【数学】2020届一轮复习人教B版不等式选讲学案

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【数学】2020届一轮复习人教B版不等式选讲学案

微专题97 不等式选讲 一、基础知识:‎ ‎(一)不等式的形式与常见不等式:‎ ‎1、不等式的基本性质:‎ ‎(1) ‎ ‎(2)(不等式的传递性)‎ 注:,等号成立当且仅当前两个等号同时成立 ‎(3) ‎ ‎(4) ‎ ‎(5) ‎ ‎(6)‎ ‎2、绝对值不等式: ‎ ‎(1)等号成立条件当且仅当 ‎ ‎(2)等号成立条件当且仅当 ‎ ‎(3):此性质可用于求含绝对值函数的最小值,其中等号成立当且仅当 ‎ ‎3、均值不等式 ‎(1)涉及的几个平均数:‎ ‎① 调和平均数: ‎ ‎② 几何平均数: ‎ ‎③ 代数平均数: ‎ ‎④ 平方平均数:‎ ‎(2)均值不等式:,等号成立的条件均为: ‎ ‎(3)三项均值不等式:‎ ‎① ‎ ‎② ‎ ‎③ ‎ ‎4、柯西不等式: ‎ 等号成立条件当且仅当或 ‎ ‎(1)二元柯西不等式:,等号成立当且仅当 ‎ ‎(2)柯西不等式的几个常用变形 ‎① 柯西不等式的三角公式:‎ ‎ ‎ ‎② ‎ ‎②式体现的是当各项系数不同时,其“平方和”与“项的和”之间的不等关系,刚好是均值不等式的一个补充。‎ ‎③ ‎ ‎5、排序不等式:设为两组实数,是的任一排列,则有:‎ 即“反序和乱序和顺序和”‎ ‎(二)不等式选讲的考察内容:‎ ‎1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立 ‎2、利用常见不等式(均值不等式,柯西不等式)求表达式的最值,要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似,即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩(消元)→验证等号成立条件”‎ ‎3、解不等式(特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节)‎ 二、典型例题:‎ 例1:若不等式恒成立,则的取值范围为________.‎ 思路:本题为恒成立问题,可知,所以只需求出的最小值即可,一种思路可以构造函数,通过对绝对值里的符号进行分类讨论得到分段函数:,进而得到,另一种思路可以想到绝对值不等式:,进而直接得到最小值,所以,从而 ‎ 答案: ‎ 例2:若存在实数使得成立,求实数的取值范围 思路:本题可从方程有根出发,得到关于的不等式,从而解出的范围 解:依题意可知二次方程有解 ‎ ‎ 即 当时, ‎ 当时,恒成立 ‎ 当时, ‎ 综上所述,可得 ‎ 例3:已知函数 ‎ ‎(1)当时,解不等式 ‎ ‎(2)若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围 ‎(1)思路:所解不等式为,可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式 解:(1)当时, ‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 综上所述:不等式的解集为 ‎ ‎(2)思路:若不等式恒成立,可知只需即可,含绝对值,从而可通过分类讨论将其变为分段函数,通过分析函数性质即可得到,所以 ‎ 解:恒成立 ‎ ‎ 考虑 在单调递减,在单调递增 ‎ ‎ ‎ ‎ 例4:已知都是正数,且,求的最大值 思路一:已知为常数,从所求入手,发现被开方数的和为也为常数,所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数”,进而求得最大值 解: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 等号成立当且仅当 ‎ 思路二:由所求可联想到柯西不等式(活用1):,从而可得:即,所以可知 小炼有话说:本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同(分别为均值不等式和柯西不等式),但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例5:已知是实数,且,则的最大值是__________‎ 思路:考虑将向进行靠拢,由柯西不等式可知 ‎,对照条件可知令即可,所以,则 答案: ‎ 小炼有话说:使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式,然后找到所求与已知之间的联系,确定系数在柯西不等式的位置即可求解。‎ 例6:已知实数满足,则的取值范围是____________‎ 思路:本题的核心元素为,若要求的取值范围,则需要寻找两个等式中项的不等关系,即关于的不等关系,考虑到,联想到柯西不等式,则有,代入可得:解得:,验证等号成立条件:在时均有解。‎ 答案:‎ 例7:已知均为正数,求证:,并确定为何值时,等号成立 思路:观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系,右侧为常数,所以可想到基本不等式中互为倒数时,,右侧为一个常数。