2018届二轮复习三角函数问题学案（全国通用）

2018届二轮复习三角函数问题学案（全国通用）

专题一　三角函数与平面向量 建知识 络　明内在联系 ‎[高考点拨]　三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”或“4小”的形式呈现，小题主要考查三角函数的图象和性质、平面向量及解三角形的内容，大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．‎ 突破点1　三角函数问题 ‎[核心知识提炼]‎ 提炼1 三角函数的图象问题 ‎(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ.‎ ‎(2)三角函数图象的两种常见变换 提炼2 三角函数奇偶性与对称性 ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)解得．‎ ‎(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝(k∈Z)解得，无对称轴．‎ 提炼3 三角函数最值问题 ‎(1)y＝asin x＋bcos x＋c型函数的最值：可将y转化为y＝sin(x＋φ)＋c的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y＝sin(x＋φ)＋c的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．‎ ‎(2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值：可利用降幂公式sin2x＝，sin xcos x＝，cos2x＝，将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x转化整理为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，这样就可将其转化为(1)的类型 求最值．‎ ‎[高考真题回访]‎ 回访1　三角函数的图象问题 ‎1．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图11所示，则(　　)‎ 图11‎ A．y＝2sin　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin A　[由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)‎ A．y＝2sin　　　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin D　[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin eq lc( c)(avs4alco1(2x－f(π,3)))，故选D.]‎ 回访2　三角函数的性质问题 ‎3．(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ B　[∵f(x)＝cos 2x＋6cos ‎＝cos 2x＋6sin x ‎＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，‎ 又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.]‎ ‎4．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos |2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A．②④　　 B．①③④ ‎ C.①②③　　 D．①③‎ C　[①y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；③y＝cos 的最小正周期T＝＝π；④y＝tan的最小正周期T＝.]‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．‎ 　[f(x)＝2cos x＋sin x＝，‎ 设sin α＝，cos α＝，‎ 则f(x)＝sin(x＋α)，‎ ‎∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.]‎ 回访3　三角恒等变换 ‎6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.‎ 　[cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝(cos α＋sin α)．‎ 又由α∈，tan α＝2，知sin α＝，cos α＝，‎ ‎∴cos＝×＝.]‎ ‎7．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ ‎－　[由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.‎ tan＝tan ‎＝－ ‎＝－＝－＝－.]‎ 热点题型1　三角函数的图象问题 题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低．‎ ‎【例1】(1)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　) ‎ ‎【导 号：04024024】‎ A.　　　 B．　　　‎ C.　　　 D． ‎(2)(2017·深圳二模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)，x∈的图象如图12所示，若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，则f(x1＋x2)＝(　　)‎ 图12‎ A．1 B. ‎ C. D．2‎ ‎(1)A　(2)A　[(1)设f(x)＝cos x＋sin x＝2＝2sin ‎，向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin.∵g(x)的图象关于y轴对称，∴g(x)为偶函数，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)，‎ ‎∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值为.‎ ‎(2)由题可得周期T＝×＝π，则ω＝＝2，那么f(x)＝2sin(2x＋φ)．由f＝2sin＝0，可得φ的一个值为，故f(x)＝2sin.由题知x1＋x2＝2×＝，故f(x1＋x2)＝2sin＝2sin＝1，故选A.]‎ ‎[方法指津]‎ ‎1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定．‎ ‎(1)A由最值确定，A＝；‎ ‎(2)ω由周期确定；‎ ‎(3)φ由图象上的特殊点确定．‎ 提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．‎ ‎2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ ‎[变式训练1](1)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象 ‎(　　)‎ ‎【导 号：04024025】‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎(2)函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分图象如图13所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)的值为(　　)‎ 图13‎ A．0　　　 B．3 C．6 D．－ ‎(1)B　(2)A　[(1)∵y＝cos 2x＝sin，‎ ‎∴y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，‎ 得y＝sin＝sin的图象．‎ 故选B.‎ ‎(2)由题图可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝，‎ ‎∴f(x)＝2sinx.‎ ‎∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0，‎ 而2 016＝8×252，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝0.]‎ 热点题型2　三角函数的性质问题 题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等．‎ ‎【例2】　已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ ‎[解] (1)f(x)的定义域为． 1分 f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin． 4分 所以f(x)的最小正周期T＝＝π． 6分 ‎(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z． 8分 设A＝，B＝，易知A∩B＝． 10分 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 12分 ‎[方法指津]‎ 研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的“两种”意识 ‎1．转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．‎ ‎2．整体意识：类比于研究y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”代入求解便可．‎ ‎[变式训练2] (1)(名师押题)已知函数f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是(　　) ‎ ‎【导 号：04024026】‎ A．在上是增函数 B．其图象关于直线x＝－对称 C．函数g(x)是奇函数 D．当x∈时，函数g(x)的值域是[－2,1]‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)‎ A. B．1‎ C. D. ‎(1)D　(2)A　[(1)因为f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos 2x.‎ 对于A，由x∈可知2x∈，故g(x)在上是减函数，故A错；又g＝2cos＝0，故x＝－不是g(x)的对称轴，故B错；又g(－x)＝2cos 2x＝g(x)，故C错；又当x∈时，2x∈，故g(x)的值域为[－2,1]，D正确．‎ ‎(2)法一：∵f(x)＝sin＋cos ‎＝＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＝sin，‎ ‎∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.‎ 故选A.‎ 法二：∵＋＝，‎ ‎∴f(x)＝sin＋cos ‎＝sin＋cos ‎＝sin＋sin ‎＝sin≤.‎ ‎∴f(x)max＝.‎ 故选A.]‎ 热点题型3　三角恒等变换 题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质．‎ ‎【例3】(1)(2017·合肥一模)已知sin 2α＝2－2cos 2α，则tan α＝________.‎ ‎(2)如图14，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则cos2－sincos －的值为________. ‎ ‎【导 号：04024027】‎ 图14‎ ‎(1)0或　(2)　[(1)由sin 2α＝2－2cos 2α得 ‎2sin αcos α＝4sin2α，所以sin α＝0或tan α＝，‎ 当sin α＝0时，tan α＝0，故tan α＝0或.‎ ‎(2)由题意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC为正三角形．‎ 由三角函数的定义可知，sin∠AOB＝sin＝，‎ ‎∴cos2－sincos－＝－－＝cos α－sin α＝sin＝.]‎ ‎[方法指津]‎ ‎1．解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．‎ ‎2．在研究形如f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的函数的性质时，通常利用辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)把函数f(x)化为Asin(ωx＋φ)的形式，通过对函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的研究得到f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的性质．‎ ‎[变式训练3](1)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝　　　　　　 B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ ‎(2)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，则cos等于(　　) ‎ ‎【导 号：04024028】‎ A．－　　 B．－ ‎ C.　　 D． ‎(1)B　(2)C　[(1)由tan α＝得＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴α－β∈，－α∈，‎ 由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，‎ ‎∴2α－β＝.‎ ‎(2)∵sin＋sin α＝－，－＜α＜0，‎ ‎∴sin α＋cos α＝－，‎ ‎∴sin α＋cos α＝－，‎ ‎∴cos＝cos αcos －sin αsin ‎＝－cos α－sin α＝.]‎