陕西省榆林市第二中学2020届高三上学期11月月考数学（文）试题

陕西省榆林市第二中学2020届高三上学期11月月考数学（文）试题

‎ 榆林市第二中学2019--2020学年第一学期高三年级第四次模拟考试文科数学试题 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)‎ ‎1.设复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】∵(1＋i)z＝2i，‎ ‎∴z＝＝=1＋i.‎ ‎∴|z|＝＝.‎ 故答案：C ‎【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．‎ ‎2.设集合，集合，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，再根据补集和交集的定义可得出集合.‎ 详解】，，‎ 又，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合补集与交集的混合运算，解题的关键就是解出题中涉及的集合，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知等差数列中，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质得出，然后利用等差数列的前项和公式可计算出的值.‎ ‎【详解】由等差数列的性质可得，‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本性质和等差数列求和公式的应用，灵活利用等差数列下标和的性质进行计算，可简化计算，同时也可以利用首项和公差列方程组来求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知数列的前项和为，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由可求出的值，再令，由得出，两式相减可得出数列为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出的值.‎ ‎【详解】当时，，即，解得；‎ 当时，由，得，两式相减得，得 ‎.‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用来求通项，一般利用公式，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎5.已知a∈R，则“a＜‎1”‎是“”（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据a＜1，不一定能得到（如a=-1时）；但当，一定能推出a＜1，从而得到答案．‎ ‎【详解】解：由a＜1，不一定能得到（如a=-1时）；‎ 但当时，有0＜a＜1，从而一定能推出a＜1，‎ 则“a＜‎1”‎是“”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．‎ ‎6.已知，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】.‎ 所以选A.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.‎ ‎7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. 96‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由几何体的三视图可知，几何体为边长为四的正方体，挖去一个底面半径为，高为的圆锥所得的组合体，其表面及是正方体的表面面积减去圆锥底面积，加上圆锥侧面积，，故选C.‎ 考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.‎ ‎8.在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用余弦定理可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】∵，，‎ 又∵由余弦定理可得：，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题．‎ ‎9.函数的图象的大致形状是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 就分类讨论，利用指数函数的单调性可得正确的选项.‎ ‎【详解】当时，，当时，，‎ 因，所以为上的增函数，为上的减函数，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的图像和性质，属于容易题.‎ ‎10.函数，，的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）　　‎ A. 向左平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向右平移 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数最值求出，将点代入函数的解析式求出，再将点代入该函数的解析式求出，得出，并利用诱导公式化为 ‎，再利用函数的图象变化规律得出结论。‎ ‎【详解】由函数，，的部分图象，‎ 可得，由，可得，，，‎ ‎，‎ 故可将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式、以及三角函数图象变换，求图象求三角函数 的解析式的步骤如下：‎ ‎（1）求、：，；‎ ‎（2）求：（其中为函数的最小正周期）；‎ ‎（3）求初相：代特殊点（最高点、最低点或对称中心点）求。‎ ‎11.若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】函数的导数为，‎ 令，则或，‎ 上单调递减，上单调递增，‎ 所以0或是函数y的极值点，‎ 函数的极值为：，‎ 函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.‎ ‎12.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，，则的解集为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于函数为奇函数，并且在上有定义，利用求出的值.然后解这个不等式，求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于函数为奇函数，并且在上有定义，故，解得，故当时，，这是一个增函数，且，所以，故，注意到，故.根据奇函数图像关于原点对称可知，当时，，.综上所述，.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)‎ ‎13.已知向量，若向量与垂直，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 利用平面向量的加法公式可得：，‎ 由平面向量垂直的充要条件可得：，‎ 解方程可得：.‎ ‎14.已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.‎ ‎【详解】实数是与的等比中项，‎ ‎，解得．‎ 则，当且仅当时，即时取等号．‎ 故答案为:．‎ ‎【点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.‎ ‎15.