2019届二轮复习函数与方程思想、数形结合思想课件（83张）（全国通用）

2019届二轮复习函数与方程思想、数形结合思想课件（83张）（全国通用）

第四篇 　渗透数学思想 ， 提升学科素养 数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界 . 数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现 . 二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用 . ( 一 ) 函数与方程思想、数形结合思想 函数与方程思想 栏目索引 数形结合思想 数学 素养专练 一、函数与方程思想在不等式中的应用 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题 . 一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解 . 函数与方程思想 1. 若 0< x 1 < x 2 <1 ，则 x 2 和 x 1 的 大小关系为 ___________. 答案 解析 x 2 > x 1 又 0< x <1 ， ∴ g ′ ( x )<0 ， ∴ 函数 g ( x ) 在 (0,1) 上是减函数 . 又 0< x 1 < x 2 <1 ， ∴ g ( x 1 )> g ( x 2 ) ， ∴ x 2 > x 1 . 答案 解析 2.(2018· 宿州调研 ) 已知定义在 R 上的偶函数满足 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 4 x ( x ≥ 0) ，若 f (1 － 2 m ) ≥ f ( m ) ，则实数 m 的取值范围是 _________________ _ ____. 解析　 由题意可知，定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 4 x ( x ≥ 0) ， 因为 y ＝ x 3 ， y ＝ 4 x 在 x ≥ 0 时都是单调递增的函数， 故函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 4 x 在 x ≥ 0 时为增函数， 又函数 f ( x ) 为偶函数，故图象关于 y 轴对称， 所以 f (1 － 2 m ) ≥ f ( m ) ，只需 |1 － 2 m | ≥ | m | ， 答案 解析 ( － ∞ ， 0) 解析　 ∵ 函数 g ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 2 对称， ∴ g (0) ＝ g (4) ＝ 1. 又 g ′ ( x ) － g ( x )<0 ， ∴ f ′ ( x )<0 ， ∴ f ( x ) 在 R 上单调递减 . 4. 若 x ∈ [ － 2,1 ] 时，不等式 ax 3 － x 2 ＋ 4 x ＋ 3 ≥ 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ___________ _ . [ － 6 ，－ 2 ] 答案 解析 故 f ( x ) 在 [ － 2 ，－ 1] 上单调递减，在 ( － 1,0) 上单调递增， 当 x ＝ 0 时，不等式恒成立 . 则 f ( x ) 在 (0,1] 上单调递增， 综上， 实数 a 的取值范围是 [ － 6 ，－ 2 ]. 二、函数与方程思想在数列中的应用 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程 ( 组 ) 来解决 . 5. 已知 { a n } 是等差数列， a 10 ＝ 10 ，其前 10 项和 S 10 ＝ 70 ，则其公差 d ＝ ________. 解析　 设等差数列的首项为 a 1 ，公差为 d ， 答案 解析 答案 解析 6. 在等差数列 { a n } 中，若 a 1 <0 ， S n 为其前 n 项和，且 S 7 ＝ S 17 ，则 S n 取最小值时 n 的值为 ________. 解析　 由已知得 ，等差数列 { a n } 的公差 d >0, 设 S n ＝ f ( n ) ，则 f ( n ) 为二次函数， 又由 f (7) ＝ f (17) 知， f ( n ) 的图象开口向上 ， 关于 直线 n ＝ 12 对称， 故 S n 取最小值时 n 的值为 12 . 12 7.(2018· 江苏海安高级中学月考 ) 已知等比数列 { a n } 的公比 q >1 ，其前 n 项和为 S n ，若 S 4 ＝ 2 S 2 ＋ 1 ，则 S 6 的最小值为 ________. 答案 解析 8. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 S 4 ＝－ 2 ， S 5 ＝ 0 ， S 6 ＝ 3 ， 则 nS n 的最小值为 ____. 