2018届二轮复习集合常用逻辑用语课件（全国通用）
第一讲
集合、常用逻辑用语
【
知识回顾
】
1.
集合的概念、关系及运算
(1)
集合元素的特性
:
确定性、
_______
、无序性
.
(2)
集合与集合之间的关系
:A⊆B,B⊆C⇒_____.
(3)
空集是任何集合的子集
.
互异性
A
⊆
C
(4)
含有
n
个元素的集合的子集有
__
个
,
真子集有
____
个
,
非空真子集有
____
个
.
(5)
重要结论
:
A∩B=A⇔_____,A∪B=A⇔_____.
2
n
2
n
-1
2
n
-2
A
⊆
B
B
⊆
A
2.
四种命题之间的关系
(1)
两个命题互为
逆否命题
,
它们有
_____
的真假性
;
两
个命题为互逆命题或互否命题
,
它们的真假性
_________.
(2)
一个命题的逆命题与它的否命题同真同假
.
相同
没有关系
3.
充要条件
设集合
A={
x|x
满足条件
p},B
={
x|x
满足条件
q},
则有
从逻辑观点看
从集合观点看
p
是
q
的充分不必要条件
(
p⇒q,q
p)
_____
p
是
q
的必要不充分条件
(
q⇒p,p
q)
_____
p
是
q
的充要条件
(
p⇔q
)
____
p
是
q
的既不充分也不必要条件
(p
q,
q
p)
A
与
B
互不包含
A
B
B
A
A=B
4.
简单的逻辑联结词
(1)
命题
p∨q
,
只要
p,q
有一真
,
即为真
;
命题
p∧q
,
只有
p,q
均为真
,
才为真
;¬p
和
p
为真假对立的命题
.
(2)
命题
p∨q
的
否定是
___________;
命题
p∧q
的否定是
___________.
(¬
p)∧(¬q
)
(¬
p)∨(¬q
)
5.
全
(
特
)
称命题及其否定
(1)
全称命题
p:∀x∈M,p(x
).
它的否定为
¬p:
______________
.
(2)
特称命题
p:∃x
0
∈M,p(x
0
).
它的否定为
¬p:
_____________
.
∃
x
0
∈M,¬p(x
0
)
∀
x∈M,¬p(x
)
【
易错提醒
】
1.
忽略集合元素互异性致误
:
在求解与集合有关的参数问题时
,
一定要注意集合元素的互异性
,
否则容易产生增根
.
2.
忽略空集致误
:
空集是任何集合的子集
,
是任何非空集合的真子集
,
在分类讨论时要注意
“
空集优先
”
的原则
.
3.
混淆命题的否定与否命题致误
:
在求解命题的否定与否命题时
,
一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定
,
而否命题既对命题的条件进行否定
,
又对命题的结论进行否定
,
否则容易致误
.
4.
注意问题的表达方式
:
“
A
的充分不必要条件是
B
”
是指
B
能推出
A,
但
A
不能推出
B;
“
A
是
B
的充分不必要条件
”
是指
A
能推出
B,
但
B
不能推出
A.
【
考题回访
】
1.(2016·
全国卷
Ⅱ)
已知集合
A={1
，
2
，
3}
，
B={x|(x+1)(x-2)<0
，
x∈Z
}
，则
A∪B=(
)
A.{1} B.{1
，
2}
C.{0
，
1
，
2
，
3} D.{-1
，
0
，
1
，
2
，
3}
【
解析
】
选
C.B={x|(x+1)(x-2)<0
，
x
∈
Z
}=
{x|-1
2
n
B.
∃
n
0
∈N
，
C.
∀
n∈N
，
n
2
≤2
n
D.
∃
n
0
∈N
，
【
解析
】
选
C. p
：
∀
n
∈
N
，
n
2
≤
2
n
.
3.(2016·
全国卷
Ⅲ)
设集合
S={x|(x-2)(x-3)≥0}
，
T={
x|x
>0}
，则
S∩T=(
)
A.[2
，
3] B.(-∞
，
2]∪[3
，
+∞)
C.[3
，
+∞) D.(0
，
2]∪[3
，
+∞)
【
解析
】
选
D.
在集合
S
中
(
x
－
2)(x
－
3)
≥
0
，解得
x
≥
3
或
x
≤
2
，所以
S
∩
T={
x|00}
，则
A∩B=(
)
(2)(2016
·
福州一模
)
已知集合
A={
x|y
=ln(1-2x)},
B={x|x
2
≤x},
全集
U=A∪B,
则
∁
U
(A∩B)=
(
)
【
解题导引
】
(1)
先依据
A
，
B
的意义，求出各自的解集，再求交集
.