,从而将左侧的项均转化为与相关的项,然后再利用基本不等式即可得到最小值,即不等式得证 解:由均值不等式可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 等号成立条件: ‎ 例8:已知 ‎(1)若,求的最小值 ‎(2)求证: ‎ ‎(1)思路:从所求出发可发现其分母若作和,则可与找到联系,从而想到柯西不等式的变式:,从而 解:‎ 由柯西不等式可得:‎ ‎ ‎ ‎(2)所证不等式等价于:,观察左右的项可发现对左边任意两项使用均值不等式,即可得到右边的某项,即: ,三式相加即完成证明 证明:由均值不等式可得:‎ 三式相加:‎ 即 小炼有话说:对于求倒数和(即为常数)的最值,有两个柯西不等式的变式可供使用:和,其不同之处在于对分母变形时运算的选择,第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”,在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。‎ 例9:设,求证: ‎ 思路:所证不等式中的变量位于指数和底数位置,且为乘法与乘方运算,并不利于不等式变形;所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数,同时将乘法运算转为加法运算。则所证不等式等价于,化简后可得:①,所证不等式为轮换对称式,则不妨给定序,即,则,由①的特点想到排序不等式,则为顺序和,是最大的,剩下的组合为乱序和或反序和,必然较小,所以有,两式相加即可完成证明。‎ 证明: ‎ ‎ 将所证不等式两边同取对数可得:‎ ‎ ‎ ‎ 所证不等式为轮换对称式 不妨设 ‎ ‎ ‎ 可得:‎ 即证明不等式 小炼有话说:使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”,本题已知条件虽然没有的大小关系,但由所证不等式“轮换对称”的特点,可添加大小关系的条件,即,从而能够使用排序不等式。‎ 例10:设正数满足 ‎(1)求的最大值 ‎(2)证明: ‎ ‎(1)思路:所求表达式为多元表达式,所以考虑减少变量个数,由得,则,下面考虑将进行转化,向 靠拢,利用基本不等式进行放缩,可得:,再求关于的表达式的最大值即可。‎ 解: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最大值为,此时 ‎ ‎(2)思路:由(1)可知的最大值为,且所证不等式的左边分母含有项,所以考虑向的形式进行靠拢,联想到柯西不等式的一个变形公式:,可得:‎ ‎,进而结合第(1)问的结果再进行放缩即可证明不等式 解:由柯西不等式可得:‎ 由(1)知 等号成立条件:‎ 三、历年好题精选 ‎1、设 ‎(1)求证:‎ ‎(2)若不等式对任意非零实数恒成立,求的取值范围 ‎2、(2014吉林九校联考二模,24)已知关于的不等式 ‎(1)当时,求此不等式的解集;‎ ‎(2)若此不等式的解集为,求实数 的取值范围.‎ ‎3、(2015,福建)已知,函数的最小值为4‎ ‎(1)求的值 ‎(2)求的最小值 ‎4、(2015,新课标II)设均为正数,且,证明:‎ ‎(1)若,则 ‎ ‎(2)是的充要条件 ‎5、(2015,陕西)已知关于的不等式的解集为 ‎ ‎(1)求实数的值 ‎(2)求的最大值 ‎6、已知定义在上的函数的最小值为 ‎ ‎(1)求的值 ‎(2)若是正实数,且满足,求证: ‎ ‎7、(江西)对任意的,的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、(浙江)(1)解不等式: ‎ ‎(2)设正数满足,求证:,并给出等号成立条件 ‎9、(2016,苏州高三调研)设函数 ‎(1)证明:‎ ‎(2)若,求实数的取值范围 习题答案:‎ ‎1、解析:(1)‎ ‎(2)恒成立不等式为:‎ 设 ‎ ‎ 当时,‎ 当时,不成立 当时, ‎ ‎2、解析:(1)时,不等式为 ‎ 或,解得 ‎ ‎(2)问题转化为,不等式恒成立 ‎ ‎ 设 ‎ 或 ‎ ‎3、解析:(1)‎ ‎ ‎ ‎(2)‎ ‎,等号成立条件: ‎ ‎4、解析:(1)‎ ‎ ‎ 从而不等式得证 ‎(2)若,则 ‎ 即 ‎ ‎,由(1)可得 若,则 即 ‎ ‎ 综上所述:是的充要条件 ‎5、解析:(1)‎ 不等式解得: ‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)可得:‎ 由柯西不等式可得:‎ ‎6、解析:(1)‎ ‎ ‎ ‎(2)由柯西不等式可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7、答案:C 解析:‎ ‎8、解析:(1)当时,解得 ‎ 当时,解得 ‎ 当时。解得 ‎ 综上所述:解集为 ‎ ‎(2)由可得: ‎ 由柯西不等式可得:‎ ‎ ‎ 等号成立条件: ‎ ‎9、解析:(1)‎ ‎(2)即 时,不等式转化为:‎ 解得:‎ 当时,‎ 解得:‎ 综上所述:不等式的解集为:‎
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