【数学】2020届北京一轮复习通用版11-1随机事件与古典概型作业

【数学】2020届北京一轮复习通用版11-1随机事件与古典概型作业

专题十一　概率与统计 ‎【真题典例】‎ ‎11.1　随机事件与古典概型 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.事件与概率 ‎1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别 ‎2.了解两个互斥事件的概率加法公式 ‎2016北京,16‎ 互斥事件的概率加法公式 抽样方法,相互独立事件的概率,平均数 ‎★★☆‎ ‎2.古典概型 ‎1.理解古典概型及其概率计算公式 ‎2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 ‎2018北京,17‎ 古典概型的应用 方差,二项分布 ‎★★★‎ ‎2012北京,17‎ 方差 分析解读　　本节在高考中单独命题时,通常以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属中低档题.随机事件,古典概型与随机变量的分布列,期望与方差等综合在一起考查时一般以解答题形式出现,分值约为13分,属中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　事件与概率 ‎1.(2018课标Ⅱ文,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为(　　)‎ A.0.6　　　　B.0.5　　　　C.0.4　　　　D.0.3‎ 答案　D　‎ ‎2.近年来共享单车在我国主要城市发展迅速.目前市场上有多种类型的共享单车,有关部门对其中三种品牌共享单车(M、Y、F)进行统计(统计对象年龄在15~55岁),相关数据如表1,表2所示.‎ 三种品牌共享单车使用人群年龄所占百分比(表1)‎ ‎　　　　　　品牌 年龄分组　　　　　‎ M Y F ‎[15,25)‎ ‎25%‎ ‎20%‎ ‎35%‎ ‎[25,35)‎ ‎50%‎ ‎55%‎ ‎25%‎ ‎[35,45)‎ ‎20%‎ ‎20%‎ ‎20%‎ ‎[45,55]‎ ‎5%‎ a%‎ ‎20%‎ ‎ 不同性别选择共享单车种类情况统计(表2)‎ 性别使用单车种类数(种)‎ 男 女 ‎1‎ ‎20%‎ ‎50%‎ ‎2‎ ‎35%‎ ‎40%‎ ‎3‎ ‎45%‎ ‎10%‎ ‎(1)根据表1估算出使用Y品牌共享单车人群的平均年龄;‎ ‎(2)若从统计对象中随机选取男女各一人,试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率;‎ ‎(3)有一个年龄在25~35岁之间的共享单车用户,他使用Y品牌共享单车出行的概率最大,使用F品牌共享单车出行的概率最小.试问此说法是否正确?(只需写出结论)‎ 解析　(1)a=5.‎ 由表1知使用Y品牌共享单车人群的平均年龄的估计值为 ‎20×20%+30×55%+40×20%+50×5%=31.‎ 答:使用Y品牌共享单车人群的平均年龄约为31岁.‎ ‎(2)设事件Ai为“男性选择i种共享单车”,i=1,2,3,‎ 设事件Bi为“女性选择i种共享单车”,i=1,2,3,‎ 设事件E为“男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数”.‎ 由题意知,E=A2B1∪A3B1∪A3B2,‎ 因此P(E)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=0.58.‎ 答:男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为0.58.‎ ‎(3)此说法不正确.‎ 思路分析　(1)先利用表格中的相关数据求出a,再利用均值公式得出结果;(2)把所求事件分解成几个互斥事件,利用互斥事件概率的加法公式求概率;(3)利用概率的定义判断正误.‎ 方法点拨　求随机事件的概率时,要抓住事件之间的关系,把所求事件进行分解,利用概率的加法公式和乘法公式求概率.‎ 考点二　古典概型 ‎3.(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是　(　　)‎ A.‎1‎‎12‎　　　　B.‎1‎‎14‎　　　　C.‎1‎‎15‎　　　　D.‎‎1‎‎18‎ 答案　C　‎ ‎4.某校高三年级共有学生195人,其中女生105人,男生90人.现采用按性别分层抽样的方法,从中抽取13人进行问卷调查.设其中某项问题的选择为“同意”“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.‎ 同意 不同意 合计 女学生 ‎4‎ 男学生 ‎2‎ ‎(1)完成上述统计表;‎ ‎(2)根据上表的数据估计高三年级学生对该项问题选择“同意”的人数;‎ ‎(3)从被抽取的女生中随机选取2人进行访谈,求选取的2名女生中至少有一人选择“同意”的概率.‎ 解析　(1)统计表如下:‎ 同意 不同意 合计 女学生 ‎4‎ ‎3‎ ‎7‎ 男学生 ‎4‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎(2)估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数为‎4‎‎7‎×105+‎4‎‎6‎×90=60+60=120.‎ ‎(3)设选择“同意”的4名女生分别为A1,A2,A3,A4,选择“不同意”的3名女生分别为B1,B2,B3.‎ 从7人中随机选出2人的情况有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2B3,A3A4,A3B1,A3B2,A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1B2,B1B3,B2B3,共21种.‎ 其中2人都选择“不同意”的情况有B1B2,B1B3,B2B3,共3种.