【数学】2019届一轮复习人教A版创新型问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版创新型问题学案

一．方法综述 ( 对于创新型问题，包括 ‎ ‎（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）。‎ ‎ （Ⅱ）创新性问题 ‎①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.‎ ‎②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.‎ ‎③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.‎ 二．解题策略 类型一 实际应用问题 ‎【例1】【北京市石景山区 第一学期期末】小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点出发，沿箭头方向经过点跑到点，共用时，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为，他与教练间的距离为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）‎ A． 点 B． 点 C． 点 D． 点 ‎【答案】D ‎【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．‎ ‎【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末】2016年1月14日，国防 工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和 分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子 ‎ ‎① ② ③ ④‎ 其中正确的式子的序号是（ ）‎ A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④‎ ‎【答案】B 类型二 创新性问题 ‎【例2】设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0]　　　　　　　　 B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由题意，方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1,4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间(1,4]上有解，即求函数a＝在区间(1,4]上的值域，学* ‎ 令t＝4x－5，则t∈(－1,11]，a＝，当t∈(－1,0]时，a≤0；‎ 当t∈(0,11]时，0＜a＝≤＝，当且仅当t＝3时取等号．‎ 综上，实数a的取值范围是.学* ‎ ‎【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点 认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．‎ ‎【例3】定义 如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)为首项，公差为d＝(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，则＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【解析】易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因为向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，‎ 所以＝－，所以＝········＝××××××××＝－.‎ ‎【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。‎ ‎【举一反三】【2017·青岛一模】如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x‎1f(x1)＋x‎2f(x2)＞x‎1f(x2)＋x‎2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．‎ 给出下列函数 ①y＝x2；②y＝ex＋1；③y＝2x－sin ；④f(x)＝以上函数是“H函数”的所有序号为________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎④显然，函数f(x)为偶函数，而偶函数在y轴两侧的单调性相反，故不合题意．‎ 综上，②③为“H函数”．学* ‎ ‎3.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义 若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为 (x，y)．‎ 给出以下结论 ‎ ‎①若θ＝60°，P(2，－1)，则||＝；‎ ‎②若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)；‎ ‎③若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2；‎ ‎④若θ＝60°，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2＋y2＋xy－1＝0.‎ 其中所有正确结论的序号是________．‎ ‎【答案】①②④‎ 三．强化训练 ‎1．【北京市朝阳区 第一学期期末】伟大的数学家高斯说过 几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题．一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式 的一种“图形证明”．‎ 证明思路 ‎ ‎（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；‎ ‎（2）左图中阴影区域的面积为，右图中，设，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含， 的式子表示）；‎ ‎（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式． 当且仅当满足条件__________________时，等号成立．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 2．若直角坐标平面内不同两点P，Q满足条件 ①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；‎ ‎②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数 的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点是函数的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点必在该函数图象上，故，消去，整理得．若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得，解得，即实数的取值范围是，故答案为．学* ‎ ‎3．【湖北省襄阳市 1月调研统测】若函数对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得成立，则称f (x)为“自倒函数”．