(2)
先化简
A
，
B
两个集合，再求出它们的并集，最后求出它们的补集
.
【
规范解答
】
(1)
选
D.A={x|x
2
-4x+3<0}={x|10}=
所以
A∩B=
(2)
选
C.
对于
A= B=[0,1],A∩B=
U=(-∞,1],
∁
U
(A∩B)=(-∞,0)∪
命题角度二 集合间的关系的判断
【
典例
2】
(1)(2016
·
蚌埠二模
)
已知集合
M={1,4,7},
M∪N=M,
则集合
N
不可能是
(
)
A.
∅
B.{1,4} C.M D.{2,7}
(2)(2016
·
佛山二模
)
自主招生联盟成形于
2009
年清华大学等五校联考
,
主要包括
“
北约
”
联盟
,
“
华约
”
联盟
,
“
卓越
”
联盟和
“
京派
”
联盟
.
在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时
,
得到如下结果
:
①
报考
“
北约
”
联盟的学生
,
都没报考
“
华约
”
联盟
;
②
报考
“
华约
”
联盟的学生
,
也报考了
“
京派
”
联盟
;
③
报考
“
卓越
”
联盟的学生
,
都没报考
“
京派
”
联盟
;
④
不报考
“
卓越
”
联盟的学生
,
就报考
“
华约
”
联盟
.
根据上述调查结果
,
下列结论错误的是
(
)
A.
没有同时报考
“
华约
”
和
“
卓越
”
联盟的学生
B.
报考
“
华约
”
和
“
京派
”
联盟的考生一样多
C.
报考
“
北约
”
联盟的考生也报考了
“
卓越
”
联盟
D.
报考
“
京派
”
联盟的考生也报考了
“
北约
”
联盟
【
解题导引
】
(1)
由
M∪N=M,
得
N⊆M,
根据集合关系进行判断即可
.(2)
将各个联盟看成集合
,
画出韦恩图即可得出结果
.
【
规范解答
】
(1)
选
D.
因为
M∪N=M,
所以
N⊆M,
所以集合
N
不可能是
{2,7}.
(2)
选
D.
集合
A
表示报考
“
北约
”
联盟的学生
,
集合
B
表示报考
“
华约
”
联盟的学生
,
集合
C
表示报考
“
京派
”
联盟的学生
,
集合
D
表示报考
“
卓越
”
联盟的学生
,
由题意得 所以 选项
A.B∩D=
∅
,
正确
;
选项
B.B=C,
正确
;
选项
C.A⊆D,
正确
.
【
规律方法
】
1.
解答集合问题的策略
(1)
正确理解各个集合的含义
,
弄清集合元素的属性
.
(2)
依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解
.
2.
一般策略
(1)
若给定的集合是不等式的解集
,
用数轴求解
.
(2)
若给定的集合是点集
,
用图象法求解
.
(3)
若给定的集合是抽象集合
,
常用
Venn
图求解
.
【
题组过关
】
1.(2015·
全国卷
Ⅱ)
已知集合
A={-2
，
-1
，
0
，
1
，
2}
，
B={x|(x-1)(x+2)<0}
，则
A∩B=(
)
A.{-1
，
0}
B.{0
，
1}
C.{-1
，
0
，
1} D.{0
，
1
，
2}
【
解析
】
选
A.
由已知得
B={x|-20)},
若
A⊆B,
则
c
的取值范围为
(
)
A.(0,1] B.(0,1)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
【
解析
】
选
C.
由题意将两个集合化简得
:A=(0,1),
B=(0,c),
因为
A
⊆
B,
所以
c
≥
1.
【
加固训练
】
1.(2016·
蚌埠二模
)
已知全集
U={0
，
1
，
2
，
3
，
4}
，
集合
M={2
，
3
，
4}
，
N={0
，
1
，
4}
，则集合
{0
，
1}
可以表示为
(
)
A.M∪N
B.( M)∩N
C.M∩( N) D.( M)∩( N)
【
解析
】
选
B.
全集
U={0
，
1
，
2
，
3
，
4}
，集合
M={2
，
3
，
4}
，
N={0
，
1
，
4}
，所以
M={0
，
1}
，
N
∩
( M)={0
，
1}.
2.(2016
·
衡阳一模
)
已知集合
A={0,1,2},B={
x|y
=
lnx
},
则
A∩B=
(
)
A.{0,2}
B.{0,1} C.{1,2}
D.{0,1,2}
【
解析
】
选
C.B={
x|y
=
lnx
}={
x|x
>0},
则
A∩B={1,2}.
