【数学】2018届一轮复习人教A版 基本不等式 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 基本不等式 学案

专题34基本不等式 ‎1.了解基本不等式的证明过程．　‎ ‎2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．‎ ‎ ‎ ‎1.均值不等式：≤ ‎(1)均值不等式成立的条件：a＞0，b＞0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.‎ ‎2.几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎3.利用均值不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).‎ ‎(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).‎ 高频考点一　配凑法求最值 ‎【例1】 (1)已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值；‎ ‎(2)求函数y＝的最大值.‎ ‎【方法规律】(1)应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.‎ ‎(2)在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.‎ ‎【变式探究】 (1)若对∀x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ ‎(2)函数y＝(x>1)的最小值为________.‎ ‎【答案】　(1)　(2)2＋2‎ ‎【解析】析　(1)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋ ‎－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对∀x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.‎ ‎(2)y＝＝ ‎＝ ‎＝(x－1)＋＋2≥2＋2.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.‎ 高频考点二　常数代换或消元法求最值 ‎ ‎【例2】 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.‎ ‎(2)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.‎ ‎【答案】　(1)5　(2)6‎ 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，‎ ‎∵x>0，y>0，∴y>，‎ ‎∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4 ‎≥＋2＝5，‎ 当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.‎ ‎(2)由已知得x＝.‎ 法一　(消元法)‎ 因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，‎ 所以x＋3y＝＋3y ‎＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，‎ 当且仅当＝3(y＋1)，‎ 即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.‎ 法二　∵x＞0，y＞0，‎ ‎9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，‎ 当且仅当x＝3y时等号成立.‎ 设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，‎ ‎∴(t－6)(t＋18)≥0，‎ 又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6. ‎ ‎【方法规律】条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.‎ ‎【变式探究】 (1)已知x>0，y>0且x＋y＝1，则＋的最小值为________.‎ ‎(2)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)‎ A.8 B.4 C.2 D.0‎ ‎【答案】　(1)18　(2)A ‎ ‎ ‎(2)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.‎ ‎∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8. ‎ 高频考点三　均值不等式在实际问题中的应用 ‎【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.‎ ‎【方法规律】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.‎ ‎(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值.‎ ‎(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.‎ ‎【变式探究】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.‎ ‎(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；‎ ‎(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比 (1)中的最大车流量增加________辆/时.‎ ‎【答案】　(1)1 900　(2)100‎ ‎【解析】析　(1)当l＝6.05时，F＝，‎ ‎∴F＝＝≤＝1 900，‎ 当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”.‎ ‎∴最大车流量F为1 900辆/时.‎ ‎ ‎ ‎1.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B）6 （C）10 （D）17‎ ‎【答案】B ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B. ‎ ‎2.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）‎ ‎（A）4 （B）9 （C）10 （D）12‎ ‎【答案】C ‎【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.‎ ‎1.【2015高考四川，理9】如果函数 在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）‎ ‎（A）16 （B）18 （C）25 （D）‎ ‎【答案】B ‎ 2.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．‎ ‎ 3．（2014·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足‎4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|‎2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．‎ ‎【答案】－2　‎ ‎【解析】由题知‎2c＝－(‎2a＋b)2＋3(‎4a2＋3b2)．‎ ‎(‎4a2＋3b2)≥(‎2a＋b)2⇔‎4a2＋3b2≥(‎2a＋b)2，即‎2c≥(‎2a＋b)2，‎ 当且仅当＝，即‎2a＝3b＝6λ(同号)时，‎ ‎|‎2a＋b|取得最大值，此时c＝40λ2.‎ －＋＝－＝－2≥－2，‎ 当且仅当a＝，b＝，c＝时，－＋取最小值－2. ‎ ‎4．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.‎ ‎5．(2014·福建卷)要制作一个容积为‎4 m3‎，高为‎1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)‎ A．80元 B．120元 ‎ C．160元 D．240元 ‎【答案】C ‎【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab＝4(m2)．容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160(元)(当且仅当a＝b时等号成立)．故选C. ‎ ‎6．(2014·重庆卷)若log4(‎3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．‎ ‎【答案】7＋4 ‎ ‎ ‎5．（2014·四川卷）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．‎3 C. D. ‎【答案】B　‎ ‎ 6．(2013年高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)‎ A．0 B. C．2 D. ‎【答案】C ‎【解析】含三个参数x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．‎ z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，‎ ‎∴＝＝＋－3≥2 －3＝1.‎ 当且仅当＝，即x＝2y时“＝”成立，此时 z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，‎ ‎∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2 (y－1)2＋2.‎ ‎∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2.‎ ‎7．（2013·重庆卷）(－6≤a≤3)的最大值为(　　)‎ A．9 B. C．3 D. ‎【答案】B　‎ ‎【解析】因为－6≤a≤3，所以≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立，故选B.‎ ‎1.下列不等式一定成立的是(　　)‎ A.lg>lg x(x>0) B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＜1(x∈R)‎ ‎【答案】　C ‎ 2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A.[0，2] B.[－2，0]‎ C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2. ‎ ‎3.若a，b都是正数，则·的最小值为(　　)‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号.故选C. ‎ ‎4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ A.≤ B.＋≤1‎ C.≥2 D.a2＋b2≥8‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.‎ ‎5.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B.2 C.2 D.4‎ ‎【答案】　C ‎ ‎ ‎6.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)‎ A. B. C.2 D. ‎【答案】　C ‎【解析】　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.‎ ‎7.已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)‎ A.4 B.2 C.8 D.16‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，‎ 则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立.故选B.‎ ‎8.已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号.所以解得a＝1.‎ ‎9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.‎ ‎【答案】　[9，＋∞)‎ ‎【解析】　∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，‎ 解得≥3，即ab≥9.‎ ‎10.已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________.‎ ‎【答案】　－4‎ ‎【解析】　∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，‎ ‎∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.‎ ‎11.若对于任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.‎ ‎【答案】　 ‎ ‎ ‎12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.‎ ‎【答案】　2　20‎ ‎【解析】　设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，‎ ‎∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，‎ ‎∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，‎ ‎∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.‎