‎ 设“2名女生中至少有一人选择‘同意’”为事件M,‎ 所以P(M)=1-‎3‎‎21‎=‎6‎‎7‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略 ‎1.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎　　　　B.‎2‎‎5‎　　　　C.‎3‎‎5‎　　　　D.‎‎4‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保　费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概　率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率;‎ ‎(2)若该续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ 解析　(1)设A表示事件:“该续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)‎ ‎(2)设B表示事件:“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.‎ 又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)‎P(A)‎=P(B)‎P(A)‎=‎0.15‎‎0.55‎=‎3‎‎11‎.‎ 因此所求概率为‎3‎‎11‎.(7分)‎ ‎(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为 X ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a P ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.‎ 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)‎ 易错警示　对条件概率的定义理解不到位,或者不会运用条件概率的求解公式,导致出错.‎ 评析本题考查了随机事件的概率,同时考查了考生的应用意识及数据处理能力,属中档题.‎ 方法2　古典概型的求解方法 ‎3.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎6‎ ‎4.(2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 ‎1.(2018北京,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立.‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;‎ ‎(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;‎ ‎(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.‎ 解析　(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.‎ 故所求概率是‎50‎‎2 000‎=0.025.‎ ‎(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,‎ 事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.‎ 故所求概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)‎ ‎=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).‎ 由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.‎ 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.‎ ‎(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.‎ ‎2.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):‎ A班 ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ B班 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C班 ‎3‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎7.5‎ ‎9‎ ‎10.5‎ ‎12‎ ‎13.5‎ ‎(1)试估计C班的学生人数;‎ ‎(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;‎ ‎(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)‎ 解析　(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×‎8‎‎20‎=40.‎ ‎(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,‎ 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”, j=1,2,…,8.‎ 由题意可知,P(Ai)=‎1‎‎5‎,i=1,2,…,5;P(Cj)=‎1‎‎8‎, j=1,2,…,8.‎ P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=‎1‎‎5‎×‎1‎‎8‎=‎1‎‎40‎,i=1,2,…,5, j=1,2,…,8.‎ 设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.