又 ∵ n 是正整数，当 n ＝ 3 时， nS n ＝－ 9 ，当 n ＝ 4 时， nS n ＝－ 8 ， 故当 n ＝ 3 时， nS n 取得最小值－ 9 . － 9 答案 解析 三、函数与方程思想在解析几何中的应用 解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程 ( 组 ) 的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答 . 答案 解析 4 解析　 不妨设抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，圆的方程设为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ( r >0) ，如图， 联立 ①②③ ，解得 p ＝ 4 ， 即 C 的焦点到准线的距离为 p ＝ 4. 答案 解析 解析　 因为 ∠ PAQ ＝ 60° ， AP ＝ AQ ， 所以 AP ＝ AQ ＝ PQ ，设 AQ ＝ 2 R ， 即 a 2 b 2 ＝ 3 R 2 ( a 2 ＋ b 2 ) ， 在 △ OQA 中，由余弦定理得， OA 2 ＝ OQ 2 ＋ QA 2 － 2 OQ · QA cos 60° 所以双曲线 C 的离心率为 答案 解析 直线 AB ， EF 的方程分别为 x ＋ 2 y ＝ 2 ， y ＝ kx ( k >0 ). 如 图，设 D ( x 0 ， kx 0 ) ， E ( x 1 ， kx 1 ) ， F ( x 2 ， kx 2 ) ， 其中 x 1 < x 2 ，且 x 1 ， x 2 满足方程 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＝ 4 ， 由点 D 在 AB 上知 x 0 ＋ 2 kx 0 ＝ 2 ， 化简得 24 k 2 － 25 k ＋ 6 ＝ 0 ， 12. 已知直线 l ： y ＝ k ( x ＋ 1) 与抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 交于不同的两点 A ， B ， 且 以 AB 为直径的圆过抛物线 C 的焦点 F ，则 k ＝ __ _ _______. 答案 解析 解析　 点 F 的坐标为 (1,0) ，设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 y 1 ＝ k ( x 1 ＋ 1) ， y 2 ＝ k ( x 2 ＋ 1) ， 当 k ＝ 0 时， l 与 C 只有一个交点，不合题意，因此 k ≠ 0. 将 y ＝ k ( x ＋ 1) 代入 y 2 ＝ 4 x ， 消去 y ，得 k 2 x 2 ＋ 2( k 2 － 2) x ＋ k 2 ＝ 0 ， ① 依题意知， x 1 ， x 2 是 ① 的不相等的两个实根， 由以 AB 为直径的圆过 F ，得 AF ⊥ BF ， 即 k AF · k BF ＝－ 1 ， 所以 x 1 x 2 ＋ k 2 ( x 1 ＋ 1)( x 2 ＋ 1) － ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1 ＝ 0 ， 所以 (1 ＋ k 2 ) x 1 x 2 ＋ ( k 2 － 1)( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1 ＋ k 2 ＝ 0 ， ③ 数形结合思想 一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用 讨论方程的解 ( 或函数零点 ) 的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数 . 构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数 . 由图可知只有一个交点，所以有一个零点 . 答案 解析 1 答案 解析 解析　 x ＝ 0 是方程的一个实数解； 则两函数图象有三个非零交点 . 答案 解析 － 7 解析　 因为函数 f ( x ) 为偶函数 ， 所以 f ( － x － 1) ＝ f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) ， 所以 函数 f ( x ) 的周期为 2. 又当 x ∈ [ － 1,0 ] 时， f ( x ) ＝－ x 3 ， 由此 在同一平面直角坐标系内作出函数 y 1 ＝ f ( x ) 与 y 2 ＝ |cos π x | 的图象如图所示 . 