给出下列命题 ‎ ‎①是自倒函数；‎ ‎②自倒函数f (x)可以是奇函数；‎ ‎③自倒函数f (x)的值域可以是R；‎ ‎④若都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数．‎ 则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号)．‎ ‎【答案】①②‎ ‎ 4．已知函数f(x)＝alog2|x|＋1(a≠0)，定义函数给出下列命题 ‎ ‎①F(x)＝|f(x)|；‎ ‎②函数F(x)是奇函数；‎ ‎③当a>0时，若x1x2<0，x1＋x2>0，则F(x1)＋F(x2)>0成立；‎ ‎④当a<0时，函数y＝F(x2－2x－3)存在最大值，不存在最小值．‎ 其中所有正确命题的序号是________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】　①因为，而，这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即不成立，①错误；学* ‎ ‎②当时， ，‎ ‎；‎ 当时， ，‎ ‎，‎ 所以函数是奇函数，②正确；‎ ‎③当时， 在上是单调增函数．若，不妨设，所以，又因为函数是奇函数， ，所以，③正确；‎ ‎④函数，‎ 当时，因为，‎ 所以既没有最大值，也没有最小值．‎ ‎5．如图所示，放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列判断 ‎ ‎①若－2≤x≤2，则函数y＝f(x)是偶函数；‎ ‎②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；‎ ‎③函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减；‎ ‎④函数y＝f(x)在区间[4,6]上是减函数．‎ 其中判断正确的序号是________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎【答案】①②④‎ ‎∴函数的周期是4，因此最终构成的图象如下 [ , , ]‎ ‎①根据图象的对称性可知函数y＝f(x)是偶函数，[ 学* * *X*X* ]‎ ‎∴①正确；‎ ‎②由图象可知函数的周期是4，∴②正确；‎ ‎③由图象可判断函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递增，∴③错误；‎ ‎④由图象可判断函数y＝f(x)在区间[4,6]上是减函数，∴④正确．‎ 故答案为①②④．‎ ‎6．【河北省定州中学2017-2018上学期第二次月考】设函数的定义域为，若函数满足下列两个条件，则称在定义域上是闭函数．①在上是单调函数；②存在区间，使在上值域为．如果函数为闭函数，则的取值范围是_______． ‎ ‎【答案】‎ 故答案为 ‎7．【湖南省长郡中学 高三月考】设函数的定义域为，如果， ，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为．给出下列四个函数 ①；②；③；④．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是__________．‎ ‎【答案】③‎ ‎ 8．【北京丰台二中 上学期期中考试】对于的子集，定义的“特征数列”为，， ，，其中，其余项均为．例如 子集的“特征数列”为， ， ， ， ， ， ．‎ ‎（）子集的“特征数列”的前项和等于__________．‎ ‎（）若的子集的“特征数列”， ， ， 满足， ， ； 的子集的“特征数列”， ， ， 满足， ， ，则的元素个数为__________．‎ ‎【答案】 2 17‎ ‎【解析】（）据“特征数列”的定义可知子集的“特征数列”为， ， ， ， ， ， ， ，故其前三项和为．‎ ‎ ‎ ‎9．【2016·开封联考】如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即．运用类比推理，若对∀n∈N*， 恒成立，则实数A＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，‎ 依据类比推理可得A1＝dx＝ln(n＋1)－lnn，A2＝dx＝ln(n＋2)－ln(n＋1)，…，An＝dx＝ln(2n)－ln(2n－1)，所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1)－lnn＋ln(n＋2)－ln(n＋1)＋…＋ln(2n)－ln(2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln 2．‎ ‎10．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图325所示．现给出下列说法 ‎ 图325‎ ‎①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．‎ 其中正确的说法是________．(填序号)‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】由图像可知前5min中温度增加，但是增加速度越来越慢，所以②对，①错。5min以后温度图像是一条水平线，所以温度保持不变，④对，③错，选②④。‎ ‎11．【湖北省枣阳市高级中学 上学期10月份月考】如图，多边形由一个矩形和一个去掉一个角的正方形组成， 现有距离为且与边平行的两条直线截取该多边形所得图形（阴影部分）的面积为，其中表示与间的距离，当 时， =__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎ 12．【湖南省株洲市 质量统测】如表给出一个“等差数阵” 其中每行、每列都是等差数列， 表示位于第行第列的数．则112在这“等差数阵”中出现的次数为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎ 13．【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018上学期期末考试】一个容器装有细沙，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出， 后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ），容器中的沙子只有开始时的八分之一．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意有= ,即 ，两边取对数得 当容器中只有开始时的八分之一，则有 两边取对数得，所以再经过的时间为24-8=16．故选B．‎ ‎14．【河北衡水金卷 高考模拟一】若函数， ，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若， ，使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ 15．【江西省赣州市寻乌中学 上学期期末考试】若直线与曲线满足下列两个条件 ‎ ‎（i)直线在点处与曲线相切；（ii)曲线在点附近位于直线的两侧．则称直线在点处“切过”曲线．‎ 下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．‎ ‎①直线在点处“切过”曲线；‎ ‎②直线在点处“切过”曲线；‎ ‎③直线在点处“切过”曲线；‎ ‎④直线在点处“切过”曲线；‎ ‎⑤直线在点处“切过”曲线．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】对于①，由于，得，则，直线是过点曲线的切线，又当时， ，当时， ，满足曲线在 附近位于直线两侧， 命题①正确；对于②，由，得，则，而直线斜率不存在，在点处不与曲线相切， 命题②错误；对于③，由，得，则，直线是过点