‎ 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×‎1‎‎40‎=‎3‎‎8‎.‎ ‎(3)μ1<μ0.‎ 思路分析　(1)利用分层抽样的特征求出C班的学生人数;(2)先找出甲、乙所有可能的搭配方式,再找出符合条件的搭配方式,其实质是古典概型;(3)将从A,B,C三个班中抽取的样本数据分别与该班的平均数比较,进而作判断.‎ 评析本题考查抽样方法,互斥事件、相互独立事件的概率、平均数.属中档题.‎ ‎3.(2012北京,17,13分)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;‎ ‎(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.‎ 注:s2=‎1‎n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2],其中x为数据x1,x2,…,xn的平均数 解析　(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ‎“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量‎=‎400‎‎400+100+100‎=‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确.‎ 事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(A)约为‎400+240+60‎‎1 000‎=0.7,所以P(A)约为1-0.7=0.3.‎ ‎(3)当a=600,b=c=0时,s2取得最大值.‎ 因为x=‎1‎‎3‎(a+b+c)=200,‎ 所以s2=‎1‎‎3‎[(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80 000.‎ 评析本题以现代生活、绿色环保为背景,考查古典概型的概率及应用,进一步考查了运用数学建模思想将实际问题转化为概率问题的能力.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　事件与概率 ‎1.(2015湖北,2,5分)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)‎ A.134石　　　　B.169石　　　　C.338石　　　　D.1 365石 答案　B　‎ ‎2.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎8‎　　　　B.‎3‎‎8‎　　　　C.‎5‎‎8‎　　　　D.‎‎7‎‎8‎ 答案　D　‎ 考点二　古典概型 ‎1.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)‎ A.‎4‎‎5‎　　　　B.‎3‎‎5‎　　　　C.‎2‎‎5‎　　　　D.‎‎1‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017课标Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎10‎　　　　B.‎1‎‎5‎　　　　C.‎3‎‎10‎　　　　D.‎‎2‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎3.(2016课标Ⅲ文,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)‎ A.‎8‎‎15‎　　　　B.‎1‎‎8‎　　　　C.‎1‎‎15‎　　　　D.‎‎1‎‎30‎ 答案　C　‎ ‎4.(2015课标Ⅰ,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎10‎　　　　B.‎1‎‎5‎　　　　C.‎1‎‎10‎　　　　D.‎‎1‎‎20‎ 答案　C　‎ ‎5.(2016四川文,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎6‎ ‎6.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?‎ ‎(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.‎ ‎①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;‎ ‎②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.‎ 解析　(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.‎ ‎②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.‎ 所以,事件M发生的概率P(M)=‎5‎‎21‎.‎ 易错警示　解决古典概型问题时,需注意以下几点:‎ ‎(1)忽视基本事件的等可能性导致错误;‎ ‎(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;‎ ‎(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)‎ A.‎5‎‎18‎　　　　B.‎4‎‎9‎　　　　C.‎5‎‎9‎　　　　D.‎‎7‎‎9‎ 答案　C　‎ ‎2.(2015广东文,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　　)‎ A.0.4　　　　B.0.6　　　　C.0.8　　　　D.1‎ 答案　B　‎ ‎3.(2014江西文,3,5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于(　　)‎ A.‎1‎‎18‎　　　　B.‎1‎‎9‎　　　　C.‎1‎‎6‎　　　　D.‎‎1‎‎12‎ 答案　B　‎ ‎4.