【数学】2019届一轮复习苏教版空间向量学案

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专题09 空间向量 一、空间直角坐标系及有关概念 ‎1．空间直角坐标系 定义 以空间一点为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、 轴，建立了一个空间直角坐标系 坐标原点 点O 坐标轴 x轴、y轴、 轴 坐标平面 通过每两个坐标轴的平面 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示．‎ ‎2．空间一点M的坐标 ‎（1）空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，记作，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标， 叫做点M的竖坐标．‎ ‎（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组可建立一一对应的关系．‎ ‎3．空间两点间的距离公式、中点公式 ‎（1）距离公式 ‎①设点，为空间两点，‎ 则两点间的距离．学+ ‎ ‎②设点，则点与坐标原点O之间的距离为．‎ ‎（2）中点公式 设点为，的中点，则．‎ ‎4．空间向量的有关概念 ‎（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量．‎ ‎（2）单位向量：长度(或模)为1的向量．‎ ‎（3）零向量：长度(或模)为0的向量．‎ ‎（4）相等向量：方向相同且模相等的向量．‎ 二、空间向量的有关定理及运算 ‎1．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．‎ ‎2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使．‎ ‎3．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y， }，使得p＝xa＋yb＋ c．其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．‎ ‎4．空间向量的运算 ‎（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量．‎ ‎（2）空间向量的坐标运算 设，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 三、利用空间向量解决立体几何问题 ‎1．直线的方向向量和平面的法向量 ‎（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个．‎ ‎（2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量．‎ 平面法向量的求法：设平面的法向量为．‎ 在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，‎ 根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量．‎ ‎2．利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为．‎ ‎（1）线线平行：若，则；‎ 线面平行：若，则；‎ 面面平行：若，则．‎ ‎（2）线线垂直：若，则；‎ 线面垂直：若，则；‎ 面面垂直：若，则．‎ ‎3．利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为．‎ ‎（1）直线所成的角为，则，计算方法：；‎ ‎（2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：；‎ ‎（3）平面所成的二面角为，则，‎ 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．‎ 如图②③，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，‎ 则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，‎ 二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．‎ ‎4．利用空间向量求距离 ‎（1）两点间的距离 设点，为空间两点，‎ 则两点间的距离．‎ ‎（2）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，‎ 则B到平面α的距离为．‎ ‎1．设(1，2，-2)为平面α的法向量，(-2，-4， )为平面β的法向量，若α⊥β，则 =________________．‎ ‎2．已知，则________________．‎ ‎3．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________________．‎ ‎4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________________．‎ ‎5．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，N是A1A的中点，则cos<>的值为________________．‎ ‎6．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a．求证：MN∥平面ADD1A1．‎ ‎7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：‎ ‎（1）AE⊥CD；‎ ‎（2）PD⊥平面ABE．‎ ‎8．如图，在五棱锥中，PA⊥平面ABCDE，，∠DEA=∠EAB=∠ABC=90°．‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．‎ ‎9．已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，，，，且，M点为PC的中点．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）在平面PAD内找一点N，使．‎ ‎10．如图，在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，．‎ ‎（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角B-A1D-A的正弦值．‎ ‎11．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．‎ ‎（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（2）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD?若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎12．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．‎ ‎（1）求证：MN∥平面BDE；‎ ‎（2）求二面角C-EM-N的正弦值；‎ ‎（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．