安徽省马鞍山市2020届高三教学质量检测数学理试题

安徽省马鞍山市2020届高三教学质量检测数学理试题

‎2020年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 理科数学试题 本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知函数与它的导函数的定义域均为，则下列命题中，正确的是 ‎ A．若是的极值点，则 ‎ B．若是偶函数，则一定是偶函数 ‎ C．若，则 ‎ D．若的图象在区间连续不断，则在上一定有最大值 ‎4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有 第6题图 ‎ A．10种 B．40种 ‎ ‎ C．80种 D．240种 ‎5．已知非零向量，满足，‎ 则与的夹角为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 ‎ A．4 B．5‎ ‎ C．6 D．7‎ ‎7．关于函数有下述四个结论：‎ ‎①在区间上是减函数； ②的图象关于直线对称；‎ ‎③的图象关于点对称； ④ 在区间上的值域为．‎ 其中所有正确结论的个数是 ‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎8．已知外接圆面积为，，则周长的最大值为 ‎ A． B． C．3 D．‎ ‎9．已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上且位于轴上方，点，若直线平分线段，则的大小为 ‎ A． B． C． D．无法确定 第10题图 ‎10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是 ‎ A．该三棱柱的侧视图一定为矩形 ‎ B．该三棱柱的侧视图可能为菱形 ‎ C．该三棱柱的表面积一定为 ‎ D．该三棱柱的体积一定为 ‎11．设，若和被除得的余数相同，则称和模同余，‎ 记为，已知，‎ 则的值可能是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．梯形中，，，，，现将沿折起，使得二面角的大小为，若四点在同一个球面上，则该球的表面积为 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若变量满足约束条件，则的最大值为　 ．‎ ‎14．百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图．相传是纪念哥伦布所制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称．如图，九巧板由2个不规则四边形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成．在拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠．九巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼板．已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为　 ． ‎ ‎15．已知函数，（为自然对数的底数），若函数有且只有三个零点，则实数的值为　 ．‎ ‎16．已知双曲线的离心率为，过的左焦点作直线，直线与双曲线分别交于点，与的两渐近线分别交于点，若，则　 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知数列、、中，，，，．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列，并求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，多面体中，面面，面面，面，，，．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值． ‎ ‎19．（12分）‎ 已知为抛物线的焦点，以为圆心作半径为的圆，圆与轴的负半轴交于点，与抛物线分别交于点．‎ ‎（1）若为直角三角形，求半径的值；‎ ‎（2）判断直线与抛物线的位置关系，并给出证明．‎ ‎20．（12分）‎ 随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中．国家统计局数据显示，2019年有4亿国人经常参加体育锻炼．某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：‎ 平均每周健身天数 不大于2‎ ‎3或4‎ 不少于5‎ 人数（男）‎ ‎20‎ ‎35‎ ‎9‎ 人数（女）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎6‎ 若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”．该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员．‎ ‎（1）已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？‎ ‎（3）该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：‎ 方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元，288元，888元的幸运奖励；‎ 方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励．规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）．‎ 请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由．‎ 附：，其中为样本容量．‎ ‎0.50‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.455‎ ‎1.323‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.636‎ ‎7.879‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数（）．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，，求证：．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于，两点，求．‎ ‎23．[选修4-5 不等式选讲]（10分）‎ 已知为实数，且满足.证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎2020年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A A C D C A B D D C 二、填空题 ‎13． 14． 15．或 16．‎ 三、解答题 ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．【解】‎ ‎（1），，‎ ‎，‎ 即，‎ 是首项为2，公比2的等比数列． （3分）‎ ‎， （4分）0‎ ‎． （6分）‎ ‎（2）由（1）得，（7分）‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减，得，（10分）‎ ‎． （12分）‎ ‎18．【解析】（1）分别取的中点，连接，‎ 因为，，所以，，‎ 因为面面，面面，‎ 所以面，面，所以，‎ 因为面，面面，所以，‎ 于是是矩形， （4分）‎ ‎，‎ 又，所以为等腰直角三角形，． （6分）‎ ‎（2）因为，所以， ‎ 于是，， （7分）‎ 过作面，以为坐标原点分别为正半轴，‎ 建立空间直角坐标系，则 ‎， （8分）‎ 设面的法向量，则 ‎，令得， （9分）‎ 设面的法向量，则 ‎，令得， （10分）‎ 所以，二面角的余弦值为． （12分）‎ ‎19．【解析】（1）由抛物线及圆的对称性可知，故，（2分）‎ 于是经过焦点且与轴垂直，‎ 抛物线方程中，令得半径． （5分）‎ ‎（2）设，由抛物线定义，，‎ 又，所以的坐标为，‎ 直线的方程为， （9分）‎ 与抛物线联立得，‎ 结合，化简得，，‎ 所以直线与抛物线相切于点． （12分）‎ ‎20．【解析】（1）； （3分）‎ ‎（2），故不能在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系； （7分）‎ ‎（3）方案一：共支出 元，‎ 方案二：设一次摸奖所获得的的奖励额为，则的所有可能取值为0,100,200，‎ 且，，，‎ 故一次摸奖获得的奖励额的期望值为，‎ 故方案二的总支出为元，‎ 故而第二种方案支出较少． （12分）‎ ‎21．【解】（1）定义域为．，（1分）‎ 当即时，，所以函数在上单调递减； （2分）‎ 当即时，由，得，或，‎ 因为，所以，‎ 从而的解为，或， （3分）‎ 且可得时，，单调递减；‎ 时，，单调递增；‎ 时，，单调递减． （5分）‎ 综上：时，函数在和单调递减，‎ 在单调递增；时，在上单调递减． （6分）‎ ‎（2）由（1）的解答可知，，且，． （8分）‎ 所以 ‎． （9分）‎ 所以要证，即证．‎ 不妨设，则，所以；‎ 又由（1）知，，‎ 所以，（10分）‎ 令（），‎ 则 ‎，‎ 所以在单调递增，所以，‎ 即．‎ 所以，成立，从而． （12分）‎ 第（2）小题简证：一方面，由（1）知，函数在单调递增，‎ 从而；另一方面，，显然． （12分）‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为， （3分）‎ ‎ 直线的直角坐标方程为． （5分）‎ ‎（2）由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，‎ 以为极点，轴的正方向为极轴方向重新建立极坐标系，‎ 在此极坐标系中，直线的方程为或（其中为直线的倾斜角，满足），‎ 不妨设，，抛物线的方程为，‎ 将代入得，将代入得，‎ 所以和是方程的两根，‎ 由韦达定理得，， （8分）‎ 所以． （10分）‎ ‎（2）另证:由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，‎ 不妨设 由 ‎ 由韦达定理: （8分）‎ ‎ ‎ ‎ (10分)‎ ‎23．【解析】（1）由已知可得：‎ ‎ （5分）‎ ‎（2）‎ 根据柯西不等式可得：‎ ‎ （10分）‎ 注：其他正确的方法不扣分．‎