不妨设 x 1 < x 2 < x 3 < x 4 < x 5 < x 6 < x 7 ， 则由图得 x 1 ＋ x 2 ＝－ 4 ， x 3 ＋ x 5 ＝－ 2 ， x 4 ＝－ 1 ， x 6 ＋ x 7 ＝ 0 ， 答案 解析 (0,1) 解析　 当 x ＝ 0 时， x log 2 ( x ＋ 1) － mx ＝ 0 ， 所以 x ＝ 0 是方程的一个根； 当－ 1< x <1 且 x ≠ 0 时，令 x log 2 ( x ＋ 1) ＝ mx ， 则 m ＝ log 2 ( x ＋ 1) ， 所以满足 y ＝ m 和 y ＝ g ( x ) 的图象有两个交点的 m 的取值范围为 0< m <1 ， 因为 x ＝ 0 是方程 f ( x ) － mx ＝ 0 的一个根， 所以方程 f ( x ) ＝ mx 有 3 个根的 m 的取值范围为 0< m <1. 二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用 构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式 . 答案 解析 ( － ∞ ， 0) f ( x ＋ 1) ＜ f (2 x ) 即为 2 － ( x ＋ 1) ＜ 2 － 2 x ，即－ ( x ＋ 1) ＜－ 2 x ，解得 x ＜ 1. 因此不等式的解集为 ( － ∞ ，－ 1]. 因此不等式的解集为 ( － 1,0). 综上，不等式 f ( x ＋ 1) ＜ f (2 x ) 的解集为 ( － ∞ ， 0). ∴ 函数 f ( x ) 的图象如图所示 . 由图可知，当 x ＋ 1 ≤ 0 且 2 x ≤ 0 时，函数 f ( x ) 为减函数 ， 故 f ( x ＋ 1) ＜ f (2 x ) 转化为 x ＋ 1 ＞ 2 x . 此时 x ≤ － 1 . 当 2 x ＜ 0 且 x ＋ 1 ＞ 0 时， f (2 x ) ＞ 1 ， f ( x ＋ 1) ＝ 1 ， 满足 f ( x ＋ 1) ＜ f (2 x ). 此时－ 1 ＜ x ＜ 0. 综上，不等式 f ( x ＋ 1) ＜ f (2 x ) 的解集为 ( － ∞ ，－ 1] ∪ ( － 1,0) ＝ ( － ∞ ， 0). 6. 设 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1} ， B ＝ {( x ， y )| x ＋ y ＋ m ≥ 0} ，则使 A ⊆ B 成立的实数 m 的取值范围是 ____________ _ ___. 解析　 集合 A 是圆 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 上的点的集合 ， 集合 B 是不等式 x ＋ y ＋ m ≥ 0 表示的平面区域内的点的集合 ， 要 使 A ⊆ B ，则应使圆被平面区域所包含 ( 如图 ) ， 即 直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 应与圆相切或相离 ( 在圆的左下方 ) ， 答案 解析 答案 解析 依题意得 2 a ≤ 2 － 2 a ， 解析　 根据题意知 f ( x ) 是一个分段函数， 当 x ≥ 1 时，是一个开口向下的二次函数， 对称轴方程为 x ＝ a ； 当 x <1 时，是一个一次函数 . 当 a >1 时，如图 (1) 所示，符合题意； 当 0 ≤ a ≤ 1 时，如图 (2) 所示，符合题意； 当 a <0 时，如图 (3) 所示，此时函数在 R 上单调递减，不满足题意 . 综上所述，可得 a ≥ 0. [0 ，＋ ∞ ) 答案 解析 三、数形结合思想在解析几何中的应用 在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有： ① 比值 —— 可考虑直线的斜率； ② 二元一次式 —— 可考虑直线的截距； ③ 根式分式 —— 可考虑点到直线的距离； ④ 根式 —— 可考虑两点间的距离 . 9. 已知圆 C ： ( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 1 和两点 A ( － m ,0) ， B ( m ,0)( m >0). 若圆 C 上存在点 P ，使得 ∠ APB ＝ 90° ， 则 m 的最大值为 ________. 答案 解析 6 解析　 根据题意，画出示意图，如图所示， 则圆心 C 的坐标为 (3,4) ，半径 r ＝ 1 ，且 AB ＝ 2 m ， 因为 ∠ APB ＝ 90° ，连结 OP ， 要求 m 的最大值 ， 即 求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离 . 因为 OC ＝ 5 ，所以 ( OP ) max ＝ OC ＋ r ＝ 6 ，即 m 的最大值为 6. 答案 解析 解析　 如图所示，设以 A 1 A 2 为直径的圆与直线 PF 2 的切点为 Q ，连结 OQ ， 则 OQ ⊥ PF 2 . 又 PF 1 ⊥ PF 2 ， O 为 F 1 F 2 的中点， 所以 PF 1 ＝ 2 OQ ＝ 2 a . 又 PF 2 － PF 1 ＝ 2 a ， 所以 PF 2 ＝ 4 a . 在 Rt △ F 1 PF 2 中 ， 11. 