3.(2016
·
蚌埠二模
)
若全集
U={0,1,2,4},
且
∁
U
A={1,2},
则集合
A=
(
)
A.{1,4}
B.{0,4}
C.{2,4}
D.{0,2}
【
解析
】
选
B.
全集
U={0,1,2,4},
且
∁
U
A={1,2},
则集合
A={0,4}.
4.(2016
·
佛山二模
)
已知
U=R,
函数
y=ln(1-x)
的定义域为
M,
集合
N={x|x
2
-x<0}.
则下列结论正确的是
(
)
A.M∩N=N B.M∩(
∁
U
N)=
∅
C.M∪N=U D.M⊆(
∁
U
N)
【
解析
】
选
A.
由
1-x>0,
解得
x<1,
故函数
y=ln(1-x)
的定义域为
M=(-
∞
,1),
由
x
2
-x<0,
解得
0x+1
C.∀x
>0,5
x
>3
x
D.∃x
0
∈(0,+∞),x
0
0.
则下面结论正确的是
(
)
A.p∧q
是真命题
B.p∧q
是假命题
C.¬p
是真命题
D.p
是假命题
【
解题导引
】
(1)
根据对数函数以及指数函数的性质分
别判断各个选项即可
.(2)p:
取
α
0
=
则
cos(π-α
0
)
=cosα
0
,
即可判断出真假
;
命题
q:
利用实数的性质可得
q
的真假
,
再利用复合命题真假的判定方法即可得出
.
【
规范解答
】
(1)
选
D.
对于
A:
比如
x
0
=
时
,
ln
=-1,
是
真命题
;
对于
B:
令
f(x
)=e
x
-x-1,f′(x)=e
x
-1<0
在
x∈
(-∞,0)
上恒成立
,
f(x
)
在
x∈(-∞,0)
上递减
,
所以
f(x
)>f(0)=0,
是真命题
;
对于
C:
因为当
α>0
时
,y=
x
α
在第一象限为增函数
,
所以
5
x
>3
x
是真命题
;
对于
D:
令
g(x
)=
x-sinx,g′(x
)=1-cosx≥0,g(x)
递增
,
所以
g(x
)>g(0)=0,
是假命题
.
(2)
选
A.
对于
p:
取
α
0
=
则
cos(π-α
0
)=cosα
0
,
因此
正确
;
对于命题
q:∀x∈R,x
2
+1>0,
正确
.
由上可得
:
p∧q
是真命题
.
【
规律方法
】
1.
命题真假的判定方法
(1)
一般命题
p
的真假由涉及的相关知识辨别
.
(2)
四种命题真假的判断
:
一个命题和它的逆否命题同真假
,
而其他两个命题的真假无此规律
.
(3)
形如
p∨q,p∧q,¬p
命题的真假根据
p,q
的真假与联结词的含义判定
.
2.
全称命题与特称命题真假的判定
(1)
全称命题
:
要判定一个全称命题是真命题
,
必须对限定集合
M
中的每一个元素
x
验证
p(x
)
成立
,
要判定其为假命题时
,
只需举出一个反例即可
.
(2)
特称命题
:
要判定一个特称命题为真命题
,
只要在限定集合
M
中至少能找到一个元素
x
0
,
使得
p(x
0
)
成立即可
;
否则
,
这一特称命题就是假命题
.
3.
常见词语及否定
词语
是
都是
至少
有一个
至多
有一个
大于
∀
x∈A
,
使
p(x
)
真
否定
不是
不都是
一个
也没有
至少
有两个
小于
或等于
∃
x
0
∈A,
使
p(x
0
)
假
【
题组过关
】
1.(2016
·
太原一模
)
命题
“
∀
x∈R
,
函数
y=
π
x
”
是增函数的否定是
(
)
A.
“
∀x∈R
,
函数
y=
π
x
0
”
是减函数
B.
“
∀x∈R
,
函数
y=
π
x
0
”
不是增函数
C.
“
∃x
0
∈R,
函数
y=
π
x
0
”
不是增函数
D.
“
∃x
0
∈R,
函数
y=
π
x
0
”
是减函数
【
解析
】
选
C.
因为全称命题的否定是特称命题
,
所以
,
命题“
∀
x
∈
R
,
函数
y=
π
x
”
是增函数的否定是
:
“
∃
x
0
∈
R,
函数
y=
π
x
0
”
不是增函数
.