‎ ‎（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底；基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不能作为基向量．‎ ‎（2）对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组(即坐标)表示出来，通过坐标的代数运算解决空间几何问题，实现几何问题(形)与代数问题(数)的结合．‎ ‎（3）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零即可．‎ ‎（4）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示即可．‎ ‎（5）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示即可．‎ ‎（6）求线面角最常用的方法就是分别求出直线的方向向量与平面的法向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．‎ ‎（7）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．‎ ‎13．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE=________________．‎ ‎14．如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，其中∠AEB=90°，则点D到平面ACE的距离d为________________．学 ‎ ‎15．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=5，AB=12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是________________．‎ ‎16．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值．‎ ‎17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点．‎ ‎（1）设是上的一点，且，求的大小；‎ ‎（2）当，时，求二面角的大小．‎ ‎18．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．‎ ‎（1）求证：EG∥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角O−EF−C的正弦值；‎ ‎（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎19．如图所示，在四棱锥中，AB∥CD，∠ADC=90°，CD=3，AB=1，EA=AD=DE=2，EC=．‎ ‎（1）求证：平面EAD⊥平面ABCD；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎20．如下图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．‎ ‎（1）求二面角C1-BD-C的余弦值；‎ ‎（2）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1?并证明你的结论．‎ ‎1．【答案】-5‎ ‎【解析】因为α⊥β，所以，解得 =-5．‎ ‎2．【答案】6‎ ‎【解析】因为，所以．‎ ‎3．【答案】0‎ ‎【解析】因为＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，若A，B，C三点共线，则∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0．‎ ‎5．【答案】‎ ‎【解析】如图，以C为原点，的方向为x轴、y轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xy ．依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)．‎ ‎∴=(1，-1，2)，=(0，1，2)，∴·=3，||=，||=．‎ ‎∴cos<>=．‎ ‎6．【答案】证明见解析．‎ ‎【解析】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(a，0，0)，B(a，2a，0)，C(0，2a，0)，D1(0，0，a)，E(a，2a，0)，‎ ‎∵M、N分别为AE、CD1的中点，∴M(a，a，0)，N(0，a，)，∴．‎ 取n＝(0，1，0)，显然n⊥平面A1D1DA，且·n＝0，∴⊥n．‎ 又MN⊄平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1．‎ ‎7．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）易知AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1)．‎ ‎∵∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，∴C(，，0)，E(，，)．‎ 设D(0，y0，0)，由AC⊥CD，得·=0，即(，，0)·(-，y0-，0)=0，解得y0=，‎ ‎∴D(0，，0)，∴=(，，0)．‎ 又=(，，)，∴·=-++0=0，∴⊥，即AE⊥CD．‎ ‎（2）方法1：由（1）知=(0，，-1)，∴·=0++×(-1)=0，‎ ‎∴⊥，即PD⊥AE．∵=(1，0，0)，∴·=0，∴PD⊥AB．‎ 又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．‎ 方法2：由（1）知=(1，0，0)，=(，，)．‎ 设平面ABE的法向量为n=(x，y， )，则n·=0，n·=0，得，‎ 令y=2，则 =-，∴平面ABE的一个法向量为n=(0，2，-)．‎ ‎∵=(0，，-1)，显然n，∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE．‎ ‎8．【答案】（1）45°；（2）．‎ ‎【解析】由题可知，以AB、AE、AP分别为x轴，y轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 则．‎ 设平面PDE的法向量为，又=(1，0，0)，=(0，-2，2)．‎ 由，得，令y=1，得．‎ ‎9．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）因为PD⊥底面ABCD，CD//AB，CD⊥AD，‎ 所以以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xy (如图所示)．‎ 由于PD=CD=DA=2AB=2，所以D(0，0，0)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，M(0，1，1)，‎ 所以．‎ 因为平面PAD，所以是平面PAD的法向量，‎ 又因为，所以//平面PAD，所以BM//平面PAD．‎ ‎10．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E．‎ 因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD．‎ 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xy ．‎ 因为AB=AD=2，AA1=，．