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎10‎ ‎5.(2013课标Ⅱ,14,5分)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为‎1‎‎14‎,则n=　　　　. ‎ 答案　8‎ ‎6.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ 解析　本题考查古典概型.‎ ‎(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,‎ 则所求事件的概率为P=‎3‎‎15‎=‎1‎‎5‎.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,‎ 则所求事件的概率为P=‎2‎‎9‎.‎ ‎7.(2015福建文,18,12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎[4,5)‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎[5,6)‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[6,7)‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎[7,8]‎ ‎3‎ ‎(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;‎ ‎(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.‎ 解析　(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.‎ 其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.‎ 所以所求的概率P=‎9‎‎10‎.‎ ‎(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 ‎4.5×‎2‎‎20‎+5.5×‎8‎‎20‎+6.5×‎7‎‎20‎+7.5×‎3‎‎20‎=6.05.‎ 评析本题主要考查古典概型、频数分布表、平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等.‎ ‎8.(2014四川文,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.‎ 解析　(1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,‎ 则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.‎ 所以P(A)=‎3‎‎27‎=‎1‎‎9‎.‎ 因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为‎1‎‎9‎.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,‎ 则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.‎ 所以P(B)=1-P(B)=1-‎3‎‎27‎=‎8‎‎9‎.‎ 因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为‎8‎‎9‎.‎ ‎9.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数‎123…n,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.‎ ‎(1)求p(100);‎ ‎(2)当n≤2 014时,求F(n)的表达式;‎ ‎(3)令g(n)为这个数中数字0的个数, f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.‎ 解析　(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=‎11‎‎192‎.‎ ‎(2)F(n)=‎n,　　　　1≤n≤9,‎‎2n-9,　　　　10≤n≤99,‎‎3n-108,　　　　100≤n≤999,‎‎4n-1 107,　　　　1 000≤n≤2 014.‎ ‎(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n)=0;‎ 当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k;‎ 当n=100时,g(n)=11,‎ 即g(n)=‎‎0,　1≤n≤9,‎k,　　　　n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N‎*‎,b∈N,‎‎11,　　　　n=100.‎ 同理有f(n)‎ ‎=‎‎0,　　　1≤n≤8,‎k,　　　　n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N‎*‎,b∈N,‎n-80,　　　　89≤n≤98,‎‎20,　　　　n=99,100.‎ 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.‎ 所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.‎ 当n=9时,p(9)=0;‎ 当n=90时,p(90)=g(90)‎F(90)‎=‎9‎‎171‎=‎1‎‎19‎;‎ 当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)=g(n)‎F(n)‎=k‎2n-9‎=k‎20k+9‎,由于y=k‎20k+9‎关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=‎8‎‎169‎.