已知抛物线的方程为 x 2 ＝ 8 y ， F 是其焦点，点 A ( － 2,4) ，在此抛物线 上 求 一点 P ，使 △ APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为 ___ _ ______. 答案 解析 解析　 因为 ( － 2) 2 <8 × 4 ，所以点 A ( － 2,4) 在抛物线 x 2 ＝ 8 y 的内部， 如图，设抛物线的准线为 l ， 过点 P 作 PQ ⊥ l 于点 Q ，过点 A 作 AB ⊥ l 于点 B ， 连结 AQ ， 由抛物线的定义可知 ， △ APF 的周长 为 PF ＋ PA ＋ AF ＝ PQ ＋ PA ＋ AF ≥ AQ ＋ AF ≥ AB ＋ AF ， 当且仅当 P ， B ， A 三点共线时， △ APF 的周长取得最小值，即 AB ＋ AF . 因为 A ( － 2,4) ，所以不妨设 △ APF 的周长最小时，点 P 的坐标为 ( － 2 ， y 0 ) ， 12. 已知 P 是直线 l ： 3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 上的动点， PA ， PB 是圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的两条切线， A ， B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 ________. 答案 解析 解析　 连结 PC ，由题意知圆的圆心 C (1,1) ，半径为 1 ，从运动的观点看问题， 当动点 P 沿直线 3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 向左上方或右下方无穷远处运动时， 从而 S 四边形 PACB 也越来越大 ； 当 点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时， S 四边形 PACB 变小 ， 显然 ，当点 P 到达一个最特殊的位置 ， 即 CP 垂直于直线 l 时， S 四边形 PACB 有唯一的最小值， 数学素养专练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 因为 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，所以 T ＝ 4 ， 又 f ( x ) 为奇函数，所以 f ( x ＋ 1) ＝－ f ( x － 1) ＝ f (1 － x ) ， 即 f ( x ) 图象关于 x ＝ 1 对称 . 2. 分别在曲线 y ＝ 2ln x 与直线 y ＝ 2 x ＋ 3 上各取一点 M ， N ，则 MN 的最小值为 ________. 解析　 设直线 y ＝ 2 x ＋ t 与曲线 y ＝ 2ln x 相切于点 Q ( a ， b ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 3. 在三棱锥 A － BCD 中， △ ABC 为等边三角形， AB ＝ ， ∠ BDC ＝ 90° ，二面角 A － BC － D 的大小为 150° ，则三棱锥 A － BCD 的外接球的表面积为 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28π 解析　 满足题意的三棱锥 A － BCD 如图所示 ， 设 三棱锥 A － BCD 的外接球的球心为 O ，半径为 R ， △ BCD ， △ ABC 的外接圆的圆心分别为 O 1 ， O 2 ， 可知 O ， O 1 ， O 2 在同一平面内， 由二面角 A － BC － D 的大小为 150° ， 得 ∠ OO 1 O 2 ＝ 150° － 90° ＝ 60°. 依题意，可得 △ BCD ， △ ABC 的外接圆的半径分别 为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以三棱锥 A － BCD 的外接球的表面积为 4π R 2 ＝ 28π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 ∴ c 2 ＝ 5 a 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 5. 记实数 x 1 ， x 2 ， … ， x n 中最小数为 min{ x 1 ， x 2 ， … ， x n } ，则定义在区间 [0 ，＋ ∞ ) 上的函数 f ( x ) ＝ min{ x 2 ＋ 1 ， x ＋ 3,13 － x } 的最大值为 ______. 8 解析　 在同一坐标系中作出三个函数 y ＝ x 2 ＋ 1 ， y ＝ x ＋ 3 ， y ＝ 13 － x 的图象如图 . 