【数学】2019届一轮复习北师大版 空间几何体 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 空间几何体 学案

第13练　空间几何体 ‎[明考情]‎ 空间几何体是空间位置关系的载体，是高考的必考内容，题目难度为中档，多为选择题.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.三视图与直观图.‎ ‎2.几何体的表面积与体积.‎ ‎3.多面体与球.‎ 考点一　三视图与直观图 要点重组　(1)三视图画法的基本原则：长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线.‎ ‎(2)由三视图还原几何体的步骤 — ‎↓‎ — ‎↓‎ — ‎(3)直观图画法的规则：斜二测画法.‎ ‎1.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)‎ 答案　D 解析　被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条棱为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D项符合.‎ ‎2.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ 答案　B 解析　该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边的距离相等，故选B.‎ ‎3.如图所示是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的直观图是(　　)‎ 答案　D 解析　先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正(主)视图和侧(左)视图可知选项D正确.‎ ‎4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正(主)视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱侧(左)视图的面积为(　　)‎ A.2B.C.D.1‎ 答案　C 解析　由直观图、正(主)视图以及俯视图可知，侧(左)视图是宽为，长为1的长方形，所以面积S＝×1＝，故选C.‎ ‎5.已知正三棱锥V－ABC的正(主)视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧(左)视图的面积是________.‎ 答案　6‎ 解析　如图，由俯视图可知正三棱锥底面边长为2，‎ 则AO＝×2sin60°＝2.‎ 所以VO＝＝2，‎ 则VA′＝2.‎ 所以该正三棱锥的侧(左)视图的面积为×2×2＝6.‎ 考点二　几何体的表面积与体积 方法技巧　(1)求不规则的几何体的表面积，通常将几何体分割成基本的柱、锥、台体.‎ ‎(2)几何体的体积可以通过转换几何体的底面和高以利于计算.‎ ‎6.(2017·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)‎ A.60B.30C.20D.10‎ 答案　D 解析　由三视图画出如图所示的三棱锥P－ACD，过点P作PB⊥平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱锥P－ACD＝××3×5×4＝10.故选D.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为(　　)‎ A.＋B.π＋C.＋D.＋ 答案　C 解析　该几何体为半圆锥，其表面积为×(π×1×2＋π)＋×2×＝＋.‎ ‎8.已知某几何体的三视图如图所示，其正(主)视图和侧(左)视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是(　　)‎ A.2B.1C.D. 答案　C 解析　根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱，且该三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，所以该三棱柱的体积为V＝Sh＝×1×1×1＝，故选C.‎ ‎9.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为______.‎ 答案　2 解析　由题可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1截去四棱锥A－BEDC得到的，故其体积V＝×22××3－××2×＝2.‎ ‎10.在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正(主)视图和侧(左)视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形.设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是________.‎ 答案　 解析　由三视图易知几何体ABC－A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，‎ 则＝VA－PMN.‎ 又S△PMN＝MN·NP＝××1＝，‎ A1到平面PMN的距离h＝，‎ ‎∴＝VA－PMN＝S△PMN·h＝××＝.‎ 考点三　多面体与球 要点重组　(1)设球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到球的截面的距离为d，则有r＝.‎ ‎(2)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的对角线长等于球的直径.‎ ‎11.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为(　　)‎ A.4πB.12πC.16πD.64π 答案　C 解析　在△ABC中，‎ BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，‎ ‎∴AC2＝AB2＋BC2，‎ 即AB⊥BC.‎ 又SA⊥平面ABC，‎ ‎∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝，SA＝2为长、宽、高的长方体，‎ ‎∴球O的直径为＝4，‎ 故球O的表面积为4π×22＝16π.‎ ‎12.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)‎ A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3‎ 答案　A 解析　过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，‎ 在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm，AB＝4cm，OB＝Rcm，‎ 由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，‎ ‎∴V球＝πR3＝π(cm3).故选A.‎ ‎13.(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A.4πB.C.6πD. 答案　B 解析　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.‎ ‎14.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A.B.16πC.9πD. 答案　A 解析　由图知，R2＝(4－R)2＋2，‎ ‎∴R2＝16－8R＋R2＋2，‎ ‎∴R＝.‎ ‎∴S表＝4πR2＝4π×＝，故选A.‎ ‎15.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________.‎ 答案　 解析　设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，‎ 则V圆锥＝·πa2·a＝πa3.