‎ 又‎8‎‎169‎<‎1‎‎19‎,所以当n∈S时,p(n)的最大值为‎1‎‎19‎.‎ 评析本题为概率、函数及数列的综合问题,难度较大,是道压轴题,同时考查学生的抽象概括能力及推理能力和创新意识.‎ ‎10.(2013湖南,18,12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.‎ ‎(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;‎ ‎(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.‎ 解析　(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C‎3‎‎1‎C‎12‎‎1‎=36种.选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.‎ 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为‎8‎‎36‎=‎2‎‎9‎.‎ ‎(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.‎ 因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),‎ P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4).‎ 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.‎ 记nk为其“相近”作物恰有k(k=1,2,3,4)株的作物株数,则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.‎ 由P(X=k)=nkN得P(X=1)=‎2‎‎15‎,P(X=2)=‎4‎‎15‎,P(X=3)=‎6‎‎15‎=‎2‎‎5‎,P(X=4)=‎3‎‎15‎=‎1‎‎5‎.‎ 故所求的分布列为 Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ P ‎2‎‎15‎ ‎4‎‎15‎ ‎2‎‎5‎ ‎1‎‎5‎ 所求的数学期望为 E(Y)=51×‎2‎‎15‎+48×‎4‎‎15‎+45×‎2‎‎5‎+42×‎1‎‎5‎=‎34+64+90+42‎‎5‎=46.‎ ‎11.(2013江西,18,12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.‎ ‎(1)写出数量积X的所有可能取值;‎ ‎(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.‎ 解析　(1)X的所有可能取值为-2,-1,0,1.‎ ‎(2)数量积为-2的有OA‎2‎·OA‎5‎,共1种;‎ 数量积为-1的有OA‎1‎·OA‎5‎,OA‎1‎·OA‎6‎,OA‎2‎·OA‎4‎,OA‎2‎·OA‎6‎,OA‎3‎·OA‎4‎,OA‎3‎·OA‎5‎,共6种;‎ 数量积为0的有OA‎1‎·OA‎3‎,OA‎1‎·OA‎4‎,OA‎3‎·OA‎6‎,OA‎4‎·OA‎6‎,共4种;‎ 数量积为1的有OA‎1‎·OA‎2‎,OA‎2‎·OA‎3‎,OA‎4‎·OA‎5‎,OA‎5‎·OA‎6‎,共4种.‎ 故所有可能的情况有15种.‎ 所以小波去下棋的概率为P1=‎7‎‎15‎;‎ 因为去唱歌的概率为P2=‎4‎‎15‎,所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-‎4‎‎15‎=‎11‎‎15‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.(2018北京海淀期末,6)从编号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎　　　　B.‎2‎‎5‎　　　　C.‎3‎‎5‎　　　　D.‎‎4‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017北京东城一模,8)甲抛掷均匀硬币2 017次,乙抛掷均匀硬币2 016次,下列四个随机事件的概率是‎1‎‎2‎的是(　　)‎ ‎①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多.‎ ‎②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少.‎ ‎③甲抛出正面次数比甲抛出反面次数多.‎ ‎④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多.‎ A.①②　　　　B.①③　　　　C.②③　　　　D.②④‎ 答案　B　‎ 二、解答题(共60分)‎ ‎3.(2018北京一七一中学期中,16)袋子里有完全相同的3个红球和4个黑球,从袋子里随机取球.‎ ‎(1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球和1个黑球的概率;‎ ‎(2)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出一个红球得2分,取出一个黑球得1分,求得分ξ的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)从袋子里有放回地取3次,相当于做了3次独立重复试验,每次试验取出红球的概率为‎3‎‎7‎,取出黑球的概率为‎4‎‎7‎,设事件A=“取出2个红球和1个黑球”,‎ 则P(A)=C‎3‎‎2‎‎3‎‎7‎‎2‎×‎4‎‎7‎=3×‎9‎‎49‎×‎4‎‎7‎=‎108‎‎343‎.‎ ‎(2)ξ的可能取值为3,4,5,6.