
n+1
=1- 1
n+1
= n
n+1
,
∴Tn=Hn+Mn=2-n+2
2n + n
n+1
.
[应用体验]
2.(2017·宝鸡模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列
n+1
an 的前 n 项和为 Tn ,求证:1≤Tn<3.
解:(1)当 n=1 时,a1=2.
当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-2,
所以 an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),
即 an
an-1
=2(n≥2,n∈N*),
所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an=2n(n∈N*).
(2)证明:令 bn=n+1
an
=n+1
2n ,
则 Tn=2
21+3
22+4
23+…+n+1
2n ,①
得 1
2
Tn=2
22+3
23+4
24+…+n
2n+n+1
2n+1 ,②
①-②,整理得 1
2
Tn=3
2
-n+3
2n+1 ,
所以 Tn=3-n+3
2n ,
由于 n∈N*,显然 Tn<3.
又令 cn=n+3
2n ,则cn+1
cn
= n+4
2n+6
<1,
所以 cn>cn+1,
所以n+3
2n ≤c1=2,所以 Tn≥1.
故 1≤Tn<3.
三、立体几何问题重在“建”——建模、建系
[思维流程]
[技法点拨]
立体几何解答题建模、建系策略
立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,
逐层加深.解决这类题目的原则是建模、建系.
建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型.
建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.
[典例示法]
[典例] (2017·宝鸡模拟)如图,四棱
锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面
ABCD,点 E 是 PD 的中点,点 F 是 PC 的中点.
(1)证明:PB∥平面 AEC;
(2)若底面 ABCD 为正方形,探究在什
么条件下,二面角 CAFD 的大小为 60°?
[解] (1)证明:如图,连接 BD,设
AC∩BD=O,连接 OE,因为四边形 ABCD 为
矩形,所以 O 是 BD 的中点,因为点 E 是 PD
的中点,所以 PB∥EO. …………………………
又 PB⊄ 平面 AEC,EO⊂平面 AEC,
所以 PB∥平面 AEC.
(2)易知 AB,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,
AB,AD,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空
间直角坐标系 Axyz. …………………………………………
因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AB=AD.故可设 AB=AD=
2a,AP=2b,则 A(0,0,0),C(2a,2a,0),P(0,0,2b),F(a,a,
b),D(0,2a,0), AC―→=(2a,2a,0), AF―→=(a,a,b), AD―→=
(0,2a,0).
设平面 CAF 的一个法向量 m=(x1,y1,z1),
则
m· AC―→=0,
m· AF―→=0,
即
2ax1+2ay1=0,
ax1+ay1+bz1=0,
令 x1=1,得 y1=-1,z1=0,
所以平面 CAF 的一个法向量 m=(1,-1,0).
设平面 DAF 的一个法向量 n=(x2,y2,z2),
则
n· AD―→=0,
n· AF―→=0,
即
2ay2=0,
ax2+ay2+bz2=0,
令 x2=b,得 y2=0,z2=-a,
所以平面 DAF 的一个法向量 n=(b,0,-a).
所以|cos 〈m,n〉|= |m·n|
|m|·|n|
= b
2· b2+a2
=cos 60°,
解得 a=b.
故当 AP 与正方形 ABCD 的边长相等时,二面角 CAFD 的大
小为 60°.
[应用体验]
3.(2017·兰州市实战考试)如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PAB
⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PA=PB,O 为 AB 的中点,OD⊥PC.
(1)求证:OC⊥PD;
(2)若 PD 与平面 PAB 所成的角为 30°,求二面角 DPCB 的余弦值.
解:(1)证明:连接 OP,∵PA=PB,O 为 AB 的中点,∴OP⊥AB.∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,
∴OP⊥平面 ABCD,∴OP⊥OD,OP⊥OC.
∵OD⊥PC,OP∩PC=P,∴OD⊥平面 OPC,
∴OD⊥OC,又 OP⊥OC,OP∩OD=O,
∴OC⊥平面 OPD,∴OC⊥PD.
(2)取 CD 的中点 E,以 O 为原点,OE,OB,OP 所在的直线分别为
x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.在矩形 ABCD 中,由(1)
知 OD⊥OC,
∴AB=2AD,不妨设 AD=1,则 AB=2.
∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,∴DA⊥平面 PAB,
CB⊥平面 PAB,△DPA≌△CPB,∴∠DPA 为直线 PD 与平面 PAB 所成的角,∴∠DPA=30°,
∠CPB=30°,PA=PB= 3,∴B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,-1,0),P(0,0, 2),从而 PC―→
=(1,1,- 2), CD―→=(0,-2,0), PB―→=(0,1,- 2).设平面 PCD 的法向量为 n1=(x1,
y1,z1),
由
PC―→·n1=0,
CD―→·n1=0
得 x1+y1- 2z1=0,
-2y1=0,
可取 n1=( 2,0,1).设平面 PCB 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),
由
PC―→·n2=0,
PB―→·n2=0
得
x2+y2- 2z2=0,
y2- 2z2=0.
可取 n2=(0,- 2,-1).
于是 cos 〈n1,n2〉= n1·n2
|n1|·|n2|
=-1
3
,
∴二面角 DPCB 的余弦值为-1
3
.
四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型
[思维流程]
[技法点拨]
概率与统计问题辨析、辨型的策略
(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独
立等;
(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有
几个发生等;
(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等;
(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式
和性质来计算事件的概率;
(5)确定随机变量取值并求其对应的概率,写出分布列后再求期望.
[典例示法]
[典例] (2018 届高三·西安八校联考)从某企业生产的某种产
品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图
所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),
[75,85]内的频率之比为 4∶2∶1.
(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率;
(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取 3
件,记这 3 件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为 X,
求 X 的分布列与数学期望.
[解] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为
x,
则落在区间[55,65),[65,75)内的频率分别为 4x,2x.
依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x+2x+x=1,
解得 x=0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的
频率为 0.05.
(2)从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件,
相当于进行了 3 次独立重复试验,……………………………
所以 X 服从二项分布 B(n,p),其中 n=3.
由(1)得,这些产品质量指标值落在区间[45,75]内的频率为 0.3
+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得 p=0.6.
因为 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,
且 P X=0 =C0
3×0.60×0.43=0.064,
P X=1 =C1
3×0.61×0.42=0.288,
P X=2 =C2
3×0.62×0.41=0.432,
P X=3 =C3
3×0.63×0.40=0.216,
…………………………
所以 X 的分布列为:
所以 X 的数学期望 E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+
3×0.216=1.8.(或直接根据二项分布的均值公式得到 E(X)=np=
3×0.6=1.8)
[应用体验]
4.某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学
学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机
选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.
解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=C1
3C2
7+C0
3C3
7
C3
10
=49
60
.
所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为49
60
.
(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.
P(X=k)=Ck
4·C3-k
6
C3
10
(k=0,1,2,3).
所以 P(X=0)=C0
4·C3
6
C3
10
=1
6
,
P(X=1)=C1
4·C2
6
C3
10
=1
2
,
P(X=2)=C2
4·C1
6
C3
10
= 3
10
,
P(X=3)=C3
4·C0
6
C3
10
= 1
30
.
所以随机变量 X 的分布列为:
X 0 1 2 3
P 1
6
1
2
3
10
1
30
随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×1
6
+1×1
2
+2× 3
10
+3× 1
30
=6
5
.