‎ 则．‎ ‎（1），‎ 则．‎ 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．‎ ‎（2）平面A1DA的一个法向量为．设为平面BA1D的一个法向量，‎ 又，则即 不妨取x=3，则，所以为平面BA1D的一个法向量，‎ 从而，‎ 设二面角B-A1D-A的大小为，则，‎ 因为，所以，因此二面角B-A1D-A的正弦值为．‎ ‎【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”．‎ ‎11．【答案】（1）；（2）在棱上存在点使得平面，此时．‎ ‎【解析】（1）取的中点，连结．因为，所以．‎ 又因为平面，平面平面，所以平面．‎ 因为平面，所以．因为，所以．‎ 如图建立空间直角坐标系．由题意得，．‎ 设平面的法向量为，则即 令，则．所以．‎ 又，所以．‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎12．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．‎ ‎【解析】如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、 ‎ 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）．‎ ‎（1）易得=（0，2，0），=（2，0，）．‎ 设为平面BDE的法向量，则，即．‎ 不妨设，可得．又=（1，2，），可得．‎ 因为平面BDE，所以平面BDE．‎ ‎（2）易知为平面CEM的一个法向量．‎ 设为平面EMN的法向量，则，‎ 因为，，所以．‎ 不妨设，可得．‎ 因此有，于是．‎ 所以二面角C-EM-N的正弦值为．‎ ‎（3）依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），‎ 进而可得，．‎ 由已知，得，‎ 整理得，解得或．‎ 所以线段AH的长为或．‎ ‎13．【答案】a或2a　‎ ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则B1(0，0，3a)，C(0，a，0)．设点E的坐标为(a，0， )，则=(a，-a， )，=(a，0， -3a)．由⊥，得2a2+ 2-3a =0，解得 =a或2a，即AE=a或2a．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】取AB的中点O，连接OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，-1，0)，E(1，0，0)，‎ D(0，-1，2)，C(0，1，2)．=(0，0，2)，=(1，1，0)，=(0，2，2)，设平面ACE的法向量为n=(x，y， )，则，即．令y=1，则平面ACE的一个法向量为n=(-1，1，-1)．‎ 故点D到平面ACE的距离d==||=．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】∵B1C1∥BC，且平面A1BCD1，平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1，从而点B1到平面A1BCD1的距离为所求距离．以D为坐标原点，的方向分别为x，y， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，12，0)，D1(0，0，5)，‎ 设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x≠0)，平面A1BCD1的法向量为n=(a，b，c)，‎ 由n⊥，n⊥，得n·=(a，b，c)·(-x，0，0)=-ax=0，∴a=0，n·=(a，b，c)·(0，-12，5)=-12b+5c=0，∴b=c，令c=12，则b=5，∴n=(0，5，12)为平面A1BCD1的一个法向量．‎ 又=(0，0，-5)，∴点B1到平面A1BCD1的距离d=．‎ ‎16．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．‎ 由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．‎ 又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面．‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 ‎．‎ 由（1）及已知可得，，，．‎ 所以，，，．‎ 设是平面的法向量，则即 可取．‎ 设是平面的法向量，则即可取．‎ 则，所以二面角的余弦值为．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，，，平面，，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以，又，因此 ‎（2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由题意得，，，，故，，，设是平面的一个法向量．‎ 由可得取，可得平面的一个法向量．‎ 设是平面的一个法向量．‎ 由可得取，可得平面的一个法向量．‎ 所以．因此所求的角为．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】依题意，，如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，．‎ ‎（1）依题意，．‎ 设为平面的法向量，则，即．‎ 不妨设，可得，又，可得，‎ 又因为直线，所以．‎ ‎（3）由，得．‎ 因为，所以，‎ 进而有，从而，‎ 因此．‎ 所以，直线和平面所成角的正弦值为．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）如图，取AD的中点H，连接EH、CH．‎ ‎∵，∴为正三角形，∴EH⊥AD，EH=，‎ 在中，CD=3，DH=1，∴HC===，‎ 在中，EH=，HC=，EC=，∴，‎ ‎∴∠EHC=90°，即EH⊥HC．‎ 又∵AD⊂平面ABCD，HC⊂平面ABCD，，∴EH⊥平面ABCD，‎ 又∵EH⊂平面EAD，∴平面EAD⊥平面ABCD．‎ ‎（2）以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则)．‎ ‎∴=(-2，-1，0)，=(-1，-1，)，=(-2，2，0)，‎ 设平面DEB的法向量为，则，即，‎ 令 1=1，则x1=-，y1=2，从而可得平面DEB的一个法向量m=(-，2，1)，‎ 设平面CBE的法向量为，则，即，‎ 令x2=，则y2=， 2=2，从而可得平面CBE的一个法向量n=(，2)，‎ 从而cos===，故二面角D-BE-C的余弦值为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）不存在点P，使CP⊥平面BDC1，证明见解析．‎ ‎【解析】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，‎ 则C1(0，0，0)，B(0，3，2)，C(0，3，0)，A(2，3，0)，D(1，3，0)，‎ 则(0，3，2)，(1，3，0)．‎ 设n=(x1，y1， 1)是平面BDC1的法向量，则所以，‎ 令x1=1，得n=(1，，)是平面BDC1的一个法向量，‎ 易知(0，3，0)是平面ABC的一个法向量，‎ 所以cos

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