‎ P(ξ=3)=C‎3‎‎0‎C‎4‎‎3‎C‎7‎‎3‎=‎4‎‎35‎,P(ξ=4)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎2‎C‎7‎‎3‎=‎18‎‎35‎,‎ P(ξ=5)=C‎3‎‎2‎C‎4‎‎1‎C‎7‎‎3‎=‎12‎‎35‎,P(ξ=6)=C‎3‎‎3‎C‎4‎‎0‎C‎7‎‎3‎=‎1‎‎35‎.‎ ξ的分布列为 ξ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎4‎‎35‎ ‎18‎‎35‎ ‎12‎‎35‎ ‎1‎‎35‎ 数学期望Eξ=3×‎4‎‎35‎+4×‎18‎‎35‎+5×‎12‎‎35‎+6×‎1‎‎35‎=‎30‎‎7‎.‎ ‎4.(2018北京海淀二模,16)某中学为了解高二年级学生中华传统文化经典阅读的整体情况,从高二年级学生中随机抽取10名学生进行了两轮测试,并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下:‎ ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 ‎6号 ‎7号 ‎8号 ‎9号 ‎10号 第一轮 测试成绩 ‎96‎ ‎89‎ ‎88‎ ‎88‎ ‎92‎ ‎90‎ ‎87‎ ‎90‎ ‎92‎ ‎90‎ 第二轮 测试成绩 ‎90‎ ‎90‎ ‎90‎ ‎88‎ ‎88‎ ‎87‎ ‎96‎ ‎92‎ ‎89‎ ‎92‎ ‎(1)从该校高二年级学生中随机选取一名学生,试估计这名学生的考核成绩大于或等于90分的概率;‎ ‎(2)从考核成绩大于或等于90分的学生中再随机抽取两名学生,求这两名学生两轮测试成绩均大于或等于90分的概率;‎ ‎(3)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为x‎1‎,s‎1‎‎2‎,第二轮测试成绩的平均数和方差分别为x‎2‎,s‎2‎‎2‎,试比较x‎1‎与x‎2‎,s‎1‎‎2‎与s‎2‎‎2‎的大小.(只需写出结论)‎ 解析　(1)这10名学生的考核成绩(单位:分)分别为 ‎93,89.5,89,88,90,88.5,91.5,91,90.5,91,‎ 其中大于或等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号,共6人.‎ 故从该校高二年级学生中随机选取一名学生,这名学生的考核成绩大于或等于90分的概率约为‎6‎‎10‎=0.6.‎ ‎(2)设事件A:从考核成绩大于或等于90分的学生中再随机抽取两名学生,这两名学生两轮测试成绩均大于或等于90分.‎ 由(1)知,考核成绩大于或等于90分的学生共6人,其中两轮测试成绩均大于或等于90分的学生有1号、8号、10号,共3人.‎ 所以P(A)=C‎3‎‎2‎C‎6‎‎2‎=‎1‎‎5‎.‎ ‎(3)x‎1‎=x‎2‎,s‎1‎‎2‎=s‎2‎‎2‎.‎ ‎5.(2018北京通州期中,18)2016年微信用户数量统计显示,微信注册用户数量已经突破9.27亿.微信用户平均年龄只有26岁,97.7%的用户在50岁以下,86.2%的用户在18~36岁之间,为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量,现在从北京市的大学生中随机抽取100位进行了抽样调查,结果如下:‎ 微信群数量 频数 频率 ‎0至5个 ‎0‎ ‎0‎ ‎6至10个 ‎30‎ ‎0.3‎ ‎11至15个 ‎30‎ ‎0.3‎ ‎16至20个 a c ‎20个以上 ‎5‎ b 合计 ‎100‎ ‎1‎ ‎(1)求a,b,c的值;‎ ‎(2)若从100位同学中随机抽取2人,求这2人中恰有1人微信群个数超过15的概率;‎ ‎(3)以这100个人的样本数据估计北京市大学生的总体数据,且以频率估计概率,若从全市大学生中随机抽取3人,记X表示抽到的是微信群个数超过15的人数,求X的分布列和数学期望EX.‎ 解析　(1)由已知得0+30+30+a+5=100,解得a=35.‎ b=‎5‎‎100‎=‎1‎‎20‎,c=‎35‎‎100‎=‎7‎‎20‎.‎ ‎(2)记“2人中恰有1人微信群个数超过15”为事件A,‎ 则P(A)=C‎40‎‎1‎C‎60‎‎1‎C‎100‎‎2‎=‎16‎‎33‎.‎ 所以2人中恰有1人微信群个数超过15的概率为‎16‎‎33‎.‎ ‎(3)依题意可知,微信群个数超过15的概率为‎2‎‎5‎.‎ X的所有可能的取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=C‎3‎‎0‎·‎2‎‎5‎‎0‎‎1-‎‎2‎‎5‎‎3‎=‎27‎‎125‎,‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎·‎2‎‎5‎‎1‎·‎1-‎‎2‎‎5‎‎2‎=‎54‎‎125‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎·‎2‎‎5‎‎2‎·‎1-‎‎2‎‎5‎‎1‎=‎36‎‎125‎,‎ P(X=3)=C‎3‎‎3‎·‎2‎‎5‎‎3‎·‎1-‎‎2‎‎5‎‎0‎=‎8‎‎125‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎27‎‎125‎ ‎54‎‎125‎ ‎36‎‎125‎ ‎8‎‎125‎ 数学期望EX=0×‎27‎‎125‎+1×‎54‎‎125‎+2×‎36‎‎125‎+3×‎8‎‎125‎=‎6‎‎5‎.‎ 思路分析　(1)由表格中数据可求a,b,c的值.(2)记“2人中恰有1人微信群个数超过15”为事件A,利用等可能事件的概率计算公式能求出P(A).(3)从全市大学生中抽3人相当于做3次独立重复试验.‎ ‎6.(2019届北京十四中10月月考,16)某中学每年暑假都会举行“学科思维讲座”活动,每场讲座结束时,所有听讲者都要填写一份问卷调查.2018年暑假某一天五场讲座收到的问卷份数情况如下表:‎ 学科 语文 数学 英语 理综 文综 问卷份数 ‎500‎ ‎600‎ ‎500‎ ‎1 000‎ ‎400‎ 用分层抽样的方法从这一天的所有问卷中抽取300份进行统计,结果如下表:‎ 满意 一般 不满意 语文 ‎70%‎ ‎28%‎ ‎2%‎ 数学 ‎80%‎ ‎15%‎ ‎5%‎ 英语 ‎72%‎ ‎26%‎ ‎2%‎ 理综 ‎65%‎ ‎32%‎ ‎3%‎ 文综 ‎80%‎ ‎15%‎ ‎5%‎ ‎(1)估计这次讲座活动的总体满意率;‎ ‎(2)求听数学讲座的学生甲的调查问卷被选中的概率;‎ ‎(3)若想从调查问卷被选中且填写不满意的人中随机选出5人进行家访,求这5人中选择的是理综讲座的人数的分布列.