由图可知，在实数集 R 上， min{ x 2 ＋ 1 ， x ＋ 3,13 － x } 为 y ＝ x ＋ 3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之间的部分，线段 BC 与直线 y ＝ 13 － x 在点 C 下方的部分的组合体 . 显然，在区间 [0 ，＋ ∞ ) 上，在 C 点时， y ＝ min{ x 2 ＋ 1 ， x ＋ 3,13 － x } 取得最大值 . 所以 f ( x ) max ＝ 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 已知函数 f ( x ) ＝ |lg( x － 1)| ，若 1 ＜ a ＜ b 且 f ( a ) ＝ f ( b ) ，则 a ＋ 2 b 的取值 范围 为 _______ _ ___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 (6 ，＋ ∞ ) 解析　 由图象可知 b ＞ 2,1 ＜ a ＜ 2 ， ∴ － lg( a － 1) ＝ lg( b － 1) ， 由对勾函数的性质知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 函数 f ( x ) 及 y ＝ mx 的图象如图所示， 由图象可知，当 m >0 时，不等式 f ( x ) ≥ mx 不恒成立， 因为 f ′ ( x 0 ) ＝ 2 x 0 － 3 ， 因为该切线过原点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 ( － 1 ，＋ ∞ ) 即函数 f ( x ) 在 R 上单调递增 . 若 ∃ x ∈ [ － 2 ， 1] ，使得 f ( x 2 ＋ x ) ＋ f ( x － k )<0 成立， 即 f ( x 2 ＋ x )< － f ( x － k ) ， 所以 f ( x 2 ＋ x )< f ( k － x ) ， 即 x 2 ＋ x < k － x ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则问题转化为 ∃ x ∈ [ － 2,1 ] ， k > x 2 ＋ 2 x ， 令 g ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ， x ∈ [ － 2,1 ]. 则 k > g ( x ) min ＝ g ( － 1) ＝－ 1 ， 故实数 k 的取值范围是 ( － 1 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 如图所示，设正四棱锥的底面边长为 a ，高为 h . 令 f ′ ( h ) ＝ 0 ，解得 h ＝ 2. 当 h ∈ (0,2) 时， f ′ ( h )<0 ， f ( h ) 单调递减； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当 h ∈ (2 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( h )>0 ， f ( h ) 单调递增， 10. 若函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ________. (0 ， 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 由 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点， 可得 |2 x － 2| ＝ b 有两个不等的实根， 从而可得函数 y 1 ＝ |2 x － 2| 的图象与函数 y 2 ＝ b 的图象有两个交点，如图所示 . 结合函数的图象，可得 0< b <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 方法一　联立 C 1 和 C 2 的方程，消去 x ， 由椭圆 C 1 可知，－ 2 ≤ y ≤ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 它的补集就是圆 C 2 与椭圆 C 1 没有公共点的 r 的集合， 方法二　联立 C 1 和 C 2 的方程消去 x ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 r >0 ，解得 0< r <1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 则 φ ′ ( x ) ＝ x (e x － 1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以 φ ′ ( x )>0 ， 因此 g ′ ( x )>0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com