‎ 又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a，‎ 故V球＝·3＝πa3，故其体积比值为.‎ ‎1.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之比为(　　)‎ A.1∶1B.2∶1C.2∶3D.3∶2‎ 答案　A 解析　由题意可得正(主)视图的面积等于矩形ADD1A1面积的，侧(左)视图的面积等于矩形CDD1C1面积的.又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正(主)视图与侧(左)视图的面积之比是1∶1.‎ ‎2.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正(主)视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于(　　)‎ A.1B.2C.4D.8‎ 答案　B 解析　如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ‎，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.‎ ‎3.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)‎ A.36πB.64πC.144πD.256π 答案　C 解析　易知△AOB的面积确定，若三棱锥O－ABC的底面OAB的高最大，则其体积才最大.因为高最大为半径R，所以VO－ABC＝×R2×R＝36，解得R＝6.故S球＝4πR2＝144π.‎ 解题秘籍　(1)三视图都是几何体的投影，要抓住这个根本点确定几何体的特征.‎ ‎(2)多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系，要熟悉长方体与球的各种组合.‎ ‎1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4‎ 答案　D 解析　由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为 S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.‎ ‎2.(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋πB.＋πC.＋πD.1＋π 答案　C 解析　由三视图知，半球的半径R＝，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故选C.‎ ‎3.(2017·北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)‎ A.3B.2C.2D.2‎ 答案　B 解析　在正方体中还原该四棱锥，如图所示，‎ 可知SD为该四棱锥的最长棱.‎ 由三视图可知正方体的棱长为2，‎ 故SD＝＝2.故选B.‎ ‎4.如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为(　　)‎ A.2B.C.D. 答案　D 解析　多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V＝4－＝，故选D.‎ ‎5.一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正(主)视图的是(　　)‎ A.①②B.①③C.③④D.②④‎ 答案　D 解析　由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正(主)视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正(主)视图为④.而其他几种展开方式对应的正(主)视图在题中没有出现.故选D.‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是(　　)‎ A.8πB.12πC.16πD. 答案　D 解析　如图所示，该几何体是三棱锥D—ABC，其中AB＝2，AC＝2，BC＝2，取BC的中点E，则DE＝，且AB⊥AC，DE⊥平面ABC，故外接球球心O必在直线DE上，设OE＝x，三棱锥D—ABC外接球的半径为R，由(OD－DE)2＋EC2＝OC2＝R2，得(R－)2＋()2＝R2，解得R2＝，故三棱锥D—ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝，故选D.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为(　　)‎ A.8－2πB.8－πC.8－D.8－ 答案　B 解析　由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V＝×2＝8－π.‎ ‎8.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥S－ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A.πB.πC.πD.π 答案　D 解析　作如图所示的辅助线，其中O为球心，设OG1＝x，则OB1＝SO＝2－x，由正方体的性质知，B1G1＝，则在Rt△OB1G1中，OB＝G1B＋OG，即(2－x)2＝x2＋2，解得x＝，所以球的半径R＝OB1＝，所以球的表面积为S＝4πR2＝π，故选D.‎ ‎9.(2017·重庆二诊)已知棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为________.‎ 答案　π 解析　如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，‎ 且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，设线段AB1上的切点为E，AC1∩平面A1BD＝O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E，记为r，A1B与AB1的交点为F，则O2F＝DF＝××＝，AO2＝AC1＝1，由O1E∥O2F知，＝⇒AO1＝O1E，则圆柱的高为3－2AO1＝3－2r，‎ S侧＝2πr(3－2r)＝4πr≤4π·2＝.‎ ‎10.如图，侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________.‎ 答案　6‎ 解析　沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图，‎ 则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.‎ 在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6.‎ ‎11.(2017·江苏)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是______.‎ 答案　 解析　设球O的半径为R，‎ ‎∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，‎ ‎∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.‎ ‎∴＝＝.‎ ‎12.在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________.‎ 答案　π 解析　如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥补成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，‎ ‎∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.‎ 由题意 解得 ‎∴长方体的体对角线长为＝，‎ ‎∴三棱锥外接球的半径为，‎ ‎∴三棱锥外接球的体积为V＝π·3＝π.‎