‎ 解析　(1)由题意,5个学科抽取的问卷份数分别为50、60、50、100、40.用样本满意率估计总体满意率,‎ 得‎0.70×50+0.80×60+0.72×50+0.65×100+0.80×40‎‎300‎×100%=72%.‎ ‎(2)甲的调查问卷被选中的概率为P=‎60‎‎600‎=‎1‎‎10‎.‎ ‎(3)不满意的问卷分别是语文1份、数学3份、英语1份、理综3份、文综2份,共10份,被选出进行家访的5人中选择的是理综讲座的人数ξ的取值为0,1,2,3,‎ P(ξ=0)=C‎7‎‎5‎C‎10‎‎5‎=‎1‎‎12‎;P(ξ=1)=C‎7‎‎4‎C‎3‎‎1‎C‎10‎‎5‎=‎5‎‎12‎;P(ξ=2)=C‎7‎‎3‎C‎3‎‎2‎C‎10‎‎5‎=‎5‎‎12‎;P(ξ=3)=C‎7‎‎2‎C‎3‎‎3‎C‎10‎‎5‎=‎1‎‎12‎.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎12‎ ‎5‎‎12‎ ‎5‎‎12‎ ‎1‎‎12‎ ‎7.(2017北京西城一模文,17)在测试中,客观题难度的计算公式为Pi=RiN,其中Pi为第i题的难度,Ri为答对该题的人数,N为参加测试的总人数.‎ 现对某校高三年级120名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如下表所示:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考前预估难度Pi ‎0.9‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ 测试后,从中随机抽取了10名学生,将他们编号后统计各题的作答情况,如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错):‎ ‎　　　　　题号 学生编号　　　　‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎✕‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎✕‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎✕‎ ‎4‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎✕‎ ‎✕‎ ‎5‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎6‎ ‎√‎ ‎✕‎ ‎✕‎ ‎√‎ ‎✕‎ ‎7‎ ‎✕‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎✕‎ ‎8‎ ‎√‎ ‎✕‎ ‎✕‎ ‎✕‎ ‎✕‎ ‎9‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎✕‎ ‎✕‎ ‎✕‎ ‎10‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎✕‎ ‎(1)根据题中数据,将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表,并估计这120名学生中第5题的实测答对人数;‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 实测难度 ‎(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人,求恰好有1人答对第5题的概率;‎ ‎(3)定义统计量S=‎1‎n[(P1'-P1)2+(P2'-P2)2+…+(Pn'-Pn)2],其中Pi'为第i题的实测难度,Pi为第i题的预估难度(i=1,2,…,n).规定:若S<0.05,则称该次测试的难度预估合理,否则不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.‎ 解析　(1)每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎2‎ 实测难度 ‎0.8‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.7‎ ‎0.2‎ 所以,估计120人中有120×0.2=24人答对第5题.‎ ‎(2)记编号为i的学生为Ai(i=1,2,3,4,5),‎ 从这5人中随机抽取2人,不同的抽取方法为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5),(A4,A5),共10种.‎ 其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A5),(A3,A5),(A4,A5),共6种.‎ 所以,从编号为1到5的5人中随机抽取2人,恰好有1人答对第5题的概率P=‎6‎‎10‎=‎3‎‎5‎.‎ ‎(3)合理.S=‎1‎‎5‎×[(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2]=0.012.‎ 因为S=0.012<0.05,所以,该次测试的难度预估合理.‎ 思路分析　(1)根据表格分别计算5道题答对的人数和实测难度即可;‎ ‎(2)记编号为i的学生为Ai(i=1,2,3,4,5),从5人中随机抽取2人共有10种情况,再列举恰有1人答对第5题的情况,由古典概型概率的计算公式可求.‎ ‎(3)根据定义的统计量S的计算公式计算并判断即可.‎ 解后反思　本题考查了阅读、识表、提取、分析、处理数据的能力.‎