在中，角所对的边分别为，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由正弦定理及可得，又，‎ 所以，即,‎ 由余弦定理可得，‎ 则，应填答案 ‎16.正的三个顶点都在球O的球面上，，若三棱锥的体积为2，则该球的表面积为______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题可知是截面小圆的直径，所以截面小圆的半径,又,所以 三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)‎ ‎17.已知公差不为零等差数列{an}满足：，且是与的等比中项． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn .‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和.‎ 试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d， ‎ ‎∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项， ‎ ‎∴，解得a1=1，d=2， ‎ ‎∴an=1+2（n-1）=2n-1． ‎ ‎（2）bn==（）， ‎ ‎∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=（1-+-+…+）=（1-）=．‎ 点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎18.在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，利用中位线的性质得出 ‎，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）由正方形的基本性质得出，由平面得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明出平面，由此可得出；‎ ‎（3）取的中点，利用中位线的性质结合平面得出平面，计算出和的面积，然后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】（1）连接，如下图：‎ 由四边形是正方形可知，点为的中点，‎ 又为的中点，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）由底面，底面，，‎ 四边形是正方形可知，.‎ 又，、平面，平面.‎ 又平面，；‎ ‎（3）取中，连接，在四棱锥中，底面，‎ 是的中位线，，底面.‎ ‎，.‎ 因此，三棱锥的体积．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行、异面直线垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎19.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．‎ 试题解析：（1）函数 由，解得 时，，可得的增区间为 ‎（2）设△ABC为锐角三角形，‎ 角A所对边，角B所对边b=5，‎ 若，即有 解得，即 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 化为c2﹣‎5c+6=0，‎ 解得c=2或3，‎ 若c=2，则 即有B为钝角，c=2不成立，‎ 则c=3，‎ ‎△ABC的面积为 ‎ ‎20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn-n=2（an-2），（n∈N*）‎ ‎（1）证明：数列{an-1}为等比数列．‎ ‎（2）若bn=an•log2（an-1），数列{bn}的前项和为Tn，求Tn．‎ ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明数列是等比数列常用的方法是作商法：当时，证=定值.‎ 考查分组求和，其中又包含错位相减法及等差数列求和公式法 ‎【详解】（1）证明：∵Sn-n=2（an-2），n≥2时，Sn-1-（n-1）=2（an-1-2），‎ 两式相减 an-1=2an-2an-1 ，∴an=2an-1，​∴an-1=2（an-1-1），‎ ‎∴（常数），‎ 又n=1时，a1-1=2（a1-2）得 a1=3，a1-1=2 ，‎ 所以数列{an-1}是以2为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1） ，∴ ，‎ 又  bn=an•log2（an-1），∴，‎ ‎∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1×2+2×22+3×23+…+n×2n）+（1+2+3+…+n），‎ 设，‎ ‎，‎ 两式相减，‎ ‎∴，又 ，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】（1）证明数列是等比数列可以利用作商或者等比中项法；同理证明数列是等差数列一般用做差或者等差中项法（2）错位相减法运算一定要仔细.‎ ‎21.已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，，，，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.‎ ‎（1），.‎ 由题意知. ‎ ‎（2）由（1）知：，‎ ‎∴对任意恒成立 对任意恒成立 对任意恒成立. ‎ 令，则.‎ 由于，所以在上单调递增. ‎ 又，，，，‎ 所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增.‎ 所以.‎ 又，即，∴.‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ，∴ . ‎ 又因为对任意恒成立，‎ 又，∴ . ‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长. ‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆C的普通方程为，又，‎ 所以圆C的极坐标方程为.‎ ‎（2）设，则由解得，，得；‎ 设，则由解得，，得；‎ 所以 ‎【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.‎ ‎23.已知，，，函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为时，求的值，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入不等式，得出，然后分、、三种情况解不等式，可得出该不等式的解集；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式可得出，然后将代数式与相乘，利用柯西不等式可得出的最小值.‎ ‎【详解】（1）当时,不等式即，化为．‎ 当时，化为：，解得；‎ 当时，化为：，化为：，解得；‎ 当时，化为：，解得．‎ 综上可得：不等式的解集为：；‎ ‎（2）由绝对值三角不等式得，‎ 由柯西不等式得，‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 因此，的最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值三角不等式求绝对值函数的最值，以及利用柯西不等式求代数式的最值，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法和几何法来求解，考查分类讨论思想，属于中等题.‎ ‎ ‎