2.(2016
·
广州一模
)
已知命题
p:∀x∈N
*
,
命题
q:∃x
0
∈R,
则下列命题中为真命
题的是
(
)
A.p∧q
B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q
)
D.(¬p)∧(¬q
)
【
解析
】
选
A.
由
得
x
≥
0,
故命题
p
为真命题
.
因为
所以
所以
所以
( )
2
=0,
所以
x
0
= ,
故命题
q
为真命题
.
所以
p∧q
为真命题
.
3.
下列说法中正确的是
(
)
A.
命题
“
若
x
2
=1,
则
x=1
”
的否命题为
:
“
若
x
2
=1,
则
x≠1
”
B.
已知
a>1,f(x)=
则
f(x
)<1
成立的充要条件为
-21,
所以
x
2
+2x<0,
所以
-20
”
的否定是
“
∀
x∈R
,
x
2
+x+2016<0
”
B.
命题
p:
函数
f(x
)=x
2
-2
x
仅有两个零点
,
则命题
p
是真
命题
C.
函数
f(x
)=
在其定义域上是减函数
D.
给定命题
p,q
,
若
“
p
且
q
”
是真命题
,
则
¬p
是假命题
【
解析
】
选
D.A
错误
,
正确应为
“
∀
x
∈
R,x
2
+x+2016
≤
0
”
;B
错误
,
作出
f(x
)=x
2
,f(x)=2
x
图象可知有三个
交点
;C
错误
,
函数
f(x
)=
在其定义域上不是减函数
;
D
正确
.
3.
已知下列命题
:
①
“
若
x
2
-x=0,
则
x=0
或
x=1
”
的逆否命题为
“
若
x≠0
且
x≠1,
则
x
2
-x≠0
”
;
②
“
x<1
”
是
“
x<3
”
的充分不必要条件
;
③
命题
p:
存在
x
0
∈R,
使得
sinx
0
<0,
则
¬p:
任意
x∈R
,
都有
sinx≥0;
④
若
p
且
q
为假命题
,
则
p,q
均为假命题
.
其中真命题个数为
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【
解析
】
选
C.
由题可知
,
①
正确
,
②
正确
;
特称命题的否定为全称命题
,
所以③显然正确
;
若
p
且
q
为假命题
,
则
p,q
至少有一个是假命题
,
所以④的推断不正确
.
热点考向三
充要条件的判断
命题解读
:
主要考查充要条件的判断、依据充要条件求参数
,
以选择题、填空题为主
.
【
典例
4】
(1)
若集合
A={x|x
2
-x-2<0},B={x|-2-2 B.a≤-2
C.a
>-1 D.a≥-1
(2)
设
a,b
都是不等于
1
的正数
,
则
“
3
a
>3
b
>3
”
是
“
log
a
33
b
>3,
看能否推出
log
a
33
b
>3.
【
规范解答
】
(1)
选
C.
由
x
2
-x-2<0
知
-1-1.
(2)
选
B.
由
3
a
>3
b
>3,
知
a>b>1,
所以
log
3
a>log
3
b>0,
所以
即
log
a
33
b
>3
”
是
“
log
a
3b>1,
所以
“
3
a
>3
b
>3
”
是
“
log
a
3
-1}
，
B={x|x≥1}
，则“
x∈A
且
x
∉
B
”
成立的充要条件
是
(
)
A.-1-1 D.-1-1}
，
B={x|x
≥
1}
，
又因为“
x∈A
且
x
∉
B
”
，所以
-10,
若
f(x
)=1,
则
x
2
-1=1,
则
x=
即若
f(f(a
))=1,
则
f(a
)=0
或
若
a>0,
则由
f(a
)=0
或 得
a
2
-1=0
或
a
2
-1= ,
即
a
2
=1
或
a
2
= +1,
解得
a=1
或
a=
若
a≤0,
则由
f(a
)=0
或 得
2a+1=0
或
2a+1= ,
即
a=
或
a= (
不合题意
,
舍去
),
此时充分性
不成立
,
即
“
f(f(a
))=1
“
是
“
a=1
”
的必要不充分条件
.
3.(2016
·
衡阳一模
)
“
x<1
”
是
“
lnx
<0
”
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解析
】
选
B.
因为由
lnx
<0
得
01,
则
a
2
>1
”
的否命题是
“
若
a>1,
则
a
2
≤1
”
B.{a
n
}
为等比数列
,
则
“
a
1
0,q>1
或
a
1
<0,04
x
,
所以选项
C
